洪 坤，余 佳，劉 震，趙夢琦，畢 磊

(天津大學(xué)水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津300072)

輸水隧洞施工是一個隨機動態(tài)變化的過程［1］，施工中存在的諸多不確定風(fēng)險因素不僅會對工序持續(xù)時間造成影響，還會導(dǎo)致風(fēng)險處理活動的增加，使原有工序間的邏輯關(guān)系發(fā)生變化，進一步影響施工進度。因此，為確保工程進度目標的實現(xiàn)，對隧洞施工進行風(fēng)險分析具有重要意義。PERT作為項目進度風(fēng)險分析的重要方法，在工程施工行業(yè)已得到廣泛的應(yīng)用。該方法認為各活動時間服從β分布，通過最樂觀時間a、最可能時間m、最悲觀時間b三時估計值來計算活動時間的均值和方差，最終求解項目關(guān)鍵線路和完工概率。在PERT方法研究方面，國內(nèi)外學(xué)者開展了一系列工作。Keeefr．D．L等(1993)歸納總結(jié)出五種PERT網(wǎng)絡(luò)活動時間均值和方差的計算方法，并對這些方法在活動時間估計方面的誤差進行了分析［2］。劉武等(2008)基于PERT網(wǎng)絡(luò)分布的假設(shè)，在分析常規(guī)三時估計方法不足的條件下，采用限定三時估計及擬合方差最小模型，分別對常規(guī)三時估計方法及常規(guī)β分布函數(shù)參數(shù)進行了改進［3］。José等(2011)在分析原有β分布活動時間計算的基礎(chǔ)上，通過構(gòu)造一個與三時估計值相關(guān)的調(diào)整變量C(δ)對活動時間的方差計算進行調(diào)整，使得活動時間的估算更加合理［4］。蔡開璽和唐愛兵(2011)針對經(jīng)典PERT在β分布時間估計方面的缺陷，探討了基于數(shù)據(jù)統(tǒng)計和定額計算法的“綜合估算方法”，該方法按照三點估計法對于工序時間進行估計，并借鑒統(tǒng)計資料進行計算，以實現(xiàn)PERT方法計算精度的提高［5］。王濤和蔡建峰(2012)針對經(jīng)典PERT方法假設(shè)條件苛刻，β分布活動時間方差估算公式固定單一，不能隨實際情況變化而變化的局限性，僅保留一個PERT假設(shè)條件，綜合考慮a、b、m三個時間參數(shù)對于方差計算的影響，對活動時間方差計算公式進行改進［6］。綜上所述，國內(nèi)外針對工程項目施工進度開展的PERT網(wǎng)絡(luò)研究，多集中于對施工活動時間單方面的分析，未考慮工序邏輯關(guān)系對施工進度的影響，致使施工進度風(fēng)險分析結(jié)果可靠性不足。同時，現(xiàn)有研究所得的活動時間多為基于三時估計的特定β概率分布，難以滿足實際施工中活動時間服從不同分布的要求。因此，本文結(jié)合輸水隧洞施工特點，并考慮經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)研究的不足，從邏輯關(guān)系和活動時間兩個方面對經(jīng)典PERT進行了改進，開展輸水隧洞施工進度風(fēng)險分析。具體來說，首先從風(fēng)險事件的角度出發(fā)，將定性分析與定量分析相結(jié)合，探討邏輯關(guān)系的變化對施工進度的影響;其次，在三點估計值的基礎(chǔ)上引入四分位數(shù)作為第四個參數(shù)，提出了不同β分布形式的確定方法;最后，運用 Monte Carlo仿真法對改進PERT網(wǎng)絡(luò)進行求解，實現(xiàn)對輸水隧洞施工進度風(fēng)險更加全面的分析，為工程施工進度管理提供了科學(xué)的依據(jù)。其總體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于改進PERT的輸水隧洞施工進度風(fēng)險分析

一、輸水隧洞施工進度風(fēng)險體系

輸水隧洞施工條件復(fù)雜，施工過程中面臨著諸如復(fù)雜地質(zhì)條件、施工技術(shù)水平、施工機械配置等風(fēng)險因素［7］，致使工序間邏輯關(guān)系和活動持續(xù)時間受到一定影響，進一步造成施工進度的變化。風(fēng)險因素對工序間邏輯關(guān)系和活動持續(xù)時間的影響主要體現(xiàn)在:1)施工過程中存在著涌水、斷層、襯砌支護不合格、施工機械故障等安全隱患，一旦發(fā)生此類風(fēng)險事件，則需采用排水、打錨桿和固結(jié)灌漿、重新襯砌支護、機械故障排除等相應(yīng)的風(fēng)險處理措施。相對于原有的施工進度計劃，這些風(fēng)險處理活動可視為網(wǎng)絡(luò)進度計劃中的新增工序，從而使原有工序間邏輯關(guān)系發(fā)生變化。2)開挖過程中的巖性條件、施工隊熟練程度、施工機械工作效率等因素將影響施工工序的持續(xù)時間，影響因素的不確定性使得工序持續(xù)時間存在不確定性。

在網(wǎng)絡(luò)進度計劃中，工序邏輯關(guān)系和活動時間一旦確定，施工關(guān)鍵路線和總工期也相應(yīng)確定;當(dāng)邏輯關(guān)系和活動時間發(fā)生任意變化，施工進度都可能會受到影響。傳統(tǒng)的PERT網(wǎng)絡(luò)是在邏輯關(guān)系確定的基礎(chǔ)上，結(jié)合活動時間不確定性而建立的施工進度網(wǎng)絡(luò)［8］。該網(wǎng)絡(luò)未考慮邏輯關(guān)系不確定性對施工進度的影響，且得到的活動時間多為基于三時估計的特定β概率分布，難以滿足實際施工中活動時間服從不同分布的要求。因此，為保證施工進度目標的實現(xiàn)，本文從工序間邏輯關(guān)系不確定性和活動時間不確定性兩方面來改進經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)，用以開展輸水隧洞施工進度風(fēng)險分析，具體內(nèi)容如圖2所示。

輸水隧洞施工工序繁多，制約關(guān)系復(fù)雜，工序間存在多種不同的邏輯關(guān)系。其中，基本邏輯關(guān)系有4種［9］，包括開始到開始(STS)、結(jié)束到結(jié)束(FTF)、開始到結(jié)束(STF)以及結(jié)束到開始(FTS)?；旌线壿嬯P(guān)系是指相鄰工作間既有STS、又有FTF的約束關(guān)系或者既有FTS、又有STF的約束關(guān)系。經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)未考慮邏輯關(guān)系不確定性對于施工進度的影響，而隧洞施工過程中風(fēng)險事件的發(fā)生會導(dǎo)致風(fēng)險處理活動這一新增工序的產(chǎn)生，使得原有進度計劃邏輯關(guān)系發(fā)生變化。因此，需結(jié)合風(fēng)險事件來分析邏輯關(guān)系變化對于施工進度的影響。

圖2 基于改進PERT的輸水隧洞施工進度風(fēng)險體系

對于工序持續(xù)時間，滿足在區(qū)間(a，b)內(nèi)，活動時間概率密度函數(shù)連續(xù)且呈單峰形狀，以及函數(shù)概率密度始終取有限正值條件的主要有β分布、正態(tài)分布和三角分布三種形式。β分布因其良好的偏態(tài)性，能根據(jù)所取參數(shù)的不同，實現(xiàn)對正態(tài)分布、均勻分布、三角分布等多種分布的逼近，因此工程中常采用β分布來描述網(wǎng)絡(luò)活動時間的不確定性。在經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)中，活動時間往往通過三時估計值(最樂觀時間、最可能時間和最悲觀時間)確定，而該方法僅能得出三種特殊情況下的β分布函數(shù)，有一定缺陷。因此，本文在三時估計值的基礎(chǔ)上增加四分位數(shù)c作為第四個參數(shù)，通過四參數(shù)估計得到各種不同的β分布形式，并利用舍選法對活動時間進行隨機抽樣。

二、輸水隧洞施工進度風(fēng)險分析方法

施工工序間的邏輯關(guān)系及工序持續(xù)時間對輸水隧洞施工進度有重要影響。通過對改進PERT網(wǎng)絡(luò)中的施工工序邏輯關(guān)系不確定性及活動時間不確定性分析來實現(xiàn)施工進度的風(fēng)險分析，并運用Monte Carlo方法［10］，對改進的PERT網(wǎng)絡(luò)進行求解。

1．邏輯關(guān)系不確定性分析方法

風(fēng)險事件是邏輯關(guān)系不確定性的重要來源，具有兩個主要特點:一是發(fā)生概率小于100%，即風(fēng)險事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生;二是一旦風(fēng)險事件發(fā)生，采取的風(fēng)險處理活動將作為新增工序插入原有進度計劃中，使工序間邏輯關(guān)系發(fā)生變化，從而影響施工進度。針對上述兩個特點，本文從定性和定量兩個方面對風(fēng)險事件進行研究，進而分析邏輯關(guān)系不確定性對于施工進度的影響。

(1)基于風(fēng)險矩陣法的風(fēng)險事件定性分析。風(fēng)險事件的風(fēng)險等級有高低之分。為提高風(fēng)險分析效率，使得風(fēng)險分析具有針對性，對高風(fēng)險事件進行識別具有重要意義。風(fēng)險矩陣法作為項目管理中常用的風(fēng)險重要性識別方法，最早是由美國空軍電子系統(tǒng)中心(Electronic Systems Center，ESC)采辦小組于20世紀末提出的。該方法不直接依賴專家的主觀意見，而是事先將風(fēng)險概率和風(fēng)險后果劃分不同等級。在綜合考慮風(fēng)險概率和后果的條件下，將風(fēng)險事件對項目的影響進行評估。

在風(fēng)險事件分析中，將其按發(fā)生概率由高到低分為五個等級，分別為極可能發(fā)生、發(fā)生可能性很大、有可能發(fā)生、發(fā)生可能性很小以及極不可能發(fā)生。因風(fēng)險事件發(fā)生引起邏輯關(guān)系變化對施工進度的影響程度同樣可劃分為五個等級，分別為關(guān)鍵、嚴重、中度、微小以及可忽略。各影響等級說明如表1所示。

綜合考慮風(fēng)險事件發(fā)生概率和發(fā)生后果的影響，運用風(fēng)險評估矩陣法，將風(fēng)險事件分為三個等級，分別為高風(fēng)險事件(H)、中等風(fēng)險事件(M)和低風(fēng)險事件(L)。建立的風(fēng)險評估矩陣如圖3所示。根據(jù)風(fēng)險評估結(jié)果，在進行隧洞施工進度風(fēng)險分析時，可按風(fēng)險事件等級的高低給予不同的關(guān)注度，對于高風(fēng)險事件重點分析，而對低風(fēng)險事件在條件有限的情況下甚至可以忽略，使得風(fēng)險分析更有針對性。

表1 風(fēng)險事件影響等級

(2)風(fēng)險事件定量分析。在定性分析識別出高風(fēng)險事件的基礎(chǔ)上，進一步對風(fēng)險事件發(fā)生概率及其影響后果進行定量分析。其中，風(fēng)險事件發(fā)生概率是指隧洞施工中遇到涌水、斷層、支護襯砌不合格、機械設(shè)備故障等情況，從而造成施工邏輯關(guān)系發(fā)生變化的可能性。由于同一類風(fēng)險事件在不同工程中發(fā)生的概率具有較強的隨機性，該參數(shù)可采用歷史資料統(tǒng)計和專家打分相結(jié)合的方法來確定［7］。風(fēng)險影響后果作為風(fēng)險事件的另一個重要屬性［11］，是指因風(fēng)險事件發(fā)生導(dǎo)致的施工邏輯關(guān)系變化對施工進度造成的影響，可通過研究風(fēng)險處理活動時間來體現(xiàn)。對于排水、打錨桿、固結(jié)灌漿、重新襯砌支護、機械故障排除等風(fēng)險處理活動而言，其持續(xù)時間同樣具有不確定性，活動時間分析方法與其他工序相同。

圖3 風(fēng)險評估矩陣

2．活動時間不確定性分析方法

活動時間不確定性分析主要包括活動時間分布的確定和活動時間隨機抽樣兩方面。其中，合理確定活動時間分布是進行活動時間不確定性分析的前提;采用恰當(dāng)?shù)姆椒▽σ堰x時間分布進行隨機抽樣是進行活動時間不確定性分析的重要手段。

(1)活動時間分布的確定?；顒訒r間分布包括正態(tài)分布、三角分布、β分布等多種類型。考慮β分布靈活性強，能對不同分布類型進行擬合的優(yōu)點，工程中多采用β分布作為活動時間的分布類型。在本研究中，認為隧洞施工中各工序(包括風(fēng)險處理活動)時間均服從β分布。經(jīng)典PERT方法認為服從β分布的活動時間不確定性可通過期望μi和標準差σi來表現(xiàn)，且其均值和標準差可通過最樂觀時間a、最可能時間m和最悲觀時間b來計算

而實際β分布函數(shù)由最小值a、最大值b以及兩個形狀參數(shù)p，q共同決定，其概率密度函數(shù)為

β分布的均值和標準差同樣由4個參數(shù)決定

最可能時間m是概率密度函數(shù) f(x，p，q，a，b)取最大時對應(yīng)的 x值。a ＜m ＜b，可由等式 f'(x，p，q，a，b)=0求得

令式(1)=式(4)，式(2)=式(5)，并將式(6)帶入，可得僅在三種特殊情況下，μi、σi才為 μx、σx的無偏估計，該三種特殊情況下的β分布曲線形式為

1)p=q=4:β曲線對稱，m=(a+b)/2;

2)p=3+2，q=3-2:β曲線左傾，m=0．853 5b+0．146 5a;

由此可知，經(jīng)典PERT中通過三時估計確定的β曲線只是β分布集合中的一部分，而實際

隧洞施工中各工序的活動時間可能服從各種不同的β分布形式。同時，由于β分布函數(shù)需由四個參數(shù)共同決定，僅由a、b、m三時估計值并不足以確定β分布形式。圖4為相同三時估計值下的β曲線形式，雖然各曲線均滿足a=2，m=4，b=8的三時估計條件，但其分布卻各不相同。因此，為最終確定β分布，需在三時估計值的基礎(chǔ)上增加新的參數(shù)。

圖4 相同三時估計值下的β曲線分布形式

在β分布確定方面，Cliff Schexnayder等［12］提出β分布形式可由最樂觀時間a、最悲觀時間b以及下列任意一種組合來得到:1)均值和方差;2)均值和某一百分位數(shù);3)最可能時間m和某一百分位數(shù);4)任意兩個百分位數(shù)。這些統(tǒng)計特征值將直接決定所得β分布形式，從而影響對活動時間的擬合效果。在統(tǒng)計特征值估計方面，Alpert等在關(guān)于概率評估員的培訓(xùn)進度報告中指出，直接用百分位數(shù)進行估計是最可靠、最不容易產(chǎn)生偏差的方法。Lichtenstein等［13］證實了采用百分位數(shù)進行估計的可行性，并指出采用四分位數(shù)，即0．25分位數(shù)、0．5分位數(shù)及0．75分位數(shù)進行估計能使結(jié)果的準確性進一步提高?；谏鲜鲅芯浚疚奶岢鲈谠腥龝r估計值的基礎(chǔ)上增加四分位數(shù)c作為第四個參數(shù)，用以確定β分布的具體形式。同時，在三時估計值確定的條件下，通過調(diào)整四分位數(shù)c的取值，可得到不同的β分布形式，克服了經(jīng)典PERT中活動時間局限于三種特定β分布的不足?；谌龝r估計值和四分位數(shù)c的β分布函數(shù)四參數(shù)求解步驟如下:

1)在已知三時估計值和四分位數(shù)c的條件下，將a，b，m三時估計值帶入式(6)，求解形狀參數(shù) p，q之間的關(guān)系

2)將a，b的值以及式(7)帶入式(3)中，將β分布概率密度函數(shù) f(x，p，q，a，b)轉(zhuǎn)化成新的概率密度函數(shù) F(x，q)。

3)對函數(shù) F(x，q)在區(qū)間［a，c］上求積分，根據(jù)等式(8)即可求解形狀參數(shù)q。

式中:當(dāng) c為0．25 分位數(shù)時，g 取 0．25;當(dāng) c為0．5 分位數(shù)時，g 取0．5;當(dāng) c為0．75 分位數(shù)時，g 取0．75。

4)將得到的q值代入式(7)，求解另一形狀參數(shù)p，結(jié)合已知的a，b估計值，最終確定β分布的具體形式。

(2)活動時間隨機抽樣。在獲得活動時間概率分布的基礎(chǔ)上，還需進一步對所得分布進行抽樣。對于形式簡單的概率分布，可采用在［0，1］均勻分布上產(chǎn)生隨機數(shù)，然后根據(jù)各活動時間服從的分布類型，對其累計函數(shù)求反函數(shù)的方法來得到相應(yīng)的活動持續(xù)時間。而β分布形式復(fù)雜，難以準確從其密度函數(shù)上得到計算機抽樣表達式，可通過舍選法進行活動時間抽樣。舍選法通過建立隨機數(shù)檢驗條件，利用這一條件舍選得到所需的隨機數(shù)［14］。具體抽樣步驟如下:

1)根據(jù)最樂觀時間a，最可能時間m，最悲觀時間b和四分位數(shù)c求得β分布函數(shù)和相應(yīng)的參數(shù)。

2)對［0，1］區(qū)間均勻分布產(chǎn)生兩個隨機數(shù) k1，k2。

4)判斷關(guān)系式AB＜k2是否成立，若成立，則x=a+(b-a)k1即為服從β分布的隨機活動時間，若不成立，重復(fù)(2)～(4)直至滿足條件。

(3)基于Monte Carlo仿真的改進PERT求解方法。為充分反映改進PERT網(wǎng)絡(luò)中邏輯關(guān)系不確定性和活動時間不確定性對施工進度的影響，采用Monte Carlo仿真方法，在判斷風(fēng)險事件是否發(fā)生的條件下，對各工序持續(xù)時間(包括風(fēng)險處理活動)進行隨機抽樣，求得關(guān)鍵路線和施工工期，并通過多次仿真進行施工進度風(fēng)險分析。用Monte Carlo方法求解改進PERT網(wǎng)絡(luò)的步驟如下:

1)根據(jù)隧洞實際施工方案，編制初始網(wǎng)絡(luò)進度計劃，估計原有工序及風(fēng)險處理活動的最樂觀時間a、最可能時間m、最悲觀時間b以及四分位數(shù)c，并確定β分布的概率分布函數(shù)及相應(yīng)的參數(shù)。

2)確定恰當(dāng)?shù)姆抡娲螖?shù)N以及計劃工期值。

3)判斷各風(fēng)險事件是否發(fā)生。在每一次仿真過程中，假定第i個風(fēng)險事件的發(fā)生概率為Pi，對［0，1］區(qū)間產(chǎn)生均勻隨機數(shù)ri，若ri＜Pi，則認為該風(fēng)險事件發(fā)生，新增風(fēng)險處理活動ei，調(diào)整原進度計劃邏輯關(guān)系。

4)對各工序持續(xù)時間(包括風(fēng)險處理活動時間)，根據(jù)其服從的概率分布函數(shù)進行隨機抽樣，然后按照CPM網(wǎng)絡(luò)計算方法確定關(guān)鍵線路和隧洞施工工期，如此循環(huán)仿真N次。

5)對N次仿真結(jié)果進行統(tǒng)計分析，并獲得計劃工期完工概率、工期風(fēng)險值、最關(guān)鍵線路以及工序關(guān)鍵度指標。

三、輸水隧洞施工進度風(fēng)險分析

隧洞施工進度風(fēng)險反映了施工進度目標實現(xiàn)的不確定性。在進度風(fēng)險分析中，完工概率、工期風(fēng)險值、最關(guān)鍵線路以及工序關(guān)鍵度作為常用的風(fēng)險評價指標，可為施工工期的論證以及線路、工序在統(tǒng)計意義上的重要程度分析提供依據(jù)。

1．完工概率及工期風(fēng)險

要求隧洞施工計劃工期T'的完工概率，即要求概率P(T≤T')的值。根據(jù)多次仿真所得仿真工期的統(tǒng)計特性值(包括均值、方差、最大值、最小值等)，運用概率統(tǒng)計方法，可得在同時考慮邏輯關(guān)系不確定性和活動時間不確定性條件下計劃工期的完工概率。具體步驟如下:

1)設(shè)定分組組距Tg。令Tmin為N次仿真中施工工期的最小值，Tmax為N次仿真中施工工期的最大值，l為分組的組數(shù)，則組距Tg計算公式為

2)仿真結(jié)果分組。令 T1=Tmin+Tg，T2=T1+Tg，…，Tl=Tl-1+Tg，則相應(yīng)的分組結(jié)果為

3)將N次仿真結(jié)果按區(qū)間統(tǒng)計頻數(shù)，得到施工工期統(tǒng)計分布直方圖和概率分布曲線。

4)對統(tǒng)計頻數(shù)按區(qū)間累加，計算累計概率，得到總工期經(jīng)驗累積曲線即完工概率曲線。

輸水隧洞施工計劃工期T'的完工概率可通過經(jīng)驗累積曲線查出。

工期風(fēng)險是指在規(guī)定時間內(nèi)工程不能完工的概率，根據(jù)其與完工概率的關(guān)系，可得工期風(fēng)險為

2．最關(guān)鍵線路和工序關(guān)鍵度

最關(guān)鍵線路是指在多次仿真中成為關(guān)鍵線路次數(shù)最多的線路。工序關(guān)鍵度是指在多次仿真中工序處于關(guān)鍵線路上的次數(shù)與仿真次數(shù)之比。通過多次施工仿真系統(tǒng)運行，在每次仿真結(jié)束后統(tǒng)計所得關(guān)鍵線路和關(guān)鍵工序，則可在多次仿真后確定最關(guān)鍵線路和工序關(guān)鍵度。

用工序關(guān)鍵度來表征關(guān)鍵線路的概率分布結(jié)果，對明確隧洞施工中的控制對象，把握關(guān)鍵線路、關(guān)鍵工序處理的優(yōu)先原則具有重要的意義。同時，由于工序間邏輯關(guān)系不確定性和活動時間不確定性會造成隧洞施工關(guān)鍵線路的轉(zhuǎn)移，對于關(guān)鍵度與最關(guān)鍵線路上工序關(guān)鍵度相差較小的工序也應(yīng)給予足夠的重視。

四、結(jié) 語

針對目前關(guān)于PERT網(wǎng)絡(luò)的研究多未考慮工序邏輯關(guān)系對施工進度的影響，且活動時間僅局限于特定形式β分布的問題，本文從邏輯關(guān)系和活動時間兩個方面對經(jīng)典PERT進行了改進，以開展輸水隧洞施工進度風(fēng)險分析。首先，從風(fēng)險事件的角度出發(fā)，將定性分析與定量分析相結(jié)合，探討邏輯關(guān)系的變化對施工進度的影響;其次，在三時估計的基礎(chǔ)上引入四分位數(shù)作為第四個參數(shù)，提出了不同β分布形式的確定方法;最后，采用Monte Carlo仿真方法對改進的PERT網(wǎng)絡(luò)進行求解。本文所研究的基于改進PERT的輸水隧洞施工進度風(fēng)險分析方法對隧洞施工進度管理具有重要的理論意義和參考價值。

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