葛永平

在推導勻變速直線運動的位移公式x=

時，很多同學感到課堂上講的不易聽懂，課本上寫的不易看懂.其實這是一種非常正常的現(xiàn)象，因為運用微元法解決復雜問題的過程是一種完全陌生的思維方式，對同學們的能力要求很高，初次運用微元法確實很難一下就理解和掌握.不過，如果換一個角度來分析這個問題，也許微元法就變得淺顯易懂了.下面我們就來試一試這種方法吧.

問題：設質(zhì)點做初速度v₀=10m/s、加速度a=1m/s²的勻加速直線運動，在t=10s時速度達到v₁=20m/s，如圖1所示，求物體在這10s內(nèi)的位移大小.

第一步：如圖2所示，設有兩個勻速直線運動的速度分別為v_a=10m/s和v_b=20m/s，根據(jù)勻速直線運動的位移公式可知在t=10s內(nèi)它們的位移分別為x_a=100m和x_b=200m.由于勻加速直線運動的速度始終介于v_a和v_b之間，因此將勻加速直線運動的位移x與兩這個勻速直線運動的位移相比較，可以得到：200m>x>100 m.

這時我們僅僅得到了一個可能的范圍，且范圍大小為

，這個范圍很大很不精確，顯然這遠不是我們所要的結果，

第二步：把時間分為10等分，那么每個等分就是

.若我們將整個運動分割為十個部分來分別計算每一段的位移，然后相加不是也能求出10s內(nèi)的位移嗎？那么這個相加的結果又是怎樣的呢？設勻加速直線運動在第Is內(nèi)、第2s內(nèi)、第3s內(nèi)…第10s內(nèi)的位移分別為

，則10s內(nèi)的總位移

綜合以上計算可知：（11+12+13+…+20）m>x>（10+11+12+…+19）m，對兩個數(shù)列求和即得：155m>x>145 m.

這時我們得到的仍然是一個可能的范圍，但范圍被大大縮?。ㄖ挥?0m，即原來的1/10）了.顯然這比結論①精確多了，但離目標差距尚遠. 假如進一步把時間細分為100等分，那么每個等分就是

t=0.1s.設勻加速直線運

綜合以上分析可得：150.5m>x>149.5 m

這個范圍被縮小到只有1m（即原來的1/100），這又精確多了.在有些精度要求不高的計算中，此結論的精確度也許足夠了，但公式的推導是不允許有絲毫誤差的.

第三步：若把時間進行n等分，也就是把運動過程分割成n個部分，逐個地與相應的勻速運動進行計算比較，再累計n個部分的總和，就可以得到一個不確定的范圍.根據(jù)上面的計算可知：當n增大（即

減小）時，結果的不確定范圍就會縮小，我們與確定的目標值就會接近.當n一∞（即 —0，也就是取微元）時，不確定的范圍就會趨近于某個確定的數(shù)值（極限）-150m.這個數(shù)值就是課本中的那個“梯形的面積”，于是也就推出了位移公式.

總結以上分析，可以發(fā)現(xiàn)這種方法可以歸結為三大步驟：①近似計算——把勻變速運動與勻速運動比較，利用勻速運動的公式得到一個可能的范圍.②減小誤差——分割求和，把可能的范圍縮小.③消除誤差——無限細分（取微元）再求和得到一個極限——準確結果.因為有著微分、累積、求極限的特點，這種方法也被稱為極限法或微積分法.

練習：設質(zhì)點在一直線上的運動速度按v=t²的規(guī)律變化（圖4），求質(zhì)點在第1s內(nèi)的位移.已知l²+2²+3²+…+n²=

.

物理學習的基礎是大量的自然現(xiàn)象和事實，主要內(nèi)容是由此提煉總結的概念和規(guī)律，而在提煉總結時的思想方法才是真正的核心，“微元法”就是那種核心內(nèi)容.它的精妙之處在于用簡單的規(guī)律可以處理復雜的問題、用初等的方法能夠啟動高級的思維、在深入淺出之中蘊含著博大精深.本文所用的數(shù)值計算，能更直觀地顯示出分析的思路，是解決問題的基礎和前提，但不是最終解決手段.計算的目的只是為了找到縮小不確定范圍的途徑——“分割求和”，而隨著分割的無線細化，計算量會無限增大，因此不可能通過計算完全消除誤差，得到準確結果.最終解決問題要依靠推理分析，利用思維方法的強大力量，這種力量可以極大地拓展我們處理問題的領域和能力。endprint