王岳軍 尤興勇

函數(shù)的零點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)上反映的是函數(shù)與方程的關(guān)系，即體現(xiàn)的是函數(shù)與方程的思想，亦即用函數(shù)的知識(shí)解決方程的問(wèn)題。在方法上主要是用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決與函數(shù)零點(diǎn)的范圍、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等有關(guān)的問(wèn)題。函數(shù)的零點(diǎn)比較抽象，也比較難懂，所以給同學(xué)們?cè)诔鯇W(xué)時(shí)帶來(lái)了不少麻煩。

其實(shí)函數(shù)的零點(diǎn)從“數(shù)”的角度來(lái)說(shuō)就是方程f（x）=0在函數(shù)定義域上的實(shí)根，從“形”的角度來(lái)說(shuō)就是函數(shù)y=f（x）的圖像在定義域上與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因此，要把握好兩點(diǎn)：函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)<=>方程f（x）=O在定義域上的實(shí)根<=>函數(shù)y=f（x）的圖像在定義域上與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；方程f（x）-g（x）=0的實(shí)根㈢方程f（x）=g（x）的實(shí)根<=>函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

下面給出幾道典型例題及解答，供大家參考。

例1 函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)問(wèn)是（）。

A.（-2，-1）

B.（-1，0）

C.（O，1）

D.（1，2）

解法一：直接利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理再結(jié)合排除法求解。應(yīng)選B。

解法二：由f（x）=O，可得利用常規(guī)方法解不了這個(gè)方程。

函數(shù)的圖像不好畫，可利用轉(zhuǎn)化思想求解。求方程的實(shí)根也就是求方程的實(shí)根。

令函數(shù)，在同一直角坐標(biāo)系巾畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像（圖略）。

通過(guò)觀察兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，可知選B。

例2 函數(shù)在區(qū)間（O，1）內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）。

A.O

B.1

C.2

D.3

解：本題和例l是同一類型的題目，解題的關(guān)鍵是確定畫哪個(gè)函數(shù)圖像方便求解的問(wèn)題。

根據(jù)轉(zhuǎn)化思想可知：求方程的實(shí)根就是求方程的實(shí)根。

在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)和的圖像（圖略）。

通過(guò)觀察兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，可知選B。

例3 方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）。

A.3

B.2

C.1

D.O

解：求方程的實(shí)根個(gè)數(shù)就是求方程的實(shí)根個(gè)數(shù)。

令。在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像（圖略）。

通過(guò)觀察兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，可知選B。

例4 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）。

A.1

B.2

C.3

D。4

解：此函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）。此問(wèn)題應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)加以解決。

函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是方程的實(shí)根個(gè)數(shù)，也就是方程的實(shí)根個(gè)數(shù)。

令函數(shù)。在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)和的圖像（圖略）。

通過(guò)觀察兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，可知選B。

例5 比較與的大小關(guān)系，并寫出其所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍。

解：此題利用常規(guī)方法不容易求解。通過(guò)上述幾個(gè)問(wèn)題所積累的經(jīng)驗(yàn)，可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解。

在同一直角坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)和的圖像（如圖1）。

通過(guò)觀察圖像可知：當(dāng)

評(píng)述：這類問(wèn)題一般都要用數(shù)形結(jié)合思想加以解決，但問(wèn)題的關(guān)鍵是畫哪個(gè)函數(shù)圖像比較貼近我們的認(rèn)知，畫起來(lái)比較方便快捷。這需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中多發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找出解題的切入點(diǎn)。