顧樂民

（同濟(jì)大學(xué)，上海 200092）

中國外出農(nóng)民工歷史的測算與未來的趨勢

顧樂民

（同濟(jì)大學(xué)，上海 200092）

由于缺乏成熟的農(nóng)民工統(tǒng)計(jì)制度，對于改革開放30多年來，每年我國外出農(nóng)民工的數(shù)量，約40%年份的數(shù)據(jù)是缺失的。最小一乘解，是在全部數(shù)據(jù)中依據(jù)準(zhǔn)則選取特征數(shù)據(jù)來實(shí)現(xiàn)的。將農(nóng)民工數(shù)量中3個(gè)權(quán)威數(shù)據(jù)作為最小一乘法特征數(shù)據(jù)，按照最小一乘準(zhǔn)則，繪制出我國改革開放以來外出農(nóng)民工數(shù)量的變化曲線。結(jié)果表明，30多年來我國外出農(nóng)民工數(shù)量的增長可以用Richards生長模型和一種新的指數(shù)＋冪指數(shù)混合生長模型來共同描述；增長過程是一個(gè)沒有峰或谷的連續(xù)遞增，在1995－1998年間出現(xiàn)一個(gè)變化的拐點(diǎn)，使加速的增長轉(zhuǎn)變?yōu)闇p速的增長；2014年外出農(nóng)民工數(shù)量將達(dá)到1.71億，按1.6倍率相乘，農(nóng)民工總數(shù)為2.73億；按目前發(fā)展趨勢2021年外出農(nóng)民工數(shù)量將出現(xiàn)高點(diǎn)1.88億，折算成農(nóng)民工總數(shù)為3.0億，之后將呈現(xiàn)緩慢下降趨勢。

外出農(nóng)民工；最小一乘法；曲線擬合；預(yù)測

文獻(xiàn)著錄格式：顧樂民.中國外出農(nóng)民工歷史的測算與未來的趨勢［J］.浙江農(nóng)業(yè)科學(xué)，2015，56（1）：130－136.

DOI 10.16178／j.issn.0528?9017.20150142

農(nóng)民工是中國工業(yè)化、城市化與農(nóng)村人口在非農(nóng)化沒有同步發(fā)展的歷史條件下產(chǎn)生的一個(gè)獨(dú)特的社會(huì)群體［1］。于20世紀(jì)80年代出現(xiàn)的農(nóng)民工，是改革開放進(jìn)程中出現(xiàn)并迅速成長起來的一支新型勞動(dòng)大軍，是現(xiàn)代產(chǎn)業(yè)工人的主體，是中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要力量。農(nóng)民工隊(duì)伍的產(chǎn)生和不斷壯大，對改變農(nóng)村面貌做出了特殊的重要貢獻(xiàn)，成為推動(dòng)中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)結(jié)構(gòu)變革的巨大力量［2－3］。但是由于沒有成熟的農(nóng)民工統(tǒng)計(jì)制度，對于30多年來我國農(nóng)民工的數(shù)量，約40%年份的數(shù)據(jù)是缺失的，存留的數(shù)據(jù)中也有不少是矛盾的，誤差在15%的居多，有的甚至達(dá)近30%。

關(guān)于農(nóng)民工歷年數(shù)量變化的資料雖然能找到或估算出［4－5］，但總體是不全的。農(nóng)民工數(shù)量數(shù)據(jù)的缺失會(huì)造成一些分析難以或無法進(jìn)行，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)之間的矛盾也會(huì)使各種分析變得有爭議。因此補(bǔ)全缺失的數(shù)據(jù)，糾正矛盾的數(shù)據(jù)，可以更好地為分析農(nóng)民工其他問題服務(wù)，具有一定的理論和實(shí)用價(jià)值。

數(shù)據(jù)是不能憑空構(gòu)造的，農(nóng)民工數(shù)量的變化規(guī)律也是客觀存在的，將這種規(guī)律用數(shù)據(jù)形式表達(dá)是可能的。如果在存有的數(shù)據(jù)中隱含若干重要數(shù)據(jù)，即統(tǒng)計(jì)過程中具有很高置信度、被公認(rèn)的、已被廣泛接受的權(quán)威數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)并找出它們，以這些數(shù)據(jù)為主線，就能勾勒出一條能較準(zhǔn)確反映農(nóng)民工發(fā)展過程的曲線。它不僅能成為農(nóng)民工數(shù)量變化規(guī)律的一個(gè)很好的近似，還可以用數(shù)學(xué)上的內(nèi)插法，補(bǔ)全缺失的相關(guān)數(shù)據(jù)，糾正有矛盾的數(shù)據(jù)，并延伸到其他農(nóng)民工的各種分析服務(wù)上。

最小一乘準(zhǔn)則是關(guān)于誤差絕對值之和極小化的準(zhǔn)則，源于18世紀(jì)天文學(xué)子午線長問題的古典研究，從歷史上看比最小二乘準(zhǔn)則還早了40多年。但如何在該準(zhǔn)則基礎(chǔ)上建立并實(shí)現(xiàn)回歸算法是個(gè)難題，成為困擾數(shù)理界200多年未解的難題，也形成了延續(xù)至今的對最小一乘準(zhǔn)則的各種研究，并逐漸形成了以該準(zhǔn)則為基礎(chǔ)的最小一乘法。近年來，由于最小一乘解的實(shí)現(xiàn)問題有了大的突破，使得最小一乘法在各領(lǐng)域中迅速得以應(yīng)用，成為繼最小二乘法之后一個(gè)既古典又新穎的方法［6］。最小一乘解的實(shí)現(xiàn)過程與最小二乘解有很大區(qū)別，最小二乘法是全部數(shù)據(jù)都必須參與的捆綁式的處理方法，而最小一乘法則是通過全部數(shù)據(jù)選出若干個(gè)特征數(shù)據(jù)的代表式的數(shù)據(jù)處理方法。最小一乘法的這種數(shù)據(jù)處理方式，為農(nóng)民工數(shù)量問題的解決提供了一個(gè)極為相近的思路與方法，將最小一乘法需要的特征數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要數(shù)據(jù)聯(lián)系起來，就有可能繪出一條最小一乘準(zhǔn)則下的農(nóng)民工數(shù)量的變化曲線。

廣義最小一乘法是最小一乘法的一個(gè)推廣［7］，是合理運(yùn)用最小一乘法基于的零誤差原理，并加以推廣至關(guān)鍵數(shù)據(jù)位，使關(guān)鍵點(diǎn)位數(shù)據(jù)成為最小一乘特征數(shù)據(jù)的一種方法。所謂關(guān)鍵點(diǎn)就是特別關(guān)心的重要數(shù)據(jù)點(diǎn)，是不希望出現(xiàn)誤差或誤差盡可能小的點(diǎn)。例如力峰值點(diǎn)、機(jī)床加工特殊點(diǎn)、目標(biāo)到達(dá)點(diǎn)、預(yù)測的未知點(diǎn)等。如果將農(nóng)民工數(shù)量統(tǒng)計(jì)中的重要數(shù)據(jù)點(diǎn)視為關(guān)鍵點(diǎn)，那么關(guān)于農(nóng)民工數(shù)量變化曲線的建立不僅有了理論依據(jù)，也成為可能。

Richards模型是1955年Richards在von Bertalanffy生長模型的基礎(chǔ)上經(jīng)一般化處理后提出的一個(gè)著名的生長模型［8］，也常用于人口增長的描述。通過參數(shù)變化可演變?yōu)镸itscherlich、Gompertz、Logistic這3個(gè)生長模型，使之成為Richards模型的3個(gè)特例。Richards曲線是一個(gè)具有漸近線功能的S形曲線，能推算出當(dāng)時(shí)間→∞條件下增長的極限量。數(shù)據(jù)處理表明由于含有4個(gè)參數(shù)，使得Richards模型比另外3個(gè)模型具有更小的曲線擬合誤差，在本研究中將Richards模型作為主要的數(shù)學(xué)模型之一。

此外，在本研究中還將介紹一個(gè)新的生長模型，冪指數(shù)＋指數(shù)混合型生長模型，一種既有冪指數(shù)功能又有指數(shù)功能，既有漸近線功能也有極值功能的新生長模型，用于克服Richards模型中不具有極值的局限。在廣義的增長、發(fā)展、生長過程中，時(shí)間→∞條件下的極限增長往往不一定都存在，當(dāng)增長趨于停滯往往預(yù)示著外部條件或內(nèi)在因素?zé)o法再起作用，此時(shí)只有2種可能，一種是趨于消亡，例如植物的生長；另一種繼續(xù)維持生存，則必然朝著新的循環(huán)尋找出路，通過表觀下跌找到新的平衡。新模型中這2種趨勢都有可能出現(xiàn)，依賴于給定的是什么類型的數(shù)據(jù)，所以具有很強(qiáng)的適應(yīng)性和指示性。極大值和極限值的雙重現(xiàn)象可能更符合客觀世界的一般生長規(guī)律，也可能更符合農(nóng)民工未來發(fā)展的趨勢，在本研究中也將該新模型作為主要的數(shù)學(xué)模型之一，與Richards模型一起共同用于分析農(nóng)民工的數(shù)量增長問題。

1 原理與方法

表1是國家4部門給出的1983－2007年間主要年份外出務(wù)工的農(nóng)民工數(shù)量數(shù)據(jù)［3］。

表1 改革開放以來主要年份外出務(wù)工的農(nóng)民工數(shù)量萬人

1.1 最小一乘法

數(shù)據(jù)（xi，yi）i＝1，2，…，m是隱函數(shù)y（x）在有定義的區(qū)間內(nèi)給出的m個(gè)離散點(diǎn)組，為找到隱函數(shù)y（x），設(shè)擬合函數(shù)f（x）＝f（x，a），其中參數(shù)a＝（a1，a2，…，an），n≤m，而a1，a2，…，an為n個(gè)不全為0的實(shí)數(shù)。為使f（x）盡可能接近y（x），設(shè)誤差函數(shù)r（x）＝y(tǒng)（x）－f（x），而誤差值（xi，ri）是誤差函數(shù)r（x）上的具體數(shù)值：

ri＝y(tǒng)i－?（xi，，a）i＝1，2，…，m。

曲線擬合的最小一乘法，是依據(jù)誤差ri＝y(tǒng)if（xi，a）的絕對值之和為極小的準(zhǔn)則來選擇參數(shù)a，即依據(jù)Q＝Q（a）＝min而構(gòu)成的一種曲線擬合法。

1.2 平均絕對誤差Mae、平均絕對百分誤差Mape、曲線擬合誤差

平均絕對誤差Mae是最小一乘法一個(gè)重要的絕對量值指標(biāo)：

平均絕對百分誤差Mape是最小一乘法一個(gè)重要的相對量值指標(biāo)：

在曲線擬合中，平均絕對百分誤差常被稱為曲線擬合誤差，在后文中將應(yīng)用該術(shù)語。

1.3 最小一乘解

如果最小一乘的解存在，即存在a＝a?使則至少存在n個(gè)零誤差點(diǎn)x1，x2，…，xn使yj－f（xj，a?）＝0，j＝1，2，…，n。

稱參數(shù)a?為最小一乘最佳擬合參數(shù)，上標(biāo)用?表示，稱f（x，a?）為最小一乘最佳擬合方程，它們構(gòu)成了最小一乘法的一般解。

1.4 零誤差以及最小一乘法、最小二乘法、廣義最小一乘法在數(shù)據(jù)處理方式上的差異

所謂零誤差就是沒有誤差，或誤差為0。在實(shí)際計(jì)算過程中由于計(jì)算機(jī)的浮點(diǎn)運(yùn)算功能是有限的，所以常將很小可以忽略不計(jì)的絕對值誤差作為零誤差處理。從1.3節(jié)可以看出，最小一乘法是通過n個(gè)零誤差點(diǎn)處的零誤差來獲得最小一乘解的，這種求解方式是最小一乘法獨(dú)有的。但不是任意n個(gè)數(shù)據(jù)都可以成為零誤差數(shù)據(jù)，而是需要通過選優(yōu)的方式，在m個(gè)都有可能成為零誤差的數(shù)據(jù)中，擇優(yōu)選出能使誤差絕對值之和極小的n個(gè)數(shù)據(jù)作為零誤差數(shù)據(jù)。這個(gè)由全部m個(gè)數(shù)據(jù)都參與，選出n個(gè)數(shù)據(jù)作為全部數(shù)據(jù)的代表的數(shù)據(jù)處理過程可用一個(gè)通俗的語言代表式的數(shù)據(jù)處理方式來描述，而選中的n個(gè)數(shù)據(jù)就成了代表數(shù)據(jù)。

最小二乘法的數(shù)據(jù)處理過程要求全部數(shù)據(jù)都參與，得到的結(jié)果是集體貢獻(xiàn)的組合性結(jié)果，是一種捆綁式的數(shù)據(jù)處理方式。如果在數(shù)據(jù)缺失情況下應(yīng)用該法，得到的結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一定的片面性。

廣義最小一乘法具有相當(dāng)大的靈活性，它吸收了最小一乘法的零誤差原理，卻不苛刻要求誤差絕對值之和必須極小，以部分犧牲極小化結(jié)果的代價(jià)換取對應(yīng)用條件的寬松。例如，最小一乘法規(guī)定的n個(gè)特征數(shù)據(jù)具有唯一性的特征，是不能任選的；但是廣義最小一乘法可以根據(jù)實(shí)際需要，人為確定2個(gè)數(shù)據(jù)為特征數(shù)據(jù)，另外（n－2）個(gè)數(shù)據(jù)由最小一乘準(zhǔn)則來選取。這種用抬高或犧牲誤差絕對值之和極小的代價(jià)換取對關(guān)鍵數(shù)據(jù)的保護(hù)的最小一乘法就是廣義最小一乘法，是最小一乘法的一個(gè)推廣。

1.5 原始數(shù)據(jù)中的重點(diǎn)數(shù)據(jù)

在表1給出的1組原始數(shù)據(jù)中，可以確定以下3個(gè)數(shù)據(jù)為重點(diǎn)數(shù)據(jù)：1983年外出農(nóng)民工數(shù)量200萬，這是一個(gè)被公認(rèn)的歷史性數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)之后的多個(gè)數(shù)據(jù)是缺失的；1996年外出農(nóng)民工數(shù)量7 223萬，該數(shù)據(jù)為第一次全國農(nóng)業(yè)普查數(shù)據(jù)，具有很高的置信度和權(quán)威性，由于該數(shù)據(jù)之前的多個(gè)數(shù)據(jù)是缺失的，它定位的重要性就尤為突出；2006年外出農(nóng)民工數(shù)量13 181萬，該數(shù)據(jù)為第二次全國農(nóng)業(yè)普查數(shù)據(jù)，也具有很高的置信度和權(quán)威性，該數(shù)據(jù)之前是多個(gè)矛盾數(shù)據(jù)，如果需要糾正矛盾數(shù)據(jù)，它的定位作用就十分重要。

這3個(gè)數(shù)據(jù)的一個(gè)共同特征是它們分別代表了相應(yīng)的年代（80，90，00年代），使得重要數(shù)據(jù)在時(shí)間分布上比較均勻且合理。除這3個(gè)數(shù)據(jù)外，其他的數(shù)據(jù)均作為一般數(shù)據(jù)處理。2008－2013年的數(shù)據(jù)有6個(gè)在表1中并沒有列出，這6個(gè)數(shù)據(jù)具有很高的置信度，但這6個(gè)數(shù)據(jù)集中在最近的6年，數(shù)據(jù)是連續(xù)的、不缺失的、無矛盾的，所以這6個(gè)數(shù)據(jù)屬于權(quán)重相等的一般數(shù)據(jù)。

1.6 Richards生長模型

Richards生長模型是一個(gè)具有漸近線功能的S形模型，模型中的4個(gè)參數(shù)用a1，a2，a3，a4簡化表達(dá)：

當(dāng)時(shí)間x→∞，e－a3x→0，所以參數(shù)a1表示為極限量。

1.7 冪指數(shù)＋指數(shù)混合型生長模型

冪指數(shù)＋指數(shù)混合型生長模型是冪指數(shù)模型與指數(shù)模型簡單組合而構(gòu)成的一個(gè)混合型模型，用g（x）＝g（x，b）表示，其中參數(shù)b＝（b1，b2，b3，b4）。

g（x）＝g（x，b）＝b1xb2＋b3eb3x。

g（x）的變化率即為1階導(dǎo)函數(shù)g′（x），g（x）的2階變化率即為2階導(dǎo)函數(shù)g″（x）：

式中都是超越方程，令g′（x）＝0通過牛頓迭代法得到0點(diǎn)是g（x）的極大值點(diǎn)；令g″（x）＝0通過牛頓迭代法得到的0點(diǎn)是g（x）的拐點(diǎn)，因篇幅關(guān)系不展開對該生長模型的擴(kuò)展性討論。

2 數(shù)據(jù)處理

表2中第1列是序號(hào)，共18個(gè)，第2列是年份，第3列是1983－2013年我國外出農(nóng)民工數(shù)量實(shí)際數(shù)據(jù)，為母系列，其中2008－2013年的6組數(shù)據(jù)是國家統(tǒng)計(jì)局通過人民網(wǎng)財(cái)經(jīng)頻道公布的國家數(shù)據(jù)［9－10］，缺失年份的數(shù)據(jù)有13個(gè)（1984，1985，1986，1987，1988，1990，1991，1992，1994，1997，1998，1999，2007年）。因最小一乘法解的實(shí)現(xiàn)是一個(gè)十分繁復(fù)的計(jì)算，文中略去所有的計(jì)算過程，只給出計(jì)算的結(jié)果。

依據(jù)上述的討論，在最小一乘準(zhǔn)則下得到的Richards方程為：

對數(shù)據(jù)處理的結(jié)果見表2第4列，表中第5列為絕對誤差（萬），第6列為相對誤差（%）。位于i＝1，5，12，18的誤差是零誤差點(diǎn)，相應(yīng)的年份是1983，1996，2006，2013年。Richards方程獲得了平均絕對誤差Mae＝386.8（萬）和曲線擬合誤差Mape＝4.73%的條件極小化的結(jié)果。

在最小一乘準(zhǔn)則下得到指數(shù)＋冪指數(shù)混合模型方程為：

對數(shù)據(jù)處理的結(jié)果見表2，其中第7列為擬合值，第8列為絕對誤差，第9列為相對誤差。位于i＝1，5，12，15的誤差點(diǎn)是零誤差點(diǎn)，相應(yīng)的年份是1983，1996，2006，2010年。冪指數(shù)＋指數(shù)混合模型獲得了平均絕對誤差Mae＝351.3萬和曲線擬合誤差Mape＝4.36%的條件極小化的結(jié)果。

由表2可以說明以下幾點(diǎn)：

1）4個(gè)零誤差點(diǎn)是31年間（1983－2013年）外出農(nóng)民工數(shù)量變化的4個(gè)重要數(shù)據(jù)點(diǎn)，分別在80，90，00，10年代出現(xiàn)，比較均衡。假設(shè)這4個(gè)重要數(shù)據(jù)是全部31個(gè)數(shù)據(jù)（含缺失的13個(gè)數(shù)據(jù)）的代表數(shù)據(jù)，那么最小一乘法依據(jù)這4個(gè)數(shù)據(jù)獲得的解，即獲得的曲線擬合方程就可以認(rèn)為是31年來我國外出農(nóng)民工數(shù)量變化的一個(gè)近似規(guī)律。

2）如果假設(shè)不成立，那么就必須從給定的數(shù)據(jù)中，另外選出4個(gè)代表數(shù)據(jù)，并獲得相應(yīng)的解。文中不展開重新選擇數(shù)據(jù)的探討，因?yàn)檫@種對比將涉及大量的計(jì)算和討論，所以文中認(rèn)定給出的假設(shè)是成立的。

3）2個(gè)生長模型的數(shù)據(jù)處理有相同點(diǎn)，都認(rèn)為2000年和2001年的數(shù)據(jù)誤差較大，它們的相對誤差都超過了20%，所以需要修正。

4）根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局給出的我國外出農(nóng)民工與農(nóng)民工總數(shù)的比例，多年來一直在1∶1.6左右，由Richards方程給出的外出農(nóng)民工的極限數(shù)量為28 282.892萬，按1.6倍率推算，我國農(nóng)民工總數(shù)的極限量為4.53億，這個(gè)結(jié)果超出了實(shí)際可能的范圍。根據(jù)《中國農(nóng)村統(tǒng)計(jì)年鑒》數(shù)據(jù)，截至2010年，我國農(nóng)村勞動(dòng)力的資源為46 875萬人［5］，Richards模型給出的理論結(jié)果接近該值，但不可能都轉(zhuǎn)化為農(nóng)民工，所以事實(shí)不可能實(shí)現(xiàn)。從意義上說Richards模型給出的數(shù)據(jù)處理結(jié)果只能作為參考，同樣對于Mitscherlich，Gompertz，Logistic等模型，給出的結(jié)果將產(chǎn)生大的偏差而不合實(shí)際情況，這里從略。

5）相比之下，冪指數(shù)＋指數(shù)型混合模型比較符合實(shí)際的人口變化情況，且2個(gè)重要的曲線擬合指標(biāo)Mae和Mape都要較Richards模型小些，所以在后文的分析中將主要運(yùn)用該模型。

3 數(shù)據(jù)分析

3.1 預(yù)測的零誤差經(jīng)驗(yàn)法則

預(yù)測的零誤差經(jīng)驗(yàn)法則適用于數(shù)值逼近［11］。大量試驗(yàn)表明，在數(shù)值逼近中若將端點(diǎn)xm處的數(shù)據(jù)值（xm，ym）設(shè)定為零誤差，即ym－f（xm）＝0。則對于未知的數(shù)據(jù)（xm＋1，ym＋1）的預(yù)測具有較為準(zhǔn)確的結(jié)果。

在數(shù)值逼近中，數(shù)據(jù)值的隨機(jī)誤差一般較小，函數(shù)方程越接近0點(diǎn)其誤差絕對值就越小，如果端點(diǎn)前數(shù)據(jù)的誤差rm－1＝y(tǒng)m－1－f（xm－1）的絕對值誤差很小，而端點(diǎn)處的誤差為0，rm＝y(tǒng)m－f（xm）＝0，按照曲線延伸的慣性原理，則端點(diǎn)后數(shù)據(jù)（xm＋1，ym＋1）的誤差也不會(huì)大，這為預(yù)測數(shù)據(jù)（xm＋1，ym＋1）引入的預(yù)測誤差必定很小。如果再對預(yù)測進(jìn)行一種誤差補(bǔ)償，將誤差值rm－1簡單疊加在預(yù)測值f（xm＋1）上，即有ym＋1＝f（xm＋1）±rm－1，則預(yù)測結(jié)果將更接近實(shí)際真值ym＋1。

這個(gè)經(jīng)驗(yàn)法則雖適用于數(shù)值逼近，但對于統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)據(jù)而言，當(dāng)數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差不是很大，依然可以簡單套用，僅當(dāng)隨機(jī)誤差很大，曲線失去了延伸的一般規(guī)律時(shí)，該法則就不宜使用。

3.2 預(yù)測性檢驗(yàn)

對于未來的預(yù)測，重要的是預(yù)測結(jié)果是否準(zhǔn)確，此時(shí)其他問題，例如規(guī)律性問題、曲線的形狀問題等都要讓位，即凡是干擾或影響預(yù)測所需要的條件的一般都要加以限制。預(yù)測的零誤差經(jīng)驗(yàn)法則設(shè)定端點(diǎn)數(shù)據(jù)為滿足式y(tǒng)m－f（xm）＝0的零誤差數(shù)據(jù)，其他數(shù)據(jù)均視為一般數(shù)據(jù)以免干擾，以下給出實(shí)際預(yù)測結(jié)果。

表2 1983－2013年我國外出農(nóng)民工數(shù)量的模型擬合

1）用冪指數(shù)＋指數(shù)模型，預(yù)測2011年外出的農(nóng)民工數(shù)量。

由表2，取1983－2010年的15組數(shù)據(jù)，設(shè)定2010年的數(shù)據(jù)為零誤差數(shù)據(jù)，其余均為一般數(shù)據(jù)，依據(jù)最小一乘準(zhǔn)則，獲得的擬合方程：

g（xi）＝457.293 83（xi－1 982）1.064617－250.231 44e0.027832（xi－1982）。

零誤差在1983，1996，2004，2010年的4個(gè)數(shù)據(jù)位上出現(xiàn)，擬合結(jié)果為平均絕對誤差Mae＝381.2（萬），曲線擬合誤差5.07%，將x16＝2011帶入上式，得預(yù)測結(jié)果g（2011年）＝15 924.1（萬），與實(shí)際值15 863（萬）的絕對誤差為61.1（萬），預(yù)測的相對誤差為0.39%。

2）預(yù)測2012年外出的農(nóng)民工數(shù)量。

同理，取1983－2011年的16組數(shù)據(jù)，設(shè)定2011年的數(shù)據(jù)為零誤差數(shù)據(jù)，其余均為一般數(shù)據(jù)，依據(jù)最小一乘準(zhǔn)則，獲得的擬合方程：

g（xi）＝445.083（xi－1 982）1.080664－232.495 93e0.05272423（xi－1982）。

該方程在1983，1996，2004，2011年的4個(gè)點(diǎn)位獲得零誤差，擬合結(jié)果為平均絕對誤差Mae＝357.9（萬），曲線擬合誤差4.74%，將x17＝2012帶入上式，得預(yù)測結(jié)果g（2012年）＝164 36.9（萬），與實(shí)際值16 336（萬）的絕對誤差為100.9（萬），預(yù)測的相對誤差為0.62%。

3）預(yù)測2013年外出的農(nóng)民工數(shù)量。

取1983－2012年的17組數(shù)據(jù)，設(shè)定2012年的數(shù)據(jù)為零誤差數(shù)據(jù)，其余同上，獲得的擬合方程：

g（xi）＝430.322 37（xi－1 982）1.096374－215.518 93e0.0664312（xi－1982）。

該方程在1983，1996，2004，2012年的4個(gè)點(diǎn)位獲得零誤差，擬合結(jié)果為平均絕對誤差Mae＝342.1（萬），曲線擬合誤差4.47%，將x18＝2013帶入上式，得預(yù)測結(jié)果g（2013）＝16 883.2（萬），與實(shí)際值16 610（萬）的絕對誤差為273.2（萬），預(yù)測的相對誤差為1.64%。

以上預(yù)測都具有一定的準(zhǔn)確性，同時(shí)也看到，雖然只設(shè)定了端點(diǎn)數(shù)據(jù)為零誤差數(shù)據(jù)，其余都按一般數(shù)據(jù)論處，但按照最小一乘準(zhǔn)則的數(shù)據(jù)處理，1983年和1996年的數(shù)據(jù)都?xì)w入了零誤差數(shù)據(jù)范疇，這與上述討論中將1983，1996，2006年屬于重點(diǎn)數(shù)據(jù)的設(shè)定十分相近，這一結(jié)果也說明了最小一乘法對于數(shù)據(jù)的選取具有與事實(shí)十分接近的優(yōu)良功能。

3.3 預(yù)測2014年我國農(nóng)民工數(shù)量

在以上分析基礎(chǔ)上，對2014年外出農(nóng)民工可能的數(shù)量進(jìn)行預(yù)測。取1983－2013年的18組數(shù)據(jù)，設(shè)定2013年的數(shù)據(jù)為零誤差數(shù)據(jù)，其余同上，獲得的擬合方程：

g（xi）＝403.336 53（xi－1 982）1.123753－186.985 37e0.083832（xi－1982）。

將x19＝2014帶入上式，得預(yù)測結(jié)果g（2014年）＝17 084．7（萬），按照1∶1.6的比率，農(nóng)民工總量為2.73億；該結(jié)果有待2015年驗(yàn)證。

3.4 Richards曲線分析

圖1中Richards模型是表2數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)處理結(jié)果的曲線形式轉(zhuǎn)化，圖中橫坐標(biāo)為年份，縱坐標(biāo)是人口數(shù)（萬人）。

圖1中曲線1是Richards曲線：

在定義區(qū)間［1983，2013年］內(nèi)，Richards曲線是一條無極值（極小和極大）的單增曲線。

圖1中ARichards模型曲線2是Richards曲線的變化率曲線，即f（x）的1階導(dǎo)函數(shù)f′（x）曲線，因?yàn)橹皇嵌ㄐ哉f明問題，略去了該曲線的數(shù)值標(biāo)定，即沒有給出曲線2的縱坐標(biāo)數(shù)值。曲線2表明Richards曲線的變化率曲線是一條含有一個(gè)極大值的駝峰狀曲線，計(jì)算表明f′（x）曲線在x＝1 994.8處獲得極大值，相當(dāng)于Richards曲線f（x）在1995年處出現(xiàn)一個(gè)變化的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)的出現(xiàn)使Richards曲線由逐步加快的遞增變?yōu)橹鸩綔p慢的遞增。

圖1 我國外出農(nóng)民工數(shù)量的擬合曲線

3.5 冪指數(shù)＋指數(shù)曲線分析

圖1冪指數(shù)＋指數(shù)混合模型中的曲線1是冪指數(shù)＋指數(shù)曲線：

g（x）＝338.2388（x－1 982）1.187315－124.48e0.104837（x－1982）。

g（x）曲線與Richards曲線不同之處在于，在定義區(qū)間［1983，2013年］內(nèi)，g（x）曲線雖然也是一條無極值（極小和極大）的單增曲線，在它的延伸部分，在區(qū)間外的x＝2 021.2，相當(dāng)于2021年將出現(xiàn)一個(gè)極大值g（2 021.2）＝18 777，預(yù)示外出農(nóng)民工在2021年將達(dá)到最大值18 777萬，之后將緩慢下降。圖1冪指數(shù)＋指數(shù)混合模型中曲線2是g（x）曲線的變化率曲線g′（x），這是一條含有一個(gè)極大值的駝峰狀曲線，但峰值出現(xiàn)點(diǎn)位與Richards變化率曲線略有差異。計(jì)算表明g′（x）曲線在x＝1 998.4處獲得極大值，相當(dāng)于g（x）曲線1998年處出現(xiàn)一個(gè)變化的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)的出現(xiàn)使冪指數(shù)＋指數(shù)曲線由逐步加快的遞增變?yōu)橹鸩綔p慢的遞增。

3.6 曲線分析的綜合

Richards曲線和冪指數(shù)＋指數(shù)曲線得出的結(jié)論略有不同，Richards曲線顯示，當(dāng)時(shí)間→∞，外出農(nóng)民工數(shù)量為2.8億，這既難以驗(yàn)證也超出現(xiàn)實(shí)的可能。農(nóng)民工的出現(xiàn)具有歷史局限性，必將伴隨歷史的前進(jìn)而消失，所以該值不具有參考性，可以除去。綜合2個(gè)生長模型給出的結(jié)論可歸結(jié)為，1983－2013年的31年間，我國外出農(nóng)民工數(shù)量的變化是一個(gè)不存在極值（極大或極?。┑摹⑦B續(xù)遞增的發(fā)展，在發(fā)展過程中的1995－1998年出現(xiàn)了變化的拐點(diǎn)，由逐步加快的遞增變?yōu)橹鸩綔p慢的遞增，這種增長率的變慢必將產(chǎn)生效應(yīng)，外出農(nóng)民工將在2021年左右出現(xiàn)最大值1.877 7億，按1.6倍率推算，農(nóng)民工總數(shù)為3.00億，之后農(nóng)民工數(shù)量將逐漸減少。

31年來外出農(nóng)民工缺失的數(shù)據(jù)可用數(shù)學(xué)上的內(nèi)插法加以補(bǔ)齊，表3是按照冪指數(shù)＋指數(shù)混合增長模型，在最小一乘準(zhǔn)則下計(jì)算的結(jié)果。數(shù)據(jù)獲得的曲線擬合誤差為0.5%，最大誤差為1.98%，所以在實(shí)際應(yīng)用中，若考慮到統(tǒng)計(jì)學(xué)的隨機(jī)誤差，帶有?號(hào)或??的數(shù)據(jù)其誤差允許在±0.5%范圍內(nèi)波動(dòng)，其中個(gè)別數(shù)據(jù)波動(dòng)的最大范圍不得超過±1.98%。

表3 1983－2013年外出農(nóng)民工數(shù)量變動(dòng)情況

4 小結(jié)

最小一乘法解的實(shí)現(xiàn)過程，是一種代表式的選取方式，我國外出農(nóng)民工數(shù)量變化數(shù)據(jù)雖然缺失但仍存有重要數(shù)據(jù)，將二者之間建立緊密的關(guān)聯(lián)，使重要數(shù)據(jù)成為代表數(shù)據(jù)，彌補(bǔ)了數(shù)據(jù)缺失的不足。通過數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)分析、實(shí)踐驗(yàn)證等多個(gè)環(huán)節(jié)，得出如下結(jié)論。

1983－2013年我國外出農(nóng)民工的數(shù)據(jù)雖然只有18個(gè)，但因存有高置信度的權(quán)威數(shù)據(jù)，這使得缺失的數(shù)據(jù)、矛盾的數(shù)據(jù)可以通過最小一乘法得以補(bǔ)缺及糾正。

31年來農(nóng)民工數(shù)量的變化規(guī)律可以用Richards生長模型和冪指數(shù)＋指數(shù)混合生長模型來描述。31年來我國外出農(nóng)民工的增長是一個(gè)不存在峰或谷的連續(xù)增長，在增長過程中，1995－1998年出現(xiàn)了變化的拐點(diǎn)，使原先逐步加快的增長變?yōu)橹鸩綔p慢的增長。

2014年我國外出農(nóng)民工數(shù)量將達(dá)1.71億，按照1∶1.6比率推算，農(nóng)民工總數(shù)約為2.73億；我國外出農(nóng)民工數(shù)量將在2021年左右出現(xiàn)峰值1.88億，按1.6倍率推算，農(nóng)民工總數(shù)為3.00億，之后農(nóng)民工數(shù)量將逐漸趨于減少。

31年來外出農(nóng)民工缺失的數(shù)據(jù)可用數(shù)學(xué)上的內(nèi)插法加以補(bǔ)齊，在實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)據(jù)誤差允許在一定范圍內(nèi)波動(dòng)。

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（責(zé)任編輯：高 峻）

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0528?9017（2015）01?0130?07

2014?08?28

顧樂民（1952－），男，江蘇射陽人，研究方向?yàn)樽罴驯平砑捌鋺?yīng)用。E?mail：gulemin＠#edu.cn。