陳 歡， 李 芳

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

報童問題模型是歐美等發(fā)達國家研究的主要管理學(xué)模型，是典型的單階段、隨機需求模型.在不確定需求的時令性商品的銷售中，過量訂貨或不足訂貨都會產(chǎn)生損失，決策者需要確定商品的最優(yōu)訂購數(shù)量，使得利潤最大化.由于服務(wù)業(yè)產(chǎn)品多數(shù)具備報童模型中的商品特征，隨著服務(wù)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，對于報童問題模型的研究越顯重要.

報童模型1956年首次提出后，就成為學(xué)術(shù)界的關(guān)注焦點，大量學(xué)者對此問題進行了研究.在報童問題的模型研究方面，Parlar等［1］在目標函數(shù)方面進行了擴展，研究了多目標的報童問題；Petruzzi等［2］和Erlebacher［3］擴展了經(jīng)典報童問題中的定價決策；宋華明等［4］建立了決策變量為訂貨點及訂貨量的正態(tài)分布下時變參數(shù)的報童問題的數(shù)學(xué)模型；吳鵬［5］考慮了在回收再制造活動情形下的最優(yōu)生產(chǎn)量的決策問題；黃宇菲等［6］研究了單位生產(chǎn)成本和單位缺貨懲罰成本對報童問題最優(yōu)解空間的影響.在報童問題約束條件的擴展研究 方面，Vairaktarakis［7］研究了帶預(yù)算約束的報童問題；Chen等［8］將缺貨懲罰轉(zhuǎn)化為一個約束條件，研究正態(tài)分布下帶訂貨提前期決策的擴展報童問題；蔡清波等［9］構(gòu)造了一個帶時間決策的推廣的報童模型，指出了需求函數(shù)的方差是時間的一個線性函數(shù)，這種考慮時間的方式，給以后的研究帶來了很大的啟示；蘇菊寧等［10］研究了制造商的生產(chǎn)成本增加量為對稱信息和非對稱信息條件下的收入共享契約.在供應(yīng)鏈問題的研究方面，秦桂英等［11］為優(yōu)化供應(yīng)鏈的運作效率，分析了引入云計算的必要性并給出了具體的實施步驟；翟勇洪等［12］構(gòu)建了閉環(huán)供應(yīng)鏈下再制造的生產(chǎn)模型，方便企業(yè)選擇最優(yōu)利潤決策；Larivier等［13］從渠道協(xié)調(diào)角度研究了供應(yīng)鏈效率的影響因素.本文從供應(yīng)鏈角度同時考慮了生產(chǎn)成本和預(yù)測精度兩個參數(shù)隨時間變化的報童問題，把缺貨損失和過量訂貨帶來的持有成本綜合考慮在目標函數(shù)中，并對供應(yīng)鏈成員間的收益給出了優(yōu)化協(xié)調(diào)方案.

1 帶時間窗的報童模型

傳統(tǒng)的報童模型不考慮時間因素對供應(yīng)鏈決策的影響，決策者面臨的問題僅僅是如何確定最優(yōu)的訂貨批量.考慮到參數(shù)隨時間變化的特征，訂貨時點也影響零售商的利潤，決策者還要考慮訂貨時點對自身收益的影響.因此，訂貨時點和訂貨量是帶時間窗報童模型中的兩個決策變量.本文通過引入帶時間窗的報童模型，縮短零售商的訂貨提前期，使得供應(yīng)鏈對市場的需求預(yù)測更加準確，從而增加供應(yīng)鏈的整體收益；并通過引入線性轉(zhuǎn)移系數(shù)θ，將零售商收益增加量的一部分轉(zhuǎn)移給制造商，從而實現(xiàn)供應(yīng)鏈成員間收益的協(xié)調(diào)優(yōu)化.

1.1 模型描述

考慮由一個制造商和一個銷售商組成的分散決策型兩階段供應(yīng)鏈，生產(chǎn)銷售單一的季節(jié)性產(chǎn)品.例如時尚服飾的供應(yīng)和銷售，在一個銷售期限內(nèi)，零售商只進行一次訂貨，零售商的訂貨量依據(jù)對市場需求的預(yù)測和供應(yīng)商發(fā)布的訂貨價格確定.

記X 為產(chǎn)品的市場隨機需求，X 是服從正態(tài)分布的隨機變量，X 的密度函數(shù)為f（x，t），分布函數(shù)為F（x，t），數(shù)學(xué)期望μ≡c，c 為常數(shù)，記標準正態(tài)分布的密度函數(shù)、分布函數(shù)分別為φ（y），Φ（y）.正常情況下，制造商在0時點訂貨，在帶時間窗的報童模型中，制造商與零售商達成壓縮訂貨提前期的契約，零售商此時只需在t 時刻提交訂單，此時供應(yīng)鏈訂貨提前期被壓縮至T－t.記σ0，σt分別為0時刻和t 時刻零售商對需求預(yù)測的均方差.由于訂貨時點被壓縮至t 時刻，零售商可以在［0，t］時間范圍內(nèi)獲取更多市場信息，對市場需求的預(yù)測精度提高，即σt＜σ0，由蔡清波等［9］的研究結(jié)果有σ＝

相關(guān)參數(shù)如下：

p 為單位產(chǎn)品的市場銷售價格；

c 為制造商的生產(chǎn)成本，c＝c0＋αt2；

c0為制造商的正常生產(chǎn)成本，即t＝0時的生產(chǎn)成本；

α 為提前期壓縮一個單位，生產(chǎn)成本的增加量（假設(shè)與訂貨批量無關(guān)）；

w 為制造商給予零售商的批發(fā)價格；

h 為存貨帶來的費用，如削價處理帶來的損失、庫存費用等；

s 為單位產(chǎn)品的缺貨損失；

T 為零售商從提交訂單到收到貨物的時間，即提前期；

q 為零售商的訂貨量；

θ 為收益線性轉(zhuǎn)移系數(shù).

1.2 數(shù)學(xué)模型

在供應(yīng)鏈中，由于供應(yīng)鏈各成員間存在信息傳遞的不對稱性，從而導(dǎo)致需求放大現(xiàn)象的存在.本文主要研究基于提前期壓縮的供應(yīng)鏈收益問題，主要討論時間和壓縮成本對供應(yīng)鏈及其成員收益的影響.為方便研究，本文模型假定供應(yīng)鏈上下游成員間信息是完全對稱的.因此，假設(shè)零售商的收益為Πr（q，t），則有

將式（1）簡化后，零售商收益為

制造商收益為

供應(yīng)鏈的整體收益為

式中，F(xiàn)（q）是市場隨機需求q 的分布函數(shù)；μ 為正態(tài)分布函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，μ≡c，c 為常數(shù).

2 模型分析

式（2）中，固定變量t，分別對式（2）關(guān)于q 求一階微分和二階微分，有

由式（5）和式（6）可知，在訂貨時間t 時，存在最優(yōu)訂貨量使得式（2）取得最大值，令則有

令變量

所以

由于在分散決策型供應(yīng)鏈中，零售商的最優(yōu)決策決定整個供應(yīng)鏈的訂貨量，將式（8）和式（9）代入式（2）和式（4），可得零售商的最大收益為

供應(yīng)鏈的最大收益為

令t＝0，可知零售商正常訂貨時，零售商收益為

供應(yīng)鏈收益為

欲采用壓縮訂貨提前期的方式訂貨，則需要滿足壓縮提前期后的供應(yīng)鏈收益不低于正常訂貨時的供應(yīng)鏈收益，所以令Δ 為提前期壓縮前后的供應(yīng)鏈收益變化，則有

即

由式（8）可知w＝（p＋s）－（p＋s＋h）Φ（z），其中，w∈［c0，p］.

令β＝（p＋s＋h）φ（z）－（w－c0）z，則

3 收益協(xié)調(diào)

與傳統(tǒng)不考慮時間因素的報童模型進行比較，帶時間窗的報童模型可以給供應(yīng)鏈帶來更大的利潤.但是，零售商獨享了時間壓縮產(chǎn)生的“溢出”價值，制造商卻為此付出了更多的生產(chǎn)成本，導(dǎo)致了自身利潤的下降.所以，只有零售商將獲得的收益增量的θΔr轉(zhuǎn)移給制造商來彌補由于訂貨提前期縮短帶來的利潤損失，制造商才會接受零售商縮短訂貨提前期的契約.因此，必須對供應(yīng)鏈成員間的收益作出協(xié)調(diào).

壓縮訂貨提前期后，零售商的收益增加量Δr為

對供應(yīng)鏈收益協(xié)調(diào)后，制造商的收益為

由Δm＋θΔr≥0，可知

4 數(shù)據(jù)分析

通過數(shù)值算例對上述結(jié)果進行驗證，在本文模型的假設(shè)條件下，假設(shè)c0＝20，w＝40，p＝60，T＝40，h＝10，s＝60，μ＝100，σ0＝20，σT＝4.

4.1 α 與時間t的關(guān)系分析

計算t 在［0，60］范圍內(nèi)變化時，供應(yīng)鏈可承擔(dān)的最大單位趕工成本增加量，由0 ＜α ＜可知，α 的最大臨界值為所以令隨訂貨時間點t 變化的情況如圖1所示.由圖1數(shù)據(jù)可知，供應(yīng)鏈可接受的最大單位趕工成本系數(shù)隨訂貨時點的增大而減小，所以在單位趕工成本系數(shù)已知的情況下，零售商的訂貨時間點不是越大越好，在帶時間窗的報童模型中存在最佳的訂貨時點.

圖1 訂貨時點對最大單位成本增加系數(shù)的影響Fig.1 Influence of ordering time on the biggest unit cost increase coefficient

4.2 最優(yōu)訂貨量與供應(yīng)鏈收益增長率

設(shè)定μ，t 為變量，考慮在μ 分別取μ＝100，105，110時，供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量隨訂貨時間點t變化的情況，由式（9）可知＝μ＋zσt＝μ＋所以可得在不同μ 值情況下隨t 的變化情況如圖2所示.

圖2 不同訂貨時點下零售商的訂貨量Fig.2 Retailer’s ordering quantity under different ordering time

由圖2可知，隨著訂貨時點的增加，供應(yīng)鏈中的企業(yè)對市場需求的預(yù)測更加準確，所以零售商的訂貨量隨訂貨時點的增加而減少.此外，訂貨量隨需求函數(shù)數(shù)學(xué)期望的增加而增加.供應(yīng)鏈收益增長率設(shè)定單位成本增加系數(shù)α＝0.001 5，則在μ 取不同值時供應(yīng)鏈收益增長率隨訂貨時點的變化如圖3所示（見下頁）.由圖3可知，在一定訂貨時點范圍內(nèi)供應(yīng)鏈收益增加比例隨訂貨時點的增加而增加，即適當壓縮供應(yīng)鏈訂貨提前期可以增加供應(yīng)鏈收益.

圖3 不同訂貨時點下供應(yīng)鏈的收益增長率Fig.3 Earnings growth of supply chain under different ordering time

4.3 收益協(xié)調(diào)系數(shù)θ與時間t的關(guān)系

圖4 訂貨時點對收益轉(zhuǎn)移系數(shù)的影響Fig.4 Influence of ordering time on income transfer coefficient

由圖中數(shù)據(jù)可知隨著訂貨時點的增大θmin隨之增加，說明制造商因為壓縮訂貨提前期付出了更多的趕工成本，所以零售商需要將更多的額外收益轉(zhuǎn)移給制造商來彌補制造商的損失.訂貨時點超過一定值后，轉(zhuǎn)移系數(shù)大于1，此時供應(yīng)鏈收益出現(xiàn)下降，所以確定最優(yōu)提前期壓縮量是確保供應(yīng)鏈及其成員收益增加的關(guān)鍵.

5 結(jié) 論

討論了帶時間窗的報童決策模型，從供應(yīng)鏈的角度來進行優(yōu)化，通過對供應(yīng)鏈及其成員建立收益模型，進行數(shù)值分析，并與傳統(tǒng)的不考慮時間因素的報童模型進行比較，得出壓縮供應(yīng)鏈的訂貨提前期的報童問題比傳統(tǒng)報童模型可以給供應(yīng)鏈及其成員帶來更大的利潤.在供應(yīng)鏈整體收益增加、制造商生產(chǎn)成本增加的情況下，通過引入線性轉(zhuǎn)移支付系數(shù)，實現(xiàn)了制造商與零售商的收益協(xié)調(diào).本文假設(shè)零售商與制造商的信息是完全對稱的，沒有考慮信息不對稱情況下的收益變化及協(xié)調(diào)，在以后的研究中可以考慮非對稱信息下的報童問題.

［1］Parlar M，Weng Z K.Balancing desirable but conflicting objectives in the newsvendor problem［J］.IIE Transanetions，2003，35（2）：131－142.

［2］Petruzzi N C，Dada M.Pricing and the newsvendor problem：a review with extensions ［J］.Operations Research，1999，47（2）：183－194.

［3］Erlebacher S J.Optimal and heuristic solutions for the multi－item newsvendor problem with a single capacity constraint［J］.Production and Operations Management，2000，9（3）：303－348.

［4］宋華明，馬士華.正態(tài)分布下時變參數(shù)的報童問題［J］.預(yù)測，2005，24（6）：67－70.

［5］吳鵬.考慮回收再制造的報童模型擴展［J］.清華大學(xué)學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），2006，21（S1）：71－76.

［6］黃字菲，汪應(yīng)洛，呂絢麗.報童模型的最優(yōu)解及其解空間研究［J］.運籌與管理，2010，19（5）：9－14.

［7］Vairaktarakis G L.Robust multi－item newsboy models with a budget constraint［J］.International Journal of Production Economics，2000，66（3）：213－226.

［8］Chen M S，Chuang C C.An extended newsboy problem with shortage－level constraints［J］.International Journal of Production Economics，2000，67（3）：269－277.

［9］蔡清波，魯其輝，朱道立.預(yù)測精度隨時間變化的報童問題模型分析［J］.預(yù)測，2003，22（5）：42－45.

［10］蘇菊寧，陳菊紅，楊變紅.基于提前期壓縮的非對稱信息供應(yīng)鏈契約［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2009，29（6）：39－45.

［11］秦桂英，劉宇熹.基于云計算的供應(yīng)鏈運營模式研究［J］.上海理工大學(xué)學(xué)報，2013，35（3）：245－250.

［12］翟勇洪，梁玲，劉宇熹，等.面向大規(guī)模定制的再制造集約生產(chǎn)計劃模型［J］.上海理工大學(xué)學(xué)報，2014，36（6）：603－613.

［13］Larivier M A，Porteus E L.Selling to the newsvendor：an analysis of price－only contracts［J］.Manufacturing ＆Service Operations Management，2001，3（4）：293－305.