陳姿言，何艷林，陳婧，吳逢鐵

（華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 廈門361021）

由于無(wú)衍射光的特殊性質(zhì)，使它得到廣泛的研究和應(yīng)用，國(guó)內(nèi)外已用多種光學(xué)元件實(shí)現(xiàn)了近似無(wú)衍射貝塞爾光束.軸棱錐是目前用于產(chǎn)生無(wú)衍射光束最常用的光學(xué)元件之一，它是1954年由Mcleod提出來(lái)的非球面線聚焦透鏡［1－2］，利用軸棱錐產(chǎn)生無(wú)衍射光束具有轉(zhuǎn)換效率高、光損傷閾值大，可直接成腔等優(yōu)點(diǎn).無(wú)衍射Bessel光束經(jīng)軸棱錐聚焦后可直接產(chǎn)生局域空心光束（Bottle beam），這是一種在傳播方向上中心光強(qiáng)為零，在此區(qū)域外三維空間都圍繞著高強(qiáng)度的光.理想軸棱錐是常用的產(chǎn)生Bessel光束的軸棱錐，它聚焦無(wú)衍射Bessel光束能夠產(chǎn)生周期性的Bottle beam，但其中心光斑最弱的地方光強(qiáng)并不為零，散射作用較強(qiáng)，對(duì)要囚禁的粒子有一定的損傷，且其光強(qiáng)梯度不大.由于理想軸棱錐對(duì)尖頂?shù)募庸ひ缶确浅８?，稍有誤差可能就會(huì)變成圓頂軸棱錐［3］，它的圓頂部分平凸透鏡的聚焦將光場(chǎng)能量集中在焦點(diǎn)附近與錐面波干涉后，產(chǎn)生多個(gè)具有高強(qiáng)梯度的Bottle beam［4］.目前，國(guó)內(nèi)外已將軸棱錐對(duì)無(wú)衍射光的聚焦特性這個(gè)理論應(yīng)用在各個(gè)領(lǐng)域.何西等［5－6］提出的新型LED 透鏡產(chǎn)生光學(xué)Bottle beam 以及非相干LED 光源產(chǎn)生高階Bessel光束；Craig Snoeyink等［7］提出的貝塞爾光束顯微鏡（BBM），都為此項(xiàng)研究開(kāi)辟了新的方向.本文是通過(guò)對(duì)理想軸棱錐與圓頂軸棱錐對(duì)無(wú)衍射光的聚焦特性進(jìn)行比較，分析各自產(chǎn)生周期性Bottle beam 的優(yōu)缺點(diǎn).

1 理論分析與數(shù)值模擬

1.1 理想軸棱錐對(duì)無(wú)衍射光束的聚焦特性

光束入射到理想軸棱錐上的無(wú)衍射光束的光場(chǎng)分布［8］為

式（1）中：A0＝1是復(fù)振幅常數(shù)；kr＝是徑向波矢分量，γ為軸棱錐底角；r1是徑向坐標(biāo).

軸棱錐的透過(guò)率函數(shù)為t（r）＝exp［－ik（n－1）γr］，用理想軸棱錐對(duì)無(wú)衍射Bessel光束進(jìn)行聚焦，可以得到軸棱錐后的光場(chǎng)分布為

光強(qiáng)分布為

式（3）中：波數(shù)k＝2π／λ；n為軸棱錐的折射率；b為無(wú)衍射光束入射到軸棱錐的光束半徑.根據(jù)式（3）取參量：波長(zhǎng)λ＝632.8nm；軸棱錐底角γ＝1°；軸棱錐折射率n＝1.458；波數(shù)k＝2π／λ；b＝z0（n－1）β；r＝0.4mm.兩軸棱錐之間的距離f＝300mm 進(jìn)行模擬仿真，得到不同截面光強(qiáng)分布圖和徑向光強(qiáng)分布圖，如圖1所示.

圖1 理想軸棱錐模擬所得不同距離的截面光強(qiáng)和徑向光強(qiáng)分布圖Fig.1 Intensity distribution of cross section at different propagation distance and intensity distribution of radial in simulation of ideal axicon

由圖1可以看出：光斑經(jīng)歷了從軸上中心光強(qiáng)最強(qiáng)（圖1（a））到中心光強(qiáng)最弱（圖1（c））再到光斑中心光強(qiáng)最強(qiáng)的過(guò)程，而圖1（e）中光斑又恢復(fù)到初始狀態(tài)（圖1（a））的光斑，其周期約為10mm.

1.2 圓頂軸棱錐的聚焦特性

圓頂軸棱錐如圖2（a）所示，其聚焦的基本原理是利用圓頂部分平凸透鏡的聚焦將光場(chǎng)能量集中在焦點(diǎn)附近與錐面波干涉，產(chǎn)生多個(gè)具有高強(qiáng)梯度的局域空心光束［9］.

圖2 圓頂軸棱錐原理圖Fig.2 Schematic diagram of vaulted axicon

如圖2（b）所示，當(dāng)平面波入射圓頂軸棱錐時(shí)，被分為兩部分：第一部分為0＜R＜R2的區(qū)域，經(jīng)過(guò)該區(qū)域的光線被平凸透鏡匯聚于焦點(diǎn)F處；第二部分為R2＜R＜R1的區(qū)域，該區(qū)域的光線經(jīng)過(guò)底角為γ的軸棱錐產(chǎn)生錐面波［10］.根據(jù)柯林斯公式可求得兩部分光場(chǎng)經(jīng)圓頂軸棱錐變換后的場(chǎng)強(qiáng)分布［11］分別為

式（4）～（5）中：k＝2π／λ為波矢；r1，r2分別為圓頂軸棱錐入射面和光場(chǎng)接收面的徑向坐標(biāo)；E0為入射光場(chǎng)；n為軸棱錐的折射率.圓頂軸棱錐后的光場(chǎng)為E1和E2的相干疊加，光強(qiáng)分布為

式（6）中：I為光強(qiáng)；Z為柱坐標(biāo)系的軸向坐標(biāo).取參量λ＝632.8mm，n＝1.458，γ＝1°，R1＝4mm，R2＝1.4mm，f＝300mm，根據(jù)式（4）～（6）進(jìn)行模擬仿真可得不同距離處的截面光強(qiáng)分布圖和徑向光強(qiáng)分布圖，如圖3所示.

由圖3可知：光斑經(jīng)歷了從軸上中心光強(qiáng)最強(qiáng)（圖3（a））到中心光強(qiáng)最弱（圖3（c））再到光斑中心光強(qiáng)最強(qiáng)的過(guò)程［12］，而圖3（e）中光斑又恢復(fù)到初始狀態(tài)（圖3（a））的光斑，其周期約為8mm.

圖3 圓頂軸棱錐模擬所得不同距離的截面光強(qiáng)和徑向光強(qiáng)分布圖Fig.3 Intensity distribution of cross section at different propagation distance and intensity distribution of radial in simulation of vaulted axicon

2 比較與分析

理想軸棱錐與圓頂軸棱錐都可以產(chǎn)生Bottle beam［13］，但對(duì)比圖1和圖3，圓頂軸棱錐產(chǎn)生的Bottle beam 中心光強(qiáng)相比理想軸棱錐較強(qiáng)，更利于對(duì)粒子的囚禁，并且圓頂軸棱錐圓頂部分形成的平凸透鏡的聚焦將光場(chǎng)能量集中在焦點(diǎn)附近與錐面波干涉后，可以產(chǎn)生多個(gè)具有高強(qiáng)梯度的局域空心光束［14］.而高強(qiáng)度梯度的局域空心光束可以對(duì)處于暗域處的粒子施以大的散射力，將粒子穩(wěn)固地囚禁在暗域處，提高了囚禁粒子的效率.從圖1和圖3中也可看出：理想軸棱錐與圓頂軸棱錐聚焦產(chǎn)生Bottle beam 的周期，為了更好地比較Bottle beam 的周期，將利用公式計(jì)算出理論值，從而驗(yàn)證模擬值的正確性.

由文獻(xiàn)［15］可知：根據(jù)干涉產(chǎn)生局域空心光束的周期公式，則有

式（7）中：kz＝為Bessel光束的軸向波矢分量；k′z為球面波的軸向波矢分量，即

由式（8）可以得出：球面波的軸向波矢分量與徑向距離r有關(guān)，而在圓頂軸棱錐中r＝（R1＋R2）／γ.

利用式（7）和式（8）可以計(jì)算Bottle beam 的周期，則計(jì)算出理想軸棱錐聚焦產(chǎn)生Bottle beam 的周期ZT＝10.56mm，與圖1模擬所得的周期10mm 基本相符.計(jì)算出圓頂軸棱錐聚焦產(chǎn)生Bottle beam的周期ZT＝7.67mm，與圖3模擬所得的周期8mm 基本相符.由此可以得出：相比于理想軸棱錐聚焦產(chǎn)生Bottle beam 的周期，圓頂軸棱錐聚焦產(chǎn)生Bottle beam 的周期較短，對(duì)控制微粒的準(zhǔn)確度更高，更有利于Bottle beam 對(duì)粒子的囚禁［16］.

3 結(jié)論

基于廣義的惠更斯－菲涅耳衍射積分理論推導(dǎo)出Bessel光經(jīng)過(guò)理想軸棱錐和圓頂軸棱錐后的光強(qiáng)表達(dá)式，并對(duì)理想軸棱錐與圓頂軸棱錐對(duì)無(wú)衍射光束的聚焦進(jìn)行了分析.數(shù)值模擬了不同截面的光強(qiáng)分布和徑向光強(qiáng)分布，并計(jì)算了理想軸棱錐與圓頂軸棱錐聚焦所產(chǎn)生的局域空心光束的周期.

將兩類軸棱錐對(duì)比后得出，理想軸棱錐與圓頂軸棱錐都可以產(chǎn)生周期性的Bottle beam，理想軸棱錐所產(chǎn)生的Bottle beam 質(zhì)量較好，而圓頂軸棱錐所產(chǎn)生的Bottle beam 周期較短，對(duì)控制微粒的準(zhǔn)確度更高，并且圓頂軸棱錐圓頂部分形成的平凸透鏡的聚焦將光場(chǎng)能量集中在焦點(diǎn)附近與錐面波干涉后，產(chǎn)生多個(gè)具有高強(qiáng)梯度的局域空心光束，更利于對(duì)粒子的控制.

［1］杜團(tuán)結(jié)，王濤，吳逢鐵.軸棱錐對(duì)無(wú)衍射光束的線聚焦特性［J］.物理學(xué)報(bào)，2013，62（13）：134103.

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