湯霞清，程旭維，高軍強

（裝甲兵工程學院控制工程系，北京100072）

光學陀螺隨機誤差特性的混合理論方差方法分析

湯霞清，程旭維，高軍強

（裝甲兵工程學院控制工程系，北京100072）

為更有效地測試和分析光學陀螺的隨機誤差特性，提出采用混合理論方差（TheoH）的方法全面表征和分析陀螺輸出數(shù)據(jù)。該方法建立在Allan方差和去偏的#1理論方差（Theo1）的基礎上，解決了Allan方差計算的平均時間只能夠達到數(shù)據(jù)持續(xù)時間長度的一半，以及長相關時間下置信度下降的問題，同時構造的新方法能夠自動去除Theo1方差相對于Allan方差的偏差。對比分析了新方法對白噪聲特性以及光纖陀螺實測數(shù)據(jù)中隨機噪聲的類型和噪聲水平的辨識結果。實驗結果表明，通過去除偏差和提高方差估計的置信度，新混合理論方差方法對估計各種白噪聲以及長相關時間下光纖陀螺噪聲特性提取更有效，精度更高，同時能夠兼容Allan方差對量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩(wěn)定性、速度隨機游走、速率斜皮5種噪聲進行無偏估計。

兵器科學與技術；慣性導航系統(tǒng)；陀螺；#1混合理論方差；隨機噪聲

0 引言

近年來，激光陀螺和光纖陀螺技術蓬勃發(fā)展，并在慣性導航、制導領域得到廣泛應用。陀螺儀的精度很大程度上決定著慣性導航系統(tǒng)的精度，在光學陀螺的研制和使用中，不可避免地需要對陀螺各項性能進行測試分析并進行客觀、準確的評價，然后通過適當?shù)氖侄芜M行誤差補償以提高系統(tǒng)精度［1-2］。

N秒平均法與Allan方差法（Avar）是兩種常用的光纖陀螺隨機誤差性能評價方法。文獻［3］對二者之間的內(nèi)在關系進行了詳細分析。Avar方差法是IEEE標準化組織推薦用來評價和測量光學陀螺隨機噪聲特性的特定方法［4］。但其存在兩個固有缺陷:對于有限長的數(shù)據(jù)，估計置信度依賴于數(shù)據(jù)的獨立組數(shù)，估計誤差隨數(shù)據(jù)獨立組數(shù)的減小而增大［5］；Avar計算的平均時間只能夠達到數(shù)據(jù)持續(xù)長度的一半，長相關時間下估計置信度較差。另外，類似于無窗的離散傅里葉變換，轉移函數(shù)的泄露現(xiàn)象［6］也是其潛在的問題。相比于Avar及其改進、總方差［7］、Hadamard方差［8］以及動態(tài)Allan方差［9］等統(tǒng)計方法，#1理論方差法（Theo1）［10］具有最優(yōu)的置信度，因此估計精度最高，但因其采樣方式的不同而導致估計結果存在偏差。

結合Allan方差和Theo1的優(yōu)勢，并彌補二者各自的不足，本文采用一種新的混和方差方法（TheoH）來研究光學陀螺的隨機誤差特性。TheoH是一種較新的用于時頻穩(wěn)定性分析的統(tǒng)計方法，由美國國家標準與技術研究所的Howe［11］首次提出，主要用來研究震蕩器的頻率穩(wěn)定性，如原子鐘頻率穩(wěn)定性的檢測。該方法一方面保持了Theo1方法的優(yōu)勢，同時完全兼容Avar.其通過等效自由度（EDF）的提高增加了估計結果的置信度；同時，計算的數(shù)據(jù)長度比常規(guī)的Avar增加了50%，完全解決了Avar面臨的兩個難題，但其仍處于發(fā)展之中，主要原因是其EDF的求取還未形成統(tǒng)一的數(shù)學形式。

本文利用TheoH分別分析白噪聲和光纖陀螺噪聲特性，通過求取去偏前后的混和方差對各種冪律噪聲的辨識結果，并與Avar和Theo1的結果進行比較，分析了TheoH在分析光學陀螺噪聲時的優(yōu)勢，這些獨特性質(zhì)對于實際應用中提高陀螺性能設計和動靜態(tài)誤差補償具有指導意義。

1 Avar和Theo1方差分析

1.1 Avar

建立在時域上的Avar分析法能夠輕易辨識和表征光學陀螺中的各項隨機誤差。利用其與功率譜密度（PSD）之間的定量關系，可直接從時域上得出陀螺儀各誤差源的類型和幅度。關于Allan方差的基本過程可描述為:

利用新的樣本序列xj（m），定義時域上的Avar方差為

式中:δj=xj+1（m）-xj（m）為相鄰數(shù)組均值之差；〈〉表示總體均值。通過選取不同的值（即相關時間），即可求得相應的Avar以及標準差。在實際計算中，通常采用其估計值的形式:

圖1 非交疊和交疊的Avar采樣過程Fig.1 Sampling process of non-overlapped and overlapped Avars

二者的區(qū)別在于產(chǎn)生新序列時，常規(guī)Avar直接將原始信號分為m組，然后求均值；而交疊式Avar在各個數(shù)據(jù)點上以m為相關長度進行窗口滑動，然后對分組后的數(shù)據(jù)求取均值。

Avar的估計是針對有限長度數(shù)據(jù)的，其估計的可信度完全依賴于數(shù)據(jù)的獨立組數(shù)。對于獨立組數(shù)為k的隨機信號，估計的可信度隨k的增加而提高，Avar估計的百分比誤差可表示為

例如，當總數(shù)據(jù)點數(shù)Nx=7 200時，若每個子集包含m=100個點，即k=72，其估計誤差為8.40%.

1.2 Theo1

#1理論方差方法是一種類似于Avar的分析方法，其采用了步幅更寬的二次采樣過程，性能更優(yōu)。由于實際的測量值均是離散的，因此對于給定的時間序列｛x（i）|i=1，2，…，Nx｝，相鄰觀測值之間的采樣周期同樣為0，給出其定義式為

式中:m=2，…，Nx-1，且為偶數(shù)；平均采樣時間的步幅為可見:對于長度為Nx的樣本序列，最后一個相關時間為s=0.75（Nx-1）0，即平均相關時間接近總數(shù)據(jù)長度的3/4，而在Avar的計算過程中，該值只能達到Nx/2，即比Avar長50%.

當m較小時，并不能完全體現(xiàn)Theo1在這方面的優(yōu)勢；但在測量長相關時間的頻率穩(wěn)定性時，為得到較大m，通常在原始數(shù)據(jù)采集過程中，盡量使0更小以獲得更多原始數(shù)據(jù)。這樣才能有效分離更多關于噪聲類型的信息。考慮到可置信度對結果的影響［12］，通常設定10≤m≤Nx-1.

圖2描述了在（6）式中，Theo1通過在區(qū)間T上，求取在不同的平均相關時間1，2，etc及對應變步長s1，s2，etc下的測量信號yn=（xn-xn-1）/0的各項差分，即等效的平均相關時間s值在區(qū)間［T/2，T-0］上變化時，得到對信號yn進行二次采樣的過程。即通過選取不同平均因子求得各項的差分。當δ= 0時，采樣步長s1=1=T/2，此時（6）式退化為經(jīng)典的Avar，如圖2（a）中所示；圖2（b）中所描述的是（6）式中1＜δ≤m/2時，累加和的中間項的采樣函數(shù)，此時采樣步長為T/2＜s（·）＜T-0；圖2（c）中所示為（6）式中累加和的最后一項的采樣函數(shù)，此時s（N）=T-0.

圖2 Theo1變步長的采樣過程Fig.2 Sampling process at varible step length in Theo1

2 新的混合理論方差

由于Theo1采用的數(shù)據(jù)采集方法和Avar不同，使得二者之間存在顯著偏差。二者之間的這種偏差以比率形式可表示為

文獻［13］利用蒙特卡洛方法對（7）式中的偏差和m之間的關系進行了擬合，得到:

式中:a、b、c均為常數(shù)。5種常規(guī)噪聲——調(diào)頻白噪聲（WHFM）、調(diào)頻閃爍噪聲（FLFM）、調(diào)頻隨機游走（RWFM）、調(diào)相白噪聲（WHPM））和調(diào)相閃爍噪聲（FLPM）分別對應的Theo1和Avar偏差值如表1所示。此處需要特別注意的是，除了對WHFM是無偏估計外，其余噪聲均存在偏差。

表1 Theo1偏差函數(shù)中的常值系數(shù)Tab.1 Coefficient of the bias functions of Theo1

式中:n=floor（0.1Nx/3-3）；Avar和Theo1的定義如（3）式和（6）式所述。為防止在長相關時間下Avar的置信度下降，選擇值在數(shù)據(jù)總長度的一定比例之內(nèi)（如選擇值為10%～20%的數(shù)據(jù)總長度）。

3 光學陀螺的隨機誤差特性分析

光學陀螺自身因素以及外界環(huán)境的干擾外界如光強變化、熱效應等工作環(huán)境因素影響，使得陀螺輸出中包含各種復雜的隨機噪聲，直接從物理意義出發(fā)建立準確的隨機噪聲誤差模型比較困難，因此采用PSD函數(shù)來定義各類噪聲。其中包括量化、角度隨機游走噪聲等，雖然還存在少量正弦以及其他類型噪聲［14］。運用新構造的TheoH方法一方面可定性地辨識出光學陀螺中各噪聲類型；同時，可以計算各類噪聲的噪聲水平。

考慮到與Avar與PSD之間的關系［15］，同時假設陀螺各噪聲在統(tǒng)計意義上互不相關，且分布于不同頻段上，將TheoH表示為5類噪聲的平方和，即

考慮到表1中Theo1與Avar之間存在的偏差，將得到不同于Avar的擬合系數(shù):

式中:an為TheoH所確定的各噪聲項方差擬合系數(shù)。

圖3 ～σ2雙對數(shù)圖Fig.3 log-log plot of～σ2

由于Avar自由度較小而導致結果波動較大；而Theo1具有相對較大的EDF，從而使得估計置信度最大，可以代替Avar對光學陀螺進行長相關時間的性能分析；同時可評價隨機噪聲建模仿真以及濾波效果，很好地解決了長期測試過程中頻率穩(wěn)定性的問題。TheoH繼承了Theo1在長相關時間下的自由度，同樣為非整數(shù)，以10%的擬合精度給出其EDF的計算式為

值得注意的是，在進行頻率穩(wěn)定度估計時還須給出估計值的置信度。TheoH的EDF取決于Nx和s.在對置信區(qū)間進行估計時，采用χ2分布函數(shù)。百分比誤差ΔTheoH（）與EDF的之間的關系為

式中:EDF≥1，此時（13）式能夠給出90%置信區(qū)間內(nèi)Thêo1（0.75m0）的百分比誤差。通過仿真比較3種噪聲對應的Theo1的EDF和百分比誤差，采樣點數(shù)選擇為7 200時的結果如表2所示。

表2 #1理論方差下3種噪聲等效自由度以及百分比誤差Tab.2 Equivelent degress of freedom and percentage errors of noises of Theo 1

4 實驗結果及討論

TheoH能夠完美地給出隨機過程以及光學陀螺中的各種噪聲，通過分析雙對數(shù)圖中對應的曲線可以檢驗噪聲類型并辨識出噪聲參數(shù)。實驗設計過程中首先利用白噪聲，通過與Avar以及Theo1來對比驗證TheoH的優(yōu)越性；然后利用TheoH測試實測光纖陀螺輸出數(shù)據(jù)，擬合得到陀螺儀中各項隨機噪聲參數(shù)。

1）仿真驗證。對比靜態(tài)高斯白噪聲和方差時變噪聲（通過改變與白噪聲方差或標準差）在整個數(shù)據(jù)段上的Avar和Theo1特性。結果如圖4～圖7所示。

圖4 靜態(tài)高斯白噪聲Fig.4 Stationary white Gaussian noise

圖5 靜態(tài)高斯噪聲的Allan方差和#1理論方差（雙對數(shù)）Fig.5 Allan variance and Theo1 of stationary white Gaussian noise

從圖5和圖7中可見，在分析純白噪聲和方差時變噪聲的頻率穩(wěn)定性時，Avar無法完全表征噪聲特性，尤其在m值較大情況下，結果波動較大且不穩(wěn)定性；而采用Theo1在整個數(shù)據(jù)段上的分析頻率穩(wěn)定性時性能優(yōu)越，尤其在較大m值下，Avar無法給出可信結果，而Theo1依舊能夠給出高置信度結果。在數(shù)據(jù)總長度為7 200的情況下，最后一個相關時間約為5 400，比Avar中最長的值（3 600）大50%。所以當采樣數(shù)據(jù)較少時（如10%T），即短期相關時間內(nèi)，Theo1和Avar方差效果相當；在長相關時間分析上，由于Theo1具有較高的EDF，能夠得到更精確的結果。

圖6 方差時變噪聲Fig.6 Noise with the time-varying variance

圖7 方差時變噪聲的Allan方差和#1理論方差Fig.7 Avar and Theo1 of noise with time-varying variance

在分析純白噪聲時，Avar和Theo1均是無偏的，但對于方差時變噪聲，Theo1出現(xiàn)了少量偏差，該偏差在分析光學陀螺數(shù)據(jù)時具有明顯體現(xiàn)。

2）光學陀螺數(shù)據(jù)驗證。由于激光陀螺的測試過程類似，此處僅以光纖陀螺為例驗證TheoH的優(yōu)越性。在實驗室室溫下采集光纖陀螺的數(shù)據(jù)時，首先將某型號的慣性測量單元（IMU）固定于高精度轉臺上，并保持轉臺水平，由于光纖陀螺傳感器的輸出頻率保持在10 Hz以上，采樣周期設定為10 ms（即以100 Hz輸出），采集2 h的數(shù)據(jù)（720 000個數(shù)據(jù)）。

實際上，由于較大的采樣頻率獲得了更多信息量的數(shù)據(jù)，因此可更加明顯地驗證TheoH相對于Avar的優(yōu)越性。為了對應于前面的實驗，且僅以說明該新方法的優(yōu)越性為目的，在原始數(shù)據(jù)采集之后，對所獲得的數(shù)據(jù)進行1 s的平滑，可得到更加直觀的結果，此時0=1 s.這里值得注意到的是:數(shù)據(jù)預處理并不影響該方法的適用性，因為其針對采樣后的數(shù)據(jù)點進行操作，所以結果仍會更優(yōu)；再者，在實際應用中，傳感器原始數(shù)據(jù)的采集過程中通常需要經(jīng)過平滑處理再進行誤差消除以及后續(xù)解算。因此，以0=1 s的形式給出結果更直觀。

數(shù)據(jù)采集并進行平滑處理后，分別計算Avar、Theo1和TheoH，并辨識和估計出光纖陀螺的主要誤差類型和相應的隨機噪聲參數(shù)。圖8為光纖陀螺的實測輸出數(shù)據(jù)，圖9分別比較了光纖陀螺輸出數(shù)據(jù)的Avar、Theo1以及TheoBR結果，并以雙對數(shù)結果給出。進行最小二乘擬合得到的各種類型噪聲系數(shù)如表3所示。

圖8 光纖陀螺輸出信號Fig.8 Output signal of FOG

圖9 光纖陀螺輸出的Avar，Theo1和TheoBR方差（雙對數(shù)）Fig.9 Allan and Theo1 analysis of FOG's output（log-log）

表3 各種類型噪聲系數(shù)Tab.3 Noise coefficients of FOG

從圖9中可以看到:在短期相關時間內(nèi)，Theo1和Avar均具有良好的線性特性，且都具有無偏性；而相關時間較大時，Avar出現(xiàn)較大的波動，估計值變化劇烈，估計誤差較大，這是因為當=T/2時自由度下降為1，而此時因為數(shù)據(jù)對稱的緣故使得其處于“崩潰”境地，而TheoH由于自由度較高，使得方差估計的置信度有所提升，因此其能夠更加精準地描述陀螺儀的零偏不穩(wěn)定性、速率隨機游走、速率斜坡3個參數(shù)，而Avar表針的此3個參數(shù)的結果波動較大，且不具備線性性，即TheoH解決了Avar這方面的不足；同時，良好的線性度使得TheoH更易通過最小二乘擬合的方式得到各噪聲項系數(shù)，并更精確地刻畫冪律噪聲特征。

圖10給出了消除Theo1與Avar之間的偏差后的TheoH雙對數(shù)結果，一方面TheoH方差結果與相關時間在雙對數(shù)圖中的線性關系更加突出；同時結果更加平滑，并未出現(xiàn)Avar結果的巨大波動和不穩(wěn)定性，即使用TheoH能夠更加簡潔有效地描述陀螺各項噪聲。

圖10 光纖陀螺輸出的混合理論方差（雙對數(shù)）Fig.10 TheoH analysis of FOG's output（log-log）

最后，從辨識結果可以看出，該型號光纖陀螺的誤差主要表現(xiàn)為量化噪聲、速率斜坡以及角度隨機游走，在設計、生產(chǎn)和使用過程中采取相應的措施降低這些噪聲帶來的影響，既可提高系統(tǒng)精度。

實驗結果表明:TheoH在分析光學陀螺性能時，對任意大的值是有效的，包括3/4的全部數(shù)據(jù)采樣時間長度，利用該方法在整個數(shù)據(jù)段上得到的置信度比Avar高；通過去偏構造的TheoH在～σ2雙對數(shù)圖上清晰地保持了μ=-α-1（α為噪聲頻率指數(shù)）的線性關系，這樣使得冪律噪聲更易表征和提取，尤其是針對光學陀螺的零偏不穩(wěn)定性、速率隨機游走、速率斜坡等參數(shù)的辨識更精準。因此，該方法能夠針對整個數(shù)據(jù)段上的光學陀螺進行誤差特性，其可代替Avar成為更優(yōu)良的光學陀螺誤差特性分析工具。

5 結論

針對傳統(tǒng)的Allan方差在分析光學陀螺隨機噪聲特性時出現(xiàn)的不足，本文提出利用TheoH方法來分析光學陀螺隨機噪聲特性。利用靜態(tài)和時變高斯白噪聲以及光纖陀螺實測數(shù)據(jù)驗證新方法的優(yōu)勢。結果表明TheoH方法具有更高的估計置信度的同時，能夠在短相關時間內(nèi)完全兼容Avar；不僅能從時域上更準確地辨識出光學陀螺隨機噪聲的類型和噪聲水平，且能夠在整個數(shù)據(jù)段上對光學陀螺的噪聲參數(shù)進行精確估計、對隨機建模與仿真以及濾波效果評價。對工程中光學陀螺儀的設計生產(chǎn)和性能評估具有指導意義，尤其對高精度（如導航級）的光學陀螺的測試和性能評估更加重要。

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Hybrid Theoretical Variance Analysis for Random Error Properties of Optic Gyroscope

TANG Xia-qing，CHENG Xu-wei，GAO Jun-qiang
（Department of Control Engineering，Academy of Armored Force Engineering，Beijing 100072，China）

For the sake of testing and analyzing the random error properties and identifying the noise amplitude of optic gyroscope more effectively，a new hybrid theoretical variance（TheoH）strategy is proposed to analyze the gyroscope output，which is integrated with the Allan variance and theoretical variance#1 with auto-bias removal.The problems of that the averaging time calculated with Allan variance is half of total data length and the confidence decreases at long-term averaging time are perfectly solved. A new method for analyzing the random error properties of optic gyroscope is proposed.The proposed method is compared with the Allan and theoretical variance#1，and the noise types and noise levels of white noises and real gyroscope output are identified.The experimental results show that the TheoH can improve the confidence efficiently and has higher evaluation precision than the conventional Allan method in long-term τ-values.

ordnance science and technology；inertial navigation system；optic gyroscope；theoretical variance#1；random noise

V249.32+5

A

1000-1093（2015）09-1688-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.09.013

2014-12-22

軍隊科研計劃項目（51309030106）

程旭維（1989—），男，博士研究生。E-mail:chengxuwei0872@126.com；湯霞清（1965—），男，教授，博士生導師。E-mail:tangxiaqing_001@163.com