羅 純， 張應山

（1.上海應用技術(shù)學院理學院，上海 201418；2.華東師范大學金融與統(tǒng)計學院，上海 200241）

多邊矩陣的集團關(guān)系序及其優(yōu)化應用
——處理復雜系統(tǒng)的新思維系列之二十六

羅 純1， 張應山2

（1.上海應用技術(shù)學院理學院，上海 201418；2.華東師范大學金融與統(tǒng)計學院，上海 200241）

基于《多邊矩陣理論》，由東方整體性思維所啟迪，試圖提供并完善一套從整體到局部處理復雜系統(tǒng)多指標、非均勻性和非線性問題的強有力的數(shù)學工具，并對其進行嚴格的理論推導和證明.作為系列論文的第26篇，介紹了多邊矩陣的集團關(guān)系序概念，給出了基于集團關(guān)系序的多邊矩陣算法，證明了該算法是求解集團關(guān)系序優(yōu)化問題的簡單方法，并且分析結(jié)論具有再現(xiàn)性.作為應用，利用集團關(guān)系序多邊矩陣，解決了對多種集團關(guān)系序結(jié)論的綜合優(yōu)化問題，并說明如何壓縮綜合優(yōu)化的集團類，才能使得分析結(jié)論具有再現(xiàn)性.

多邊矩陣；關(guān)系鏈；集團關(guān)系序；集團關(guān)系序多邊矩陣；關(guān)系序優(yōu)化

東方整體性思維邏輯的基本內(nèi)容是象數(shù)學邏輯［1］，主要對復雜系統(tǒng)的關(guān)系運算進行研究，按照象數(shù)學研究的關(guān)系類型，把研究對象分成象空間（復雜系統(tǒng)的輸出變量空間）和卦空間（復雜系統(tǒng)的輸入變量空間）兩部分.卦空間內(nèi)的變量無大小關(guān)系，只是一些符號，這些符號與人類選取卦空間內(nèi)的數(shù)據(jù)方式無任何關(guān)系.但象空間可比較大小，從而可研究其關(guān)系序.象數(shù)學認為在象空間的任何2個要素xi和xj之間一般具有3種關(guān)系序狀態(tài)：按某種關(guān)系R，xi優(yōu)于xj，記為等價于xj，記為劣于j，記為.研究這些狀態(tài)的目的是為了識別研究對象的實病、虛病和正常的3種狀態(tài).該種分類方法是比類取象的基本內(nèi)容之一，與西方研究序的目的不一致.西方科學研究序的目的是為了把研究對象排成一個開放的鏈集合，用于選優(yōu)，追求研究對象的細微差別，而象數(shù)學利用關(guān)系序3種狀態(tài)把研究對象排成一個集團關(guān)系鏈集合，在要求分析結(jié)論具有再現(xiàn)性的條件下，追求研究對象的各個集團分類之間的本質(zhì)差別，以確定復雜系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài).

文獻［2］和［3］中分別研究了三指標、四指標問題的運算法則，并將其推廣到一般多邊矩陣運算的場合；文獻［4］中以多邊矩陣的基陣和置換矩陣為工具研究了多邊矩陣的一般運算法則；文獻［5］中研究了多邊矩陣廣義交叉乘法的一般運算法則；文獻［6］中利用上述運算法則研究了多邊矩陣的關(guān)系距離優(yōu)化問題.本文關(guān)注的是關(guān)系序問題，關(guān)系序與關(guān)系距離概念一樣，在東西方文化的不同領(lǐng)域中，有著不同的含義.在西方文化領(lǐng)域中的各種序不但與研究對象有關(guān)，而且與研究者采用的距離概念有關(guān)；在東方文化領(lǐng)域中的各種序?qū)嶋H上是一個集團關(guān)系序，其不但與研究對象基本無關(guān)，而且與研究者采用的距離概念基本無關(guān)，只和關(guān)系距離有關(guān).

文獻［7］和［8］中首次提出了集團序的概念，隨后有相當多的文獻研究該問題.如文獻［9］中就對集團序進行了進一步研究，主要解決“對于同樣的問題，具有多種集團序結(jié)論”的綜合優(yōu)化問題，主要采用文獻［10］與文獻［7］和［8］中的方法相結(jié)合進行研究.從本質(zhì)上，集團序概念是中國傳統(tǒng)科學中的核心概念之一，俗稱比類取象，集團的傳統(tǒng)稱呼是類.它要求在研究復雜問題時，首先要把研究對象粗化成類，通常分成3類：優(yōu)、中、差，然后研究其關(guān)系序.這種關(guān)系序一般與研究對象無關(guān)，僅僅與關(guān)系的一般定義有關(guān)，其概念來源于中國傳統(tǒng)科學——象數(shù)學邏輯［1］，此是和研究對象無關(guān)的邏輯，稱為不自生邏輯，其理論根據(jù)是：象或道與人類的行為無關(guān)，人類無法通過對研究對象提出假設，然后根據(jù)假設來論證象或道的好壞與真假；人類只能在對研究對象無假設的條件下，采用某種復雜系統(tǒng)的邏輯模型——多邊系統(tǒng)，對象或道進行識別；人類采用的復雜系統(tǒng)的邏輯模型可以不同，但最終得到的結(jié)論基本一致，都基本同于研究對象的客觀真實結(jié)論，即任何基于不自生邏輯的分析結(jié)論都具有再現(xiàn)性.因此，基于不自生邏輯的結(jié)論適用于任何研究對象.而西方科學的序概念根據(jù)研究對象定義序，首先對具體研究對象觀測，提出公理或假設，為了以后的繼續(xù)推理而提出的序概念；這種序的定義與觀測者的行為有關(guān).這種根據(jù)具體研究對象提出假設（包括公理假設），然后進行推理的邏輯，稱為自生邏輯.因此，基于自生邏輯的結(jié)論只適用于關(guān)注的具體研究對象，甚至與觀測者的序的定義有關(guān)，不同的研究者采用不同的序定義進行推理論證，可能產(chǎn)生不同的分析結(jié)論，即任何基于自生邏輯的分析結(jié)論不一定具有再現(xiàn)性.

由集團序的所有研究可知：“集團序”概念是東西方文化的結(jié)合產(chǎn)物，多數(shù)文獻提出的分析方法，基本與假設或研究者的行為有關(guān)，分析結(jié)論的再現(xiàn)性不足.盡管許多文獻的分析方法再現(xiàn)性不足，但還是包含著重要的東方文化思想，與基于西方文化的序概念的分析方法相比較，還是有很大的改進.為了加深對中國傳統(tǒng)科學——象數(shù)學邏輯的理解，也為了加深對多邊矩陣的一般運算法則的理解，更為了保證這些運算能夠準確地應用于任何復雜系統(tǒng)，本文將給出集團關(guān)系序的一般概念的象數(shù)學定義，并結(jié)合關(guān)系序的定義，利用多邊矩陣的運算法則［2-4］，特別是利用三指標與四指標多邊矩陣的運算法則［2-3］，類比關(guān)系距離的研究［5-6］，解決關(guān)系序的再現(xiàn)性優(yōu)化問題.

1 關(guān)系鏈和關(guān)系序

關(guān)系鏈的概念見文獻［6］，本文考慮象數(shù)學關(guān)于關(guān)系序的定義.

其中，

稱νj為集合QjV在關(guān)系R下的序數(shù)或序位置，記為.

任何關(guān)系序多邊矩陣［R］都根據(jù)其序數(shù)決定著一個序關(guān)系R.任何R都等同于該關(guān)系鏈對應的關(guān)系集合R.

對系統(tǒng)狀態(tài)空間V的任何序的評價關(guān)系R，都等價于系統(tǒng)狀態(tài)空間V的一種序關(guān)系鏈.所有這些序關(guān)系鏈的整體集合記為那么二元體系就是所關(guān)心的關(guān)系序組成的系統(tǒng)，稱為具有關(guān)系序的系統(tǒng)，也等價于具有能量的系統(tǒng).

注1 集合V中的元素xj可以不特指任何特定內(nèi)容，但其各個元素是不能相同的.

注3 關(guān)系序多邊矩陣［R］除了與系統(tǒng)的關(guān)系定義有關(guān)之外，和研究對象的實際內(nèi)容基本無關(guān)系，是不自生邏輯的產(chǎn)物，故其分析結(jié)論具有再現(xiàn)性.而西方科學定義的各種序指標和研究對象有很大關(guān)系，不同的研究者可以定義不同的序指標，故其是自生邏輯的產(chǎn)物，不能保證分析結(jié)論的再現(xiàn)性.

定理1 （良序定理） 設兩元體系為一個具有關(guān)系序的系統(tǒng)，則關(guān)系序多邊矩陣［R］確定的關(guān)系序數(shù)π（xi）是一種良序.

證明 在象數(shù)學領(lǐng)域的一般關(guān)系之間是不允許傳遞性推理的.也就是說己知并且即己知那么不一定能推出即不一定能推出.但如果將關(guān)系序多邊矩陣［R］確定的關(guān)系序數(shù)理解為系統(tǒng)狀態(tài)空間基于關(guān)系R的一種新的關(guān)系序，則該新的關(guān)系序是一種良序.

定理2 （相容性定理） 設兩元體系

為一個具有關(guān)系序的系統(tǒng).

證明 記集合Q1，Q2，…，Qp所含元素的個數(shù)分別為那么對

故

同樣地，對xj∈Qk，計算可知：

故

給出一些關(guān)于關(guān)系序的例子如下.

元素xi的序數(shù)π（xi）只有3個值18，10，-2，說明系統(tǒng)狀態(tài)空間只有3個類.按優(yōu)良性相應的序數(shù)分別為序數(shù)允許是負值.因為序數(shù)僅僅反映分類能量的大小關(guān)系，所以負值序數(shù)是允許的.如果把序數(shù)轉(zhuǎn)化成能量函數(shù)，那么僅僅需要在序數(shù)上加上1個常數(shù)，使得相應的能量函數(shù)非負即可.

元素xi的序勢的各個元素值是非負整數(shù)，其反映的是上述序關(guān)系下真實能量，是討論關(guān)系序問題的關(guān)鍵指標.

2 系統(tǒng)整體關(guān)系序

上述對于每一種集團序，都對應著一種關(guān)系序多邊矩陣.但是，對于一個復雜系統(tǒng)，可以定義很多集團序，這使得研究者不知采用哪一種排序方式更好.因此，如何對各種研究的集團關(guān)系序進行綜合評價，是一個需要解決的問題.

記元素xi∈V的序勢為

記元素xi∈V的序數(shù)為

按如上定義就得到一個關(guān)于系統(tǒng)（V，R）的總體關(guān)系序多邊矩陣

記該總體關(guān)系序多邊矩陣的序數(shù)為

則該序數(shù)確定的系統(tǒng)狀態(tài)空間V的元素之間的序關(guān)系，稱為系統(tǒng)的整體關(guān)系序.

注4 整體關(guān)系序?qū)臋?quán)重ωl不能由研究者隨意確定.權(quán)重ωl對應的相應排序在系統(tǒng)中的重要程度，應該是公認的結(jié)論.在沒有這些信息時，一般對系統(tǒng)考慮的關(guān)系類取

注5 整體關(guān)系序?qū)募瘓F個數(shù)一般比特定關(guān)系序?qū)募瘓F個數(shù)要多.

給出一個整體關(guān)系序的例子如下.

例4 考慮系統(tǒng)

在例1～3中的3個排序結(jié)論.這是文獻［9］中在電子商務問題中的3個集團排序結(jié)論.如果記此種排序相應的關(guān)系為R1，R2，R3，考慮系統(tǒng)的關(guān)系類權(quán)重取那么通過計算可以得到以下整體關(guān)系序矩陣.矩陣的第1列是系統(tǒng)元素的編號，第2列表示系統(tǒng)元素序勢的坐標位置；關(guān)系類｝的關(guān)系序多邊矩陣位于下述多邊矩陣的第3列到第12列.元素的序勢位于下述矩陣的第13列，元素的序位置或序數(shù)π（xi），i=1，2，…，10位于下述矩陣的第14列.

元素xi的序數(shù)π（xi）有7個值53，31，23，13，9，5，-24，說明系統(tǒng)狀態(tài)空間有7個類.按優(yōu)良性相應的類；相應的序數(shù)分別為序數(shù)允許是負值.因為序數(shù)僅僅反映分類能量的大小關(guān)系，所以負值序數(shù)是允許的.如果把序數(shù)轉(zhuǎn)化成能量函數(shù)，那么僅僅需要在序數(shù)上加上1個常數(shù)，使得相應的能量函數(shù)非負即可.

元素xi的序勢的各個元素值是非負整數(shù)，其反映的是上述序關(guān)系下的真實能量，是討論關(guān)系序問題的關(guān)鍵指標.

3 系統(tǒng)整體關(guān)系序集團類的壓縮

上述得到的系統(tǒng)整體關(guān)系序的集團類個數(shù)一般較多，而象數(shù)學一般只關(guān)心3個類，故需要把系統(tǒng)整體關(guān)系序的集團類個數(shù)壓縮為3個.

在傳統(tǒng)意義下，一般考慮如下假設：

在集團序壓縮意義下，對于給定的ε，

考慮如下條件：

當條件（1）和（2）同時滿足時，稱序集合Q1，Q2，…，Qp為系統(tǒng)（V，R），根據(jù)其關(guān)系序數(shù)π（xi）在π-B意義下的壓縮集團類.壓縮后的新序數(shù)記為

相應的新序數(shù)為

按定義3，壓縮后的集團類為

相應的新序數(shù)為

這一種分類方式與文獻［9］的結(jié)論相同.

如果按序數(shù)π（xi），根據(jù)SAS軟件的聚類分析方法，選用Method=ave，把系統(tǒng)分成3類，那么分類結(jié)論為

相應的新序數(shù)為

這種分類方法相當于取B=（0，26，0）的集團分類.

比較上述3種分類方法發(fā)現(xiàn)，SAS軟件中的聚類分析方法可以使得序數(shù)的差別較大，而文獻［9］中的方法可以使得分類后的序數(shù)差別較小，但本文提供的分類方式是介于上述兩種方法之間的分類.

本文給出的分類更加直觀，因中間類是對稱的類，新的序數(shù)和原來分類的序數(shù)有兩個是相同的.如果要求B=（ε1，ε2，…，εp）滿足ε1≥ε2≥…≥εp，新的序數(shù)盡可能地是原來系統(tǒng)分類的序數(shù)，那么集團分類結(jié)果將會更加直觀.此直觀的含義是：優(yōu)良集團的元素之間的序數(shù)可以差別較大，劣等集團的元素之間的序數(shù)可以差別較小，中等集團的元素之間的序數(shù)可以差別適中，并具有對稱性.這符合象數(shù)學中比類聚象的一般思維.

4 系統(tǒng)整體關(guān)系序的集團分類再現(xiàn)性分析

由上述得到的系統(tǒng)整體關(guān)系序的壓縮集團類并不唯一，實際問題要求得到的結(jié)論要盡可能地穩(wěn)定，分析結(jié)果要具有再現(xiàn)性.

元素xi的序數(shù)π（xi）只有3個值16，0，-14，說明系統(tǒng)狀態(tài)空間只有3個類.按優(yōu)良性相應的序數(shù)分別為這是唯一的關(guān)系序多邊矩陣.對照例5的壓縮關(guān)系序，則再現(xiàn)性或者穩(wěn)定性指標為

而文獻［9］的分類方法的再現(xiàn)性或者穩(wěn)定性指標為

SAS軟件中聚類分析方法的再現(xiàn)性或者穩(wěn)定性指標為

從再現(xiàn)性或者穩(wěn)定性的角度來看，本文給出的分類方法的再現(xiàn)性或者穩(wěn)定性是最好的，壓縮后的序數(shù)和固定分類的多邊矩陣序數(shù)最接近，故推薦再現(xiàn)性或者穩(wěn)定性的集團分類方法.

5 結(jié) 語

一個復雜系統(tǒng)的各個要素關(guān)于各種關(guān)系之間的序優(yōu)化問題，可以使用多邊矩陣的分層的算法來解決.這里定義的關(guān)系序，是良序，系統(tǒng)的序數(shù)和集團類具有相容性，每一類僅僅只對應一個序數(shù).盡管對系統(tǒng)研究分類的結(jié)果不唯一，但序數(shù)的關(guān)系序多邊矩陣的計算結(jié)果具有唯一性.如果考慮集團分類方法的穩(wěn)定性，那么這種關(guān)系序的優(yōu)化方法和復雜系統(tǒng)的各個要素的取值大小沒有關(guān)系，相應的分析方法和數(shù)據(jù)分析人員的各種操作基本沒有關(guān)系，符合數(shù)據(jù)分析結(jié)論具有再現(xiàn)性的特點，符合象數(shù)學的思維.再現(xiàn)性是《多邊矩陣理論》追求的最終目標，故本文主要關(guān)注集團關(guān)系序的再現(xiàn)性數(shù)據(jù)分析方法的研究.另外，集團關(guān)系序的再現(xiàn)性優(yōu)化方法也較簡單，僅僅需要進行關(guān)系序多邊矩陣的計算即可，故這是值得推薦的方法.

［1］ Zhang Yingshan，Shao Weilan.Image mathematicsmathematical intervening principle based on“Yin Yang Wu Xing”theory in traditional chinese mathematics（i）［J］.Applied Mathematics，2012，3（6）：617-636.

［2］ 徐婷，羅純，邵文昕，等.三維數(shù)陣的框架定義及運算——處理復雜系統(tǒng)的新思維系列之十八［J］.上海應用技術(shù)學院（自然科學版），2013，13（2）：156-160.［3］ 邵文昕，羅純，徐婷，等.四指標問題的框架定義及運算——處理復雜系統(tǒng)的新思維系列之二十［J］.上海應用技術(shù)學院（自然科學版），2013，13（3）：233-236.

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［8］ 吳祈宗，候福均.方案集團序及其應用［J］.北京理工大學學報，2006，26（6）：521-524.

［9］ 齊延信，崔春生.方案集團序方法的進一步研究［J］.數(shù)學實踐與認識，2012，42（16）：79-86.

［10］ Navarrete Jr N，F(xiàn)ukushima M，Mine H.A new ranking method based on relative position estimate and its extensions［J］.IEEE Transation on SCM，1979，9（11）：681-689.

（編輯 呂丹）

Optimization of Aggregative Relationship Rank Based on Multilateral Matrix——New Thinking of Dealing with Complex Systems Series Twenty-six

LUO Chun1， ZHANG Yingshan2
（1.School of Sciences，Shanghai Institute of Technology，Shanghai 201418，China；2.School of Finance and Statistics，East China Normal University，Shanghai 200241，China）

This series of articles，based on“Multilateral Matrices Theory”and inspired by the Eastern holistic thinking，are trying to provide and improve a set of powerful mathematical tools to handle multitarget local issues，non-uniformity problems and nonlinear problems of complex system ranging from the whole to the part with rigorous theoretical analysis and proof.As the twenty-sixth paper of the series，the concept of aggregative relationship rank based on multilateral systems were introduced，and the multilateral matrix for the aggregative relationship rank was presented，and proved that this method was simple and reproducible way of solving the optimization problem of the aggregative relationship rank.As an application，based on the multilateral matrix for the aggregative relationship rank，solved the integrated optimization problem in a variety of analysis results.And explain how to compress the comprehensive optimization of group class，to make the analysis conclusion is reproducibility.

multilateral matrix；relation chain；aggregative relation rank；multilateral matrix for aggregative relation rank；relationship rank optimization

O 212.6

A

1671-7333（2015）04-0397-09

10.3969／j.issn.1671-7333.2015.04.018

2014-06-05

上海市教育委員會科研創(chuàng)新基金重點資助項目（14ZZ161）

羅 純（1966-），男，副教授，博士，主要研究方向為試驗設計、組合數(shù)學、系統(tǒng)科學.E-mail：luochun＠sit.edu.cn