李玉璽，李言，楊明順，崔鳳奎，何選景

（1.西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西西安710048；2.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽471003）

滾珠絲杠冷滾打的齒形理論誤差研究

李玉璽1，李言1，楊明順1，崔鳳奎2，何選景2

（1.西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西西安710048；2.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽471003）

絲杠冷滾打加工打破了傳統(tǒng)的材料"去除"式加工方法存在的局限，具有高效，節(jié)能、節(jié)材及產(chǎn)品耐磨性好、使用壽命長等優(yōu)點(diǎn)。依據(jù)微分幾何和嚙合原理，建立了滾珠絲杠冷滾打過程中齒面嚙合模型和理論誤差模型，給出了嚙合面的接觸線函數(shù)，揭示了滾珠絲杠冷滾打過程中滾打輪和工件的相對運(yùn)動關(guān)系，為滾打輪的正確設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。通過理論計(jì)算與仿真分析，對滾珠絲杠冷滾打的齒形誤差和滾珠中心軌跡螺旋線誤差進(jìn)行研究，分析了誤差產(chǎn)生的原因并給出了相應(yīng)的解決方法。利用自行設(shè)計(jì)的滾打裝置進(jìn)行絲杠冷滾打試驗(yàn)，試驗(yàn)得到的實(shí)際加工輪廓線和理論接觸線基本重合，對絲杠冷滾打精確成形提供了參考依據(jù)。

機(jī)械制造工藝與設(shè)備；滾珠絲杠；冷滾打；嚙合原理；理論誤差

0 引言

滾珠絲杠副具有傳動效率高、傳動精度高、運(yùn)動平穩(wěn)性好及使用壽命長等優(yōu)點(diǎn)，在航天、航空、核工業(yè)、工程機(jī)械、車輛裝備等領(lǐng)域應(yīng)用極其廣泛［1-3］。滾珠絲杠作為滾珠絲杠副傳動的關(guān)鍵部件，在很大程度上決定滾珠絲杠副的運(yùn)轉(zhuǎn)特性。大部分滾珠絲杠的螺旋滾道的法向截面形狀采用兩條圓弧拼接而成［4］。滾珠絲杠的一般加工工藝是先銑削最后磨削，其具有生產(chǎn)效率低、制造周期長、材料利用率低及金屬表面組織被切斷等缺點(diǎn)，從而降低了滾珠絲杠的力學(xué)性能［5-6］。目前先進(jìn)的加工方法有旋風(fēng)銑削和滾壓。旋風(fēng)銑削最大的特點(diǎn)是加工效率高，缺點(diǎn)是金屬纖維容易被切斷，且材料利用率低。滾壓屬于無屑加工，缺點(diǎn)是對滾壓頭的剛度要求非常高以及滾壓輪制造困難且成本較高［7］。因而，研究和開發(fā)滾珠絲杠新的加工方法是非常必要的。

冷滾打加工是應(yīng)用塑性成形技術(shù)替代傳統(tǒng)的切削加工方法，打破材料“去除”加工原理，實(shí)現(xiàn)“累積”成形，有加工效率高、節(jié)省材料、熱處理變形小、產(chǎn)品耐磨性好及使用壽命長等優(yōu)點(diǎn)。目前，高速冷滾打加工技術(shù)在齒輪、花鍵軸等軸類產(chǎn)品的加工上已經(jīng)得到了應(yīng)用［8-10］。李言等進(jìn)行了絲杠冷滾打的動力學(xué)仿真和成形過程的有限元仿真分析，開展了初步的可行性實(shí)驗(yàn)，對絲杠冷滾打成形過程中的金屬流動規(guī)律進(jìn)行了初步研究［11-12］。本文基于嚙合原理和滾珠絲杠螺旋面理論法向截面形狀，建立冷滾打運(yùn)動關(guān)系模型、齒形嚙合函數(shù)以及滾珠絲杠理論誤差模型，以期進(jìn)一步探討絲杠冷滾打的成形原理，提高冷滾打制件的成形精度，最后通過試驗(yàn)驗(yàn)證加工方法的可行性。

1 滾珠絲杠冷滾打加工基本原理

1.1 滾珠絲杠冷滾打運(yùn)動分析

冷滾打滾珠絲杠成形所需要的最主要的運(yùn)動是滾打輪與滾珠絲杠二者之間的相對運(yùn)動，也就是滾打輪與滾珠絲杠之間的相對運(yùn)動方向和滾珠絲杠螺旋槽的切線方向同向。在對滾打輪進(jìn)行安裝時(shí)，滾打輪的軸線與滾珠絲杠的軸線之間的空間夾角與滾珠絲杠的螺旋升角β相等（如圖1）。冷滾打成形過程中，絲杠軸坯繞其軸線做有規(guī)律的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。滾打輪繞其公轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，同時(shí)由于滾打輪和滾珠絲杠接觸時(shí)會產(chǎn)生一定的摩擦力，因此滾打輪還會產(chǎn)生自轉(zhuǎn)。此外，滾打輪還會沿滾珠絲杠軸線方向按照特定的進(jìn)給速度做直線運(yùn)動。這樣就逐漸冷滾打出了整個(gè)滾珠絲杠螺旋面。

1.2 滾珠絲杠冷滾打坐標(biāo)系及幾何模型

依據(jù)絲杠冷滾打加工原理建立的滾打輪和工件冷滾打運(yùn)動的右手笛卡爾坐標(biāo)系如圖2所示。S0為空間固定坐標(biāo)系，其中k0軸與工件回轉(zhuǎn)軸重合，方向?yàn)楣ぜ倪M(jìn)給方向；Su為空間輔助固定坐標(biāo)系，其中ku軸與工件的回轉(zhuǎn)軸相垂直且相距L（即滾打輪公轉(zhuǎn)中心與花鍵的中心距）；Sq為冷滾打輪固連參考坐標(biāo)系；Sr（δ）為滾打輪固連動坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)or，與oq重合，jr軸和jq軸的夾角為滾打輪的自轉(zhuǎn)角θ；Sg（α）為刀架固連坐標(biāo)系；S1（φ）為工件固連動坐標(biāo)系；Sa為隨刀架移動坐標(biāo)系，其原點(diǎn)oa與oo重合，ka軸與ko軸一致；β為絲杠的螺旋升角；α為滾打輪的公轉(zhuǎn)回轉(zhuǎn)角；φ是工件的旋轉(zhuǎn)角度；ωr是滾打輪自轉(zhuǎn)的角速度矢量。

圖1 滾打輪與滾珠絲杠位置圖Fig.1 Position of roller and ballscrew

圖2 冷滾打運(yùn)動關(guān)系坐標(biāo)系Fig.2 Moving coordinate system of coll rolling

滾打輪的回轉(zhuǎn)面是由滾打輪軸向截線繞其中心旋轉(zhuǎn)一周而形成的。為了研究冷滾打滾珠絲杠成形原理，此時(shí)滾打輪軸向截線設(shè)計(jì)最容易實(shí)現(xiàn)的就是使其軸向截線和滾珠絲杠螺旋面法向截線保持一致。如圖3所示，此處滾珠絲杠法向截線為雙圓弧，根據(jù)幾何關(guān)系即可得到滾打輪回轉(zhuǎn)面的方程。（1）式為求得的滾打輪右側(cè)回轉(zhuǎn)面方程。

式中：L1為滾打輪中心or距離om（Sm為沿滾珠中心的活動標(biāo)架）點(diǎn)的最短距離，L1=L-L2-h，L2為滾打輪公轉(zhuǎn)中心到其自傳中心的距離，L為滾打輪公轉(zhuǎn)中心與滾珠絲杠軸線的垂直距離；φ為滾珠絲杠軸向截線繞zr軸旋轉(zhuǎn)角；e為圓弧滾道偏心距；h為圓弧滾道位置參數(shù)；R為圓弧滾道半徑；u為圓弧軸向截型角參變數(shù)。

圖3 滾打輪齒面成形原理圖Fig.3 Schematic diagram of tooth forming of roller

根據(jù)微分幾何知識可知，滾打輪曲面上任意點(diǎn)的單位法向量n為

將參數(shù)代入（2）式計(jì)算出聯(lián)立求解可得滾打輪右側(cè)單位法向量為

求出滾打輪與滾珠絲杠的相對速度，是運(yùn)用嚙合原理求取嚙合方程的關(guān)鍵。圖4所示為冷滾打運(yùn)動關(guān)系的矢量圖，根據(jù)滾動矢量關(guān)系可求得任意接觸點(diǎn)的速度與位置的關(guān)系。

圖4 冷滾打運(yùn)動關(guān)系矢量圖Fig.4 Vector diagram of moving relation of coll rolling

在Su坐標(biāo)系中，滾輪上任意點(diǎn)M的速度vr等應(yīng)該是牽連速度（公轉(zhuǎn)速度）vg和相對速度（自轉(zhuǎn)速度）vrg的合成，即

M點(diǎn)在滾珠絲杠上的速度為

式中：

在坐標(biāo)系Su中，M點(diǎn)的相對速度為

將（4）式和（5）式代入（6）式可得

根據(jù)嚙合原理，經(jīng)過推導(dǎo)、整理可得在S1（φ）坐標(biāo)系中，滾珠絲杠右側(cè)齒槽齒面方程如下：

式中：ΦR=0為滾珠絲杠右側(cè)嚙合方程；；U=，rd為滾打輪半徑。

2 冷滾打成形原理分析

以某型號滾珠絲杠為例，其雙圓弧法向截面形狀參數(shù)及相關(guān)工藝參數(shù)如表1所示。滾打輪半徑rd=19 mm；滾打輪公轉(zhuǎn)中心到其自傳中心的距離L2=36 mm；滾打輪的公轉(zhuǎn)角速度ωg=2 000 r/min；滾打輪公轉(zhuǎn)角速度與滾珠絲杠旋轉(zhuǎn)角速度之i= 400.

表1 滾珠絲杠形狀及工藝參數(shù)Tab.1 Shape and processing parameters of ballscrew

由（8）式計(jì)算可以得出，滾打輪公轉(zhuǎn)一周所得到的滾珠絲杠的產(chǎn)形面主視圖、俯視圖及滾珠絲杠齒槽右側(cè)嚙合面分別如圖5～圖7所示，實(shí)際接觸線與理論法向截線在S1坐標(biāo)系中的o1x1y1平面的投影分別如圖8和圖9所示。

圖5 滾珠絲杠產(chǎn)形面俯視圖Fig.5 Top view of generating surface of ballscrew

2.1 滾珠絲杠成形原理的宏觀分析

由圖5可以看出，齒槽左右兩側(cè)的曲面都是向右偏，也就是說滾珠絲杠沿自身軸線的旋轉(zhuǎn)速度與滾打輪的軸向進(jìn)給速度存在一定的比例關(guān)系，絲杠軸坯相對于滾打輪做的是螺旋運(yùn)動，滾珠絲杠的成形面是由這種螺旋運(yùn)動產(chǎn)生的有限個(gè)螺旋面沿工件軸向方向包絡(luò)而成。從圖5還可以看出，接觸線在左右兩側(cè)邊緣處所構(gòu)成的是兩個(gè)圓弧，這兩個(gè)圓弧是滾打輪切入圓形毛坯中所形成的邊緣點(diǎn)在o1y1z1面投影得到的；上下兩側(cè)則是兩條直線，這兩條直線同樣也是滾打輪左右兩側(cè)與切入圓形毛坯中在邊緣處所構(gòu)成的兩條曲線在o1y1z1面投影所得到的。

圖6 滾珠絲杠產(chǎn)形面主視圖Fig.6 Front view of generating surface of ballscrew

圖7 齒槽右側(cè)嚙合面Fig.7 Meshing surface on the right side of tooth groove

圖8 α=0°時(shí)右側(cè)接觸線與法向截線Fig.8 Contact line and normal section line on right side for α=0°

由圖6可以看出，滾打輪繞公轉(zhuǎn)軸每旋轉(zhuǎn)一周，在工件表面形成一個(gè)近似平滑齒槽，說明冷滾打是不斷往復(fù)、逐漸累積的成形過程。齒槽左右兩側(cè)所對應(yīng)的嚙合線是不對稱的，說明成形過程的運(yùn)動不屬于成形運(yùn)動。形成齒槽兩側(cè)隆起的邊緣點(diǎn)從上到下距離z1越來越遠(yuǎn)，主要是由于隨著滾打輪打入深度的增加，成形的輪廓也隨之?dāng)U大。

圖9 α=0°時(shí)左側(cè)接觸線與法向截線Fig.9 Contact line and normal section line on left side for α=0°

2.2 滾珠絲杠成形原理微觀分析

滾打輪對滾珠絲杠的滾打過程是一個(gè)連續(xù)的創(chuàng)成過程，分析滾打過程中的接觸點(diǎn)，將α值相同下不同u值的接觸點(diǎn)構(gòu)成接觸線，若干有限的接觸線又組成了包絡(luò)面，而整個(gè)齒形就是由這些包絡(luò)面決定的。在實(shí)際過程中，由于滾打輪和滾打軌跡的有限性，導(dǎo)致滾珠絲杠齒面包絡(luò)也具有有限性，使每個(gè)包絡(luò)面都處于離散狀態(tài)。在接觸線上距離y1軸最近和最遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)分別是滾珠絲杠大徑和小徑與滾打輪的接觸點(diǎn)。分析圖8和圖9可以得出：在S1坐標(biāo)系中，理論上的法向截線與實(shí)際過程中的接觸線并不重合，而且實(shí)際過程中，接觸線往往比理論法向截線要小，由此可以說明滾打輪對滾珠絲杠的滾打是一個(gè)展成運(yùn)動。

從滾珠絲杠齒廓的成形運(yùn)動分析，滾珠絲杠齒槽曲面正是由若干個(gè)這樣的嚙合面沿著z1正向（滾珠絲杠軸向）包絡(luò)而成，所以滾珠絲杠齒形的發(fā)生線（母線）是由沿z1方向距離x1軸的所有最遠(yuǎn)點(diǎn)所組成的，如圖7所示。分析發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)是由若干的瞬時(shí)接觸線包絡(luò)而成，并非在同一條瞬時(shí)接觸線上，由此可以得到冷滾打絲杠母線的成形方法為范成法。滾珠絲杠的轉(zhuǎn)動、滾打輪的自轉(zhuǎn)及公轉(zhuǎn)決定了母線的形成。由于滾珠絲杠齒面是由嚙合面沿滾珠絲杠軸向包絡(luò)而成，所以滾打輪沿滾珠絲杠軸線的直線是冷滾打滾珠絲杠的導(dǎo)線。

3 誤差分析

評價(jià)滾珠絲杠精度的指標(biāo)主要有：導(dǎo)程、齒形誤差以及表面粗糙度等，而其中滾道齒形和導(dǎo)程精度是最為重要的兩項(xiàng)指標(biāo)。滾珠絲杠螺旋滾道的齒形誤差比較大的時(shí)候?qū)?dǎo)致滾珠絲杠副全長上接觸狀況的改變，因而加劇絲杠磨損，降低其傳動精度。滾珠絲杠可以將角位移轉(zhuǎn)換成線位移，并且滿足了角位移和線位移之間的關(guān)系為一常數(shù)的要求，這些都需要通過滾珠絲杠精確地導(dǎo)程精度來保證。在開環(huán)或者半閉環(huán)系統(tǒng)中，高精度導(dǎo)程顯得尤為重要。

3.1 齒形誤差

滾珠絲杠齒形誤差指的是在螺旋滾道法向截形上的實(shí)際齒形輪廓和理論齒形輪廓這二者之間的法向距離。滾珠絲杠右側(cè)理論齒面方程為

式中：r0為公稱半徑；θ為滾珠相對于滾珠絲杠的旋轉(zhuǎn)角度。

經(jīng)過誤差計(jì)算得出齒槽右側(cè)和左側(cè)齒形誤差ΔfR、ΔfL，如圖10、圖11所示。從計(jì)算結(jié)果來看，右側(cè)最大誤差為0.008 9 mm，齒頂誤差為0.003 2 mm，齒底誤差為0.008 9 mm，誤差從齒頂?shù)烬X底逐漸增大。左側(cè)和右側(cè)的最大誤差、齒頂、齒底的誤差都一致，誤差也是從齒頂?shù)烬X底逐漸增大。誤差存在進(jìn)一步證明了是由滾打輪成形法設(shè)計(jì)造成的。

圖10 齒槽右側(cè)齒形誤差Fig.10 Tooth profile error on the right side of tooth groove

3.2 滾珠中心軌跡螺旋線誤差

冷滾打加工時(shí)，由于滾打輪與滾珠絲杠不是連續(xù)接觸的，導(dǎo)致實(shí)際加工出的螺旋滾道不是理想螺旋面，因此實(shí)際滾珠中心軌跡螺旋線不是理想螺旋線。滾珠絲杠主要幾何尺寸和滾珠中心軌跡螺旋線的誤差如圖12和圖13所示，因?yàn)樵谕宦菪€上任意一點(diǎn)到工件軸線的距離是相等的，滾打輪每次滾打過的微小弧長lp可以近似為微直線段，實(shí)際滾珠中心軌跡螺旋線與理論滾珠中心軌跡螺旋線的最大誤差為Δl.

式中：Ld為理論滾珠中心軌跡轉(zhuǎn)過一周的長度；D0為滾珠絲杠的公稱直徑；p為滾珠絲杠螺旋參數(shù)；ph為刀架移動距離。

圖11 齒槽左側(cè)齒形誤差Fig.11 Tooth profile error on the left side of tooth groove

圖12 滾珠絲杠主要幾何尺寸Fig.12 Main geometric dimensions of ballscrew

圖13 滾珠中心軌跡螺旋線誤差示意圖Fig.13 Helical line error of ball at center track

將上面已知滾珠絲杠的參數(shù)代入（10）式進(jìn)行計(jì)算，可得最大誤差值為0.004 97 mm.從（10）式以及圖13可以得出，造成誤差的主要原因是在高速滾打過程中滾打輪與滾珠絲杠不是連續(xù)接觸，在滾珠絲杠按照特定的速度轉(zhuǎn)動一周的過程中，傳動比如果增大就可以增加滾打輪對絲杠的滾打次數(shù)，并且減小了實(shí)際滾珠中心軌跡螺旋線的誤差。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

絲杠冷滾打加工試驗(yàn)是通過改裝后的CA6140機(jī)床進(jìn)行的，試驗(yàn)采用的滾打輪材料為4Cr5MoSiV1，經(jīng)調(diào)質(zhì)處理后，將3個(gè)滾打輪均布在一個(gè)圓形刀盤上，滾打輪的轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，試件采用紫銅棒。冷滾打裝置包括電機(jī)、履帶以及刀盤；工作時(shí)通過電機(jī)帶動滾打輪轉(zhuǎn)動，滾打輪在與試件接觸時(shí)由于摩擦力的作用可以自轉(zhuǎn)。同時(shí)，滾打輪在刀架上按照預(yù)先設(shè)定好的速度進(jìn)行直線移動。紫銅棒通過三抓卡盤和頂尖進(jìn)行安裝定位，同時(shí)三抓卡盤旋轉(zhuǎn)帶動試件轉(zhuǎn)動。為了方便調(diào)整安裝角，將該滾打裝置安裝在有分度功能的刀架上，同時(shí)冷滾打過程中為了降低滾打摩擦系數(shù)而采用潤滑油。圖14為冷滾打試驗(yàn)裝置，圖15為試驗(yàn)獲得的加工試件的一部分。

圖14 試驗(yàn)裝置圖Fig.14 Experimental setup

圖15 試驗(yàn)加工的試件Fig.15 Processed test piece

將該滾珠絲杠沿著截面法向方向進(jìn)行切割，切割后形狀如圖16所示，將切割后的試件放置在萊卡白光干涉儀的工作臺上，計(jì)算機(jī)控制工作臺的移動，使用基恩士LK-G10激光位移傳感器測頭對試件進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，將掃描數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并截取其輪廓曲線，將得到輪廓線和理論計(jì)算的實(shí)際接觸線進(jìn)行對比，如圖17所示，不難發(fā)現(xiàn)二者基本重合，充分說明絲杠冷滾打加工技術(shù)的可行性。

圖16 試件Fig.16 Test piece

圖17 廓形比較圖Fig.17 Profile comparison

5 結(jié)論

本文基于微分幾何和嚙合原理，建立了冷滾打滾珠絲杠數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)出了滾珠絲杠的齒面方程。并以某一型號的滾珠絲杠為例對滾珠絲杠成形原理進(jìn)行了分析，結(jié)果表明，滾珠絲杠冷滾打是一種基于范成運(yùn)動關(guān)系的成形過程。同時(shí)，給出了滾珠絲杠理論齒形誤差和滾珠中心軌跡螺旋線誤差的計(jì)算方法，并對其進(jìn)行實(shí)例分析，得出了誤差變化規(guī)律。初步得出了滾珠絲杠齒形誤差是由滾打輪設(shè)計(jì)造成的，以及實(shí)際滾珠中心螺旋線誤差是由滾打輪與滾珠絲杠接觸不連續(xù)造成的結(jié)論。通過試驗(yàn)得知實(shí)際加工的輪廓和理論接觸線基本重合，說明成形原理及誤差分析的正確性。

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Investigation of the Tooth Profile Error Based on the Forming Theory of Balloscrew Manufactured by Cold Rolling

LI Yu-xi1，LI Yan1，YANG Ming-shun1，CUI Feng-kui2，HE Xuan-jing2
（1.School of Mechanical and Precision Instrument Engineering，Xi'an University of Technology，Xi'an 710048，Shaanxi，China；2.School of Mechatronics Engineering，Henan University of Science and Technology，Luoyang 471003，Henan，China）

The traditional material removal machining method of ballscrews was broken by cold roll-beating.The cold roll-beating method has the advantages of high efficiency，energy conservation and saving in material.The products processed by the proposed method have high wear resistance and long service life.According to differential geometry and meshing theory，the meshing model and theoretical error model are constructed for the cold roll-beating of ballscrews，and the function of contact line is provided for meshing surface.The relative movement between roller and workpiece is revealed by analyzing the meshing model and the contact line.The profile errors of the gear tooth and the actual helix of the center track of ball are investigated by theoretical calculation and simulation，the causes of errors are analyzed，and the corresponding solutions are given.A self-developed cold roll-beating experimental device is used for cold roll-beating experiment of lead screws.The experimental results show that the actual machining contour line overlaps with the theoretical contact line.

manufacturing technology and equipment；ballscrew；cold roll-beating；meshing theory；theoretical error

TG66

A

1000-1093（2015）08-1594-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.08.031

2014-12-07

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51475146、51475366）；陜西省教育廳重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目（12JS072）；西安理工大學(xué)博士創(chuàng)新基金項(xiàng)目（207-002j1302）

李玉璽（1984—），男，博士研究生。E-mail：lyx841125@126.com；李言（1960—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：Jyxy-ly@xaut.edu.cn