崔興霞 金 毅 宋 朋* 孫曉娟 徐 娟

（濟(jì)南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 濟(jì)南 250022）

1 引言

負(fù)折射率材料有許多奇特的特性，如負(fù)折射效應(yīng)、反常Doppler效應(yīng)、反常Cherenkov輻射及“完美透鏡”效應(yīng)等[1]。正是由于這些獨(dú)特的特性，最近幾年負(fù)折射率材料在材料科學(xué)、光學(xué)、應(yīng)用電磁學(xué)和固體物理學(xué)領(lǐng)域受到廣泛的關(guān)注，對它的研究也成為科學(xué)領(lǐng)域的一大熱點(diǎn)。

目前，科學(xué)家主要以雙負(fù)方法、傳輸線方法和光子晶體方法這三種方法利用人工介質(zhì)實(shí)現(xiàn)負(fù)折射。在20世紀(jì)80、90年代，隨著對手征介質(zhì)的進(jìn)一步認(rèn)識以及手征材料制作技術(shù)的發(fā)展，手征介質(zhì)在許多領(lǐng)域有了新的應(yīng)用。最近，Pendry、Tretyakov等提出了利用手征材料實(shí)現(xiàn)負(fù)折射的新方法[2]。由于手征負(fù)折射率介質(zhì)特性不同于一般介質(zhì)特性，電磁波在其中的傳播與我們常規(guī)介質(zhì)中傳播的理論不同。不能用已有的公式分析電磁波在手征介質(zhì)中的傳播，需要對電磁波的行為重新討論。本文基于電磁波的傳輸特性、手征負(fù)折射率介質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系及邊界條件，從圓偏振電磁波在手征負(fù)折射率介質(zhì)表面的反射和折射入手，討論了橢圓偏振電磁波在手征負(fù)折射率介質(zhì)表面的反射和折射特性，并通過與經(jīng)典理論的對比找出了它們的不同。

2 電磁波在手征負(fù)折射率介質(zhì)中的基本理論

手征性是指物體經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)等任意空間操作均不能與其鏡像完全重合的特性。手征性在光學(xué)中主要表現(xiàn)為旋光性和圓二向色性。

介質(zhì)對電磁波的影響通過本構(gòu)關(guān)系來描述。對雙各向同性介質(zhì)，本構(gòu)關(guān)系中除了通常的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率之外，還有兩個表示電場和磁場交叉耦合的參數(shù)。手征介質(zhì)是雙各向同性介質(zhì)的特例，其電場和磁場的交叉耦合是互易的，此時交叉耦合為同一參數(shù)，即手征參數(shù)χ。

時諧電磁波在各向同性手征負(fù)折射率介質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系為[3-4]

式中，ε為手征介質(zhì)的介電常數(shù)；μ為手征介質(zhì)的磁導(dǎo)率；ε0為真空中的介電常數(shù)；μ0為真空中的磁導(dǎo)率。

在手征介質(zhì)中，存在兩個本征電磁波：右旋圓偏振電磁波和左旋圓偏振電磁波。本征波滿足Helmholtz方程

式中，E±、B±分別為右旋圓偏振電磁波和左旋圓偏振電磁波的電場分量和磁場分量（+表示右旋，?表示左旋）。

右旋圓偏振電磁波和左旋圓偏振電磁波的波數(shù)為

式中，n±=n±χ為右旋圓偏振電磁波和左旋圓偏振電磁波的有效折射率，表示手征介質(zhì)的折射率；為真空中電磁波的波數(shù)。

當(dāng)χ＞n時，n?＜0，這樣就實(shí)現(xiàn)了左旋圓偏振電磁波在手征介質(zhì)中的負(fù)折射。對于左旋圓偏振電磁波E、H、k構(gòu)成左手螺旋關(guān)系，能流密度矢量S與波矢k反向。χ＞n的手征介質(zhì)就是所謂的手征負(fù)折射率介質(zhì)。

3 橢圓偏振電磁波在手征負(fù)折射介質(zhì)表面的反射與折射

橢圓偏振電磁波可以用左旋圓偏電磁波和右旋圓偏電磁波的疊加來表示，因此我們先分析圓偏電磁波入射時的情況[5]。

如圖1所示，圓偏電磁波由常規(guī)介質(zhì)入射手征負(fù)折射介質(zhì)表面時，折射電磁波中的左旋圓偏振分量發(fā)生負(fù)折射，位于法線另一側(cè)。在圖中給定的電磁參數(shù)下，入射圓偏電磁波的復(fù)振幅表達(dá)式如下（設(shè)入射電磁波沿y方向振幅分量為1）

圖1 電磁波在手征負(fù)折射率介質(zhì)表面的反射與折射Fig.1 The reflection and refraction of EM waves on the surface of the chiral negative refractive index medium

式中，+表示右旋，?表示左旋；θi為入射角，波數(shù)。由圖1中幾何關(guān)系可得，kr沿x方向分量為krx=krs inθr，ki沿z方向分量為krz=krzcosθr。

反射波在常規(guī)介質(zhì)中傳播，可以表示為TE波和TM波的疊加。根據(jù)其在介質(zhì)1中的傳播，以am表示TE波的振幅，以bm表示TM波的振幅（下標(biāo)m=1表示右旋圓偏振電磁波入射，m=2表示左旋圓偏振電磁波入射）。則反射波電磁場復(fù)數(shù)表達(dá)式為

折射波可用右旋圓偏振電磁波和左旋圓偏振電磁波的疊加表示，（+表示右旋，?表示左旋；m=1表示右旋圓偏振電磁波入射，m=2表示左旋圓偏振電磁波入射）

式中，θ±分別表示折射波中右旋圓偏振電磁波和左旋圓偏振電磁波分量的折射角；波阻抗；折射率。

由波矢邊界連續(xù)條件 kix=krx=ktx，kty=kry=kty，可得到反射定律，θi=θr；折射定律，（n±=n2±χ），對于手征負(fù)折射介質(zhì)χ＞n2（n?＜0），因此θ?＜0。左旋圓偏振電磁波發(fā)生了負(fù)折射，其折射波與入射波位于法線同側(cè)[6-7]。且E、H、k滿足左手螺旋關(guān)系。根據(jù)電磁波的邊界條件推導(dǎo)出復(fù)振幅參數(shù)

當(dāng)入射角大于臨界角θc±時，折射角θ±為負(fù)數(shù)角度，透射波變?yōu)楸砻娌?，透射波離開交界面后迅速衰減，實(shí)際上并沒有功率透過，因此取折射角的實(shí)部，當(dāng)θi大于θc±時，相應(yīng)的折射角余弦的實(shí)部為零，沒有實(shí)功率透過，只有虛功率。

由復(fù)振幅反射率和折射率可以看出，am和 bm不相等，且存在相位差。因此，反射波為橢圓偏振電磁波。但是，當(dāng)入射電磁波以某一特定角度θb入射時，反射電磁波能夠變成線偏振，am和bm中有一個為零或他們的相位差為零。這個入射角θb就被稱為布儒斯特角。

任意的橢圓偏振電磁波都可以通過坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變成正橢圓偏振電磁波，在這里，只討論正橢圓偏振電磁波入射的情況。設(shè)正橢圓偏振電磁波沿方向的電場分量為E1，沿 xOz平面的電場分量為E2。則右旋和左旋正橢圓偏振電磁波入射的電場的復(fù)數(shù)表達(dá)式為

利用單位振幅的圓偏振電磁波可表示為

同理得到反射波

透射波

以及能流反射率和透射率

4 數(shù)值分析

因任意橢圓偏振電磁波較為復(fù)雜，我們僅以E1=1、E2=2的正橢圓偏振電磁波入射的情況為例，對平均能流反射率和透射率，以及全反射的情況進(jìn)行了討論。選擇介質(zhì)參數(shù)μ1=μ1=μ0，ε1=ε0，ε2=0.16ε0，則n2=0.4，對于手征負(fù)折射介質(zhì)，要求χ＞n。

圖2 ＜n+＜n1時的能流反射率和透射率Fig.2 The reflectivity and transmittance of energy current

當(dāng)右旋正橢偏振電磁波入射時，由圖2a可以看出：隨著入射角增大到cθ?，折射波中的左旋圓偏振電磁波變成表面波，無法在介質(zhì)中傳播，透射率有所下降，同時，反射率增大；當(dāng)入射角繼續(xù)增大到cθ+時，折射波中的右旋圓偏振電磁波也變成表面波，此時，能量被全部反射，即發(fā)生了全反射，能流反射率變?yōu)?，透射率變?yōu)?。

左旋正橢圓偏振電磁波入射，能流反射率和透過率隨入射角的變化如圖2b所示。當(dāng)入射角增大到cθ?，透射率明顯下降；入射角變?yōu)閏θ+時，發(fā)生全反射，反射率為1，透射率變?yōu)榱恪?/p>

在入射角變化的整個過程中，能流的反射率與透射率之和始終為1，遵循能量守恒定律。

圖3 ＜n 1＜ n +時的能流反射率和透射率Fig.3 The reflectivity and transmittance of energy current

右旋橢圓偏振波入射時，能流反射率和透射率隨入射角的變化得曲線比較平緩。當(dāng)入射角增大到臨界角cθ?，能流反射率和透射率有一個比較小的躍變，由于左旋圓偏振波變成表面波，因此能流反射率增大，能流透射率減小。此后，能流反射率和透射率沒有躍變，也無全反射現(xiàn)象。且在整個過程中，流反射率和透射率和恒為1，即滿足能量守恒定律。

左旋橢圓偏振電磁波入射的情況與右旋橢圓偏振波入射類似，能流反射率和折射率只是在θc?處的躍變較大。

（3）取χ=1.5，n1＜＜ n+，此時，不論是右旋圓偏振電磁波還是左旋圓偏振電磁波，都不存在臨界角。平均能流反射率和透射率隨入射角的變化如圖4所示。

圖4n 1＜ ＜n +時的能流反射率和透射率Fig.4 The reflectivity and transmittance of energy current

由圖可以看出，不論對于右旋橢圓偏振電磁波入射還是左旋橢圓偏振電磁波入射，能流的反射率和透射率在整個入射角變化范圍內(nèi)都不存在躍變，它們隨入射角的變化是一條平滑的曲線，沒有全反射現(xiàn)象的發(fā)生。且整個過程中能流的反射率和透射率和為1，滿足能量守恒定律。

5 結(jié)論

由于手征負(fù)折射介質(zhì)中電磁波的傳播現(xiàn)象與經(jīng)典理論不同，無法用已有的理論公式進(jìn)行討論。本文依據(jù)手征負(fù)折射介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系，討論了橢圓偏振電磁波在手征負(fù)折射率介質(zhì)與常規(guī)介質(zhì)表面的反射與折射特性，并給出了能流反射率透射率隨入射角變化的曲線。結(jié)果顯示，在手征介質(zhì)存在兩個本征波，它們有著不同的傳播特性：

（1）當(dāng)手征參數(shù)大于介質(zhì)折射率時，本征波中的左旋圓偏振電磁波會發(fā)生負(fù)折射，這種介質(zhì)被稱為手征負(fù)折射介質(zhì)。

（2）在手征參數(shù)取不同值時，對應(yīng)兩個本征波存在兩個、一個或者不存在臨界角；當(dāng)兩個本征波都存在臨界角時，會出現(xiàn)全反射現(xiàn)象，其他兩種情況不會發(fā)生全反射。

（3）不同偏振態(tài)的橢圓偏振電磁波入射時手征負(fù)折射率介質(zhì)表面時，會產(chǎn)生不同的反射和折射現(xiàn)象。

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