劉雪莉 楊慶新 楊文榮

（1.河北工業(yè)大學(xué)電磁場(chǎng)與電器可靠性省部共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué)電工電能新技術(shù)天津市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300387）

1 引言

磁性液體是一種將納米級(jí)鐵磁材料顆粒利用表面活性劑均勻、穩(wěn)定地分散在某種液態(tài)載體之中，所形成的穩(wěn)定膠體懸浮液[1]。由于其兼具良好的流動(dòng)性和超順磁性，被廣泛應(yīng)用在密封、航天、傳感測(cè)量、生物醫(yī)學(xué)和環(huán)保等領(lǐng)域[2-4]。近年來(lái)，基于磁性液體的各類傳感器不斷涌現(xiàn)[5-11]，傳感器的動(dòng)態(tài)特性卻較少提及[12]。而傳感器的動(dòng)態(tài)性能是傳感器特性的重要指標(biāo)之一，因此對(duì)磁性液體傳感器的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析建模，有利于此類傳感器的進(jìn)一步發(fā)展。

由于磁性液體的傳感器多數(shù)涉及磁場(chǎng)、流體場(chǎng)共同作用的環(huán)境，會(huì)出現(xiàn)磁—機(jī)耦合、流—固耦合、氣—液耦合等情況，因此，傳感器的動(dòng)態(tài)性能會(huì)受到較多因素的影響，且磁性液體的粘度在磁場(chǎng)中的變化也是重要的影響因素。現(xiàn)有研究有基于能量守恒定律對(duì)微壓差傳感器動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析的[13]，但未考慮磁性液體的磁粘特性。

本文分析了課題組設(shè)計(jì)的磁性液體微壓差傳感器的基本結(jié)構(gòu)，闡述了其工作原理；而后對(duì)傳感器內(nèi)部的磁場(chǎng)和流體場(chǎng)進(jìn)行分析，考慮了粘度在磁場(chǎng)中的變化，根據(jù)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，建立了分步耦合與強(qiáng)耦合模型，以表征傳感器的動(dòng)態(tài)特性；最后對(duì)該模型進(jìn)行了仿真，結(jié)果與理論推導(dǎo)值具有一致性。

2 微壓差傳感器的基本原理

本文設(shè)計(jì)的磁性液體微壓差傳感器結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，U形玻璃管中裝有磁性液體，初始液面位于線圈的中部，每個(gè)管臂外有兩組完全對(duì)稱的線圈，其中激勵(lì)線圈1和3，作為產(chǎn)生磁場(chǎng)的激勵(lì)源；感應(yīng)線圈2和4，用于測(cè)量感應(yīng)電壓u2和u4。

圖1 磁性液體微壓差傳感器模型圖Fig.1 Model for the differential pressure sensor

線圈1和3正向串接，線圈2和4反向串接。其等效電路如圖2所示，i為激勵(lì)源，Li（i=1，2，3，4）為4個(gè)繞組的電感值，Ri（i=1，2，3，4）為4個(gè)繞組的電阻值。

圖2 微壓差傳感器的等效電路Fig.2 Equivalent circuit of pressure sensor

激勵(lì)繞組加正弦電流 i，該電流產(chǎn)生一個(gè)交變磁場(chǎng)。當(dāng)U形管兩端壓力差ΔP=P1?P2≠0時(shí)，試管兩側(cè)因?yàn)榇判砸后w的液面高度不同而磁場(chǎng)分布不同，則兩線圈產(chǎn)生感應(yīng)電壓差Δu=u2?u4≠0。ΔP越大，液面高度差越大，則Δu越大。

激勵(lì)線圈施加正弦電流i

激勵(lì)線圈的電壓為

式中，R1、L1分別為激勵(lì)線圈的等效電阻和電感。

U形管左右兩側(cè)的感應(yīng)電壓有效值為

式中，Ma和Mb分別為U形管左右兩側(cè)的激勵(lì)線圈對(duì)感應(yīng)線圈的互感系數(shù)。則U形管左右兩側(cè)的感應(yīng)電壓差有效值為

無(wú)壓力差時(shí)U形管兩端的液面高度相等，存在壓差Δp時(shí)，磁性液體由高壓端向低壓端流動(dòng)，產(chǎn)生液面高度差為Δl，忽略管臂線圈內(nèi)的磁場(chǎng)梯度，即認(rèn)為磁場(chǎng)是均勻的，忽略磁性液體所受磁場(chǎng)力和粘性力，則有

式中，h為磁性液體單側(cè)管臂中移動(dòng)的距離；ρ為磁性液體密度；g為重力加速度。

由于磁性液體的流動(dòng)，兩側(cè)線圈的互感 Ma和Mb不再相等，使輸出電壓差ΔU發(fā)生變化。

3 微壓差傳感器耦合模型

3.1 分步耦合模型

磁性液體微壓差傳感器中的磁場(chǎng)主要由U形管兩臂上的線圈提供，激勵(lì)線圈通入的是正弦交流電，故管內(nèi)部的交變電磁場(chǎng)是交流正弦變化的電磁場(chǎng)。忽略位移電流，麥克斯韋方程組微分形式可以表示為[14]：

式中，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，H為磁場(chǎng)強(qiáng)度，J為傳導(dǎo)電流。

磁性液體是對(duì)周圍電磁場(chǎng)能夠做出響應(yīng)，并且和電磁場(chǎng)相互影響的流體，在沒(méi)有外加磁場(chǎng)時(shí)沒(méi)有磁性，在外加磁場(chǎng)下，表現(xiàn)為超順磁性。磁性液體在外磁場(chǎng)中受到的磁場(chǎng)力來(lái)源于其中的固相磁性顆粒，在外磁場(chǎng)作用下，各個(gè)固相微粒都發(fā)生不同程度的磁化。每個(gè)磁化分子都在其周圍形成磁場(chǎng)。取磁性液體中的一個(gè)微元控制體作為分析單元，該微元體內(nèi)必包含大量固相微粒，按分子電流觀點(diǎn)[15]，每個(gè)固相顆?？捎靡粋€(gè)分子電流環(huán)來(lái)替代，其磁化強(qiáng)度M =B'/μ0可用環(huán)形電流表示，全部微粒的磁化強(qiáng)度的矢量和就是整個(gè)微元體的磁化強(qiáng)度。

磁性液體內(nèi)總的磁感應(yīng)強(qiáng)度B可表示為

式中，B0是外磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，B'是物質(zhì)磁化產(chǎn)生的附加磁感應(yīng)強(qiáng)度，μ0是真空磁導(dǎo)率，M是磁化強(qiáng)度矢量。

定義矢量磁位A，滿足

根據(jù)矢量場(chǎng)旋度的概念可得

根據(jù)磁性液體的磁化強(qiáng)度曲線，若傳感器激勵(lì)線圈內(nèi)的磁場(chǎng)小于 200Gs，磁性液體工作在線性區(qū)域，則有

式中，χm為磁性液體的磁化率。

微壓差傳感器模型中存在磁場(chǎng)—流體場(chǎng)—熱場(chǎng)等多場(chǎng)的耦合作用，考慮磁性液體流動(dòng)所帶來(lái)的溫升較小，可忽略溫度的影響，簡(jiǎn)化建立磁場(chǎng)—機(jī)械場(chǎng)（流體場(chǎng)）的有限元模型，其相互耦合關(guān)系如圖3所示。

圖3 分步耦合關(guān)系圖Fig.3 Step by step coupling relationship

用不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程表示磁性液體在U形管中的運(yùn)動(dòng)，為

式中fmx，fmy，fmz為磁性液體x，y，z三個(gè)方向所受的磁場(chǎng)力，vx、vy、vz分別為磁性液體沿x，y，z方向的速度，η為磁性液體的粘度。

單位體積的磁性液體在流體場(chǎng)中所受的磁場(chǎng)體積力為F，即[16]

聯(lián)立式(12)、(14)可得，磁性液體在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程

Γ1和Γ2是微壓差傳感器內(nèi)部磁性液體的力學(xué)邊界條件和磁學(xué)邊界條件：

式中pa為大氣壓力，pc為磁性液體的表面張力，下標(biāo)“1”表示磁性液體邊界的內(nèi)側(cè)，下標(biāo)“2”表示磁性液體邊界的外側(cè)。

微壓差傳感器內(nèi)部磁性液體的初始條件：液體速度場(chǎng)為零，外部激勵(lì)磁場(chǎng)恒定。

由式（15）可知，磁場(chǎng)對(duì)磁性液體產(chǎn)生的體積力和外界壓力影響流體場(chǎng)中磁性液體的流速，流速的變化會(huì)影響到U形管兩側(cè)液面差的產(chǎn)生，即磁性液體微壓差傳感器磁芯位置發(fā)生改變，進(jìn)而影響到磁場(chǎng)的分布，這就是傳感器的磁-機(jī)械耦合效應(yīng)。

假定磁性液體處于靜止?fàn)顟B(tài)，計(jì)算磁場(chǎng)分布，由此磁場(chǎng)分布進(jìn)行流體運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的計(jì)算，根據(jù)新的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，假定液體靜止，再次計(jì)算磁場(chǎng)，計(jì)算出的磁場(chǎng)再次進(jìn)行運(yùn)動(dòng)場(chǎng)計(jì)算，直至誤差滿足條件停止迭代，由此時(shí)的磁場(chǎng)分布可求得U形管兩臂的感應(yīng)電壓差，以此表征兩側(cè)壓力差，圖4即為分步耦合算法的迭代流程。

圖4 分步式弱耦合算法的迭代流程圖Fig.4 Iterative flow chart of step by step coupling algorithm

3.2 強(qiáng)耦合模型

上述分步耦合模型，磁場(chǎng)和流體運(yùn)動(dòng)場(chǎng)在計(jì)算時(shí)，均假設(shè)一種場(chǎng)是固定的，進(jìn)行相互的迭代；但在實(shí)際中，微壓差傳感器內(nèi)部的磁場(chǎng)和流體場(chǎng)每一個(gè)時(shí)刻均在變化，且磁性液體的粘度對(duì)流體的運(yùn)動(dòng)有很大影響，而粘度在磁場(chǎng)下是變化的，因此建立微壓差傳感器強(qiáng)耦合模型，將更符合實(shí)際的情況。

假定磁性液體為牛頓流體，基于經(jīng)典流體動(dòng)力學(xué)理論，單位體積磁性液體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程的基本形式為：

上式右邊各項(xiàng)：

（1）fg為磁性液體的重力，是體積力，表示為

（2）fm是磁場(chǎng)力，即 Kelvin力，是磁性液體特有的由外磁場(chǎng)引起的一種體積力[16]，表示為

（3）fp是磁性液體受到的壓力梯度，是一種表面力，表示為此處沒(méi)有上提一行，麻煩請(qǐng)修改，非常感謝

此處的壓力p僅指外界壓力差ΔP，若從能量的角度考慮，還包括磁性液體在磁場(chǎng)中磁化產(chǎn)生的磁化壓力 pm和在磁場(chǎng)中體積變化引起的磁致伸縮壓力ps，可表示為

（4）fη是粘性力，表示為

實(shí)際中磁場(chǎng)對(duì)磁性液體粘度有影響，記為ηH。在微壓差傳感器的模型中，磁性液體的密度ρ為常數(shù)，即為不可壓縮流體，即0=??v，則有

（5）fτ是磁性液體內(nèi)部固相顆粒轉(zhuǎn)動(dòng)引起的附加力，即考慮磁性液體為兩相流時(shí)，液固兩相渦旋的速度滯后產(chǎn)生的，此時(shí)將磁性液體當(dāng)做均勻相流體對(duì)待，該力可認(rèn)為等于零。

同時(shí)磁性液體的磁化強(qiáng)度矢量 M和磁場(chǎng) H平行，有：

若不考慮磁性液體的磁致伸縮量，有：

磁場(chǎng)H的分布隨著磁性液體的運(yùn)動(dòng)而改變，即ηH不為常數(shù)，為磁場(chǎng)H的函數(shù)，表示為：

綜合式（17）～（27），則微壓差傳感器內(nèi)磁性液體的動(dòng)態(tài)耦合模型可表述為

式(28)可看出，外磁場(chǎng)對(duì)磁性液體運(yùn)動(dòng)的影響表現(xiàn)在ηH上，通常外磁場(chǎng)改變磁性液體粘度對(duì)其運(yùn)動(dòng)的影響，比磁場(chǎng)力（即Kelvin力）的影響大得多。

4 磁性液體微壓差傳感器模型仿真

利用式（28）對(duì)微壓差傳感器進(jìn)行仿真，模型如圖5所示。

圖5 傳感器三維仿真模型Fig.5 The 3D simulation model of the differential pressure sensor

U形管內(nèi)磁性液體的界面處于線圈的中間位置，當(dāng)U形管兩端壓力差為恒定靜壓力，或頻率較低的正弦壓力源（10～50 Hz）時(shí)，管內(nèi)磁性液體的流動(dòng)為層流。

壓差為恒定壓力時(shí)，兩感應(yīng)線圈的感應(yīng)電壓差為幅值恒定的正弦波，頻率與激勵(lì)源相同。

壓差為正弦壓力時(shí)，圖6為兩側(cè)液面高度水平集變量對(duì)管壁的積分，可看出，該傳感器系統(tǒng)在初始?jí)毫榱愕那闆r下開(kāi)始加壓，需要50ms左右的滯后過(guò)渡，在 0.1s之后，開(kāi)始逐步跟隨壓力的變化，壓力為正弦變化，液面的變化最終亦表現(xiàn)為正弦，且頻率與壓力源的頻率一致。

圖6 兩側(cè)液面高度Fig.6 The liquid height on both sides

當(dāng)激勵(lì)電源頻率為1000Hz，壓力源頻率10Hz，兩感應(yīng)線圈的感應(yīng)電壓差穩(wěn)定后的波形如圖 7所示，呈幅值為正弦變化的正弦波，波形頻率為激勵(lì)源頻率，幅值變化的頻率為正弦壓力源的頻率，即波形的包絡(luò)線為雙正弦曲線。

圖7 正弦壓力差時(shí)感應(yīng)電壓差波形Fig.7 Induction voltage difference with sinusoidal pressure difference

圖8中為感應(yīng)電壓差的上、下包絡(luò)線，可看出與壓差源波形一致。圖9為仿真模型的輸入輸出曲線。

圖8 正弦壓力差時(shí)感應(yīng)電壓差波形包絡(luò)線Fig.8 Induction voltage difference envelope with sinusoidal pressure difference

圖9 微壓差傳感器輸入輸出曲線比較Fig.9 The input and output curves of the differential pressure sensor

分析結(jié)果可得：

(1)當(dāng)外加壓差相同時(shí)，不考慮粘度影響時(shí)得到的輸出電壓差值大于考慮粘度時(shí)的電壓輸出；

(2)當(dāng)輸出電壓相同時(shí)，不考慮粘度影響時(shí)所對(duì)應(yīng)的壓差值要比考慮粘度時(shí)的??；

(3)考慮磁性液體的磁粘特性，相同壓差下，輸出電壓值比考慮粘度為無(wú)磁場(chǎng)固定值時(shí)的輸出更小，表明磁性液體在磁場(chǎng)下粘度增大，壓力要克服的粘性力變大，位移變小，輸出電壓變小。

上述結(jié)論與理論分析是一致的。

5 結(jié)論

本文對(duì)一種磁性液體微壓差傳感器的基本工作原理進(jìn)行了分析，并根據(jù)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，考慮了磁性液體粘度在磁場(chǎng)中的變化，建立了傳感器磁場(chǎng)—流體場(chǎng)耦合模型。利用該模型進(jìn)行了傳感器動(dòng)態(tài)特性的仿真，結(jié)果與理論推導(dǎo)值具有一致性。該模型為研究磁性液體微壓差傳感器的動(dòng)態(tài)特性、優(yōu)化傳感器結(jié)構(gòu)、提高傳感器精度提供了理論依據(jù)和技術(shù)支持。尋找適合的正弦低頻微壓力源，對(duì)微壓差傳感器施壓正弦壓力，進(jìn)行頻域動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)，將進(jìn)一步驗(yàn)證動(dòng)態(tài)模型的正確性。

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