吳振，戴繼生，2，朱湘臨，趙德安

（1.江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013；2.東南大學(xué)移動(dòng)通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京210096）

互耦效應(yīng)下一種基于實(shí)值稀疏表示的波達(dá)方向估計(jì)算法

吳振1，戴繼生1，2，朱湘臨1，趙德安1

（1.江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013；2.東南大學(xué)移動(dòng)通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京210096）

針對(duì)未知互耦條件下的波達(dá)方向（DOA）估計(jì)問(wèn)題，提出了一種未知互耦條件下基于實(shí)值稀疏表示的加權(quán)子空間DOA估計(jì)算法。新算法利用一個(gè)特定的酉變換矩陣，將一個(gè)復(fù)雜的復(fù)值優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)值優(yōu)化問(wèn)題，從而有效地將原問(wèn)題的計(jì)算復(fù)雜度減少4倍以上。此外，為了進(jìn)一步提高稀疏表示的估計(jì)算法估計(jì)精度，在原有l(wèi)1范數(shù)優(yōu)化模型基礎(chǔ)上引入一個(gè)能使得DOA估計(jì)方差取得最小值的最優(yōu)子空間加權(quán)矩陣。仿真實(shí)驗(yàn)表明，在低信噪比情況下，新算法能進(jìn)一步提高稀疏表示的估計(jì)算法抗噪能力，獲得更好的估計(jì)精度。

信息處理技術(shù)；波達(dá)方向估計(jì)；稀疏表示；互耦；均勻線(xiàn)陣

0　引言

波達(dá)方向（DOA）估計(jì)作為陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要分支，已廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、通信、地震勘探、射電天文以及生物醫(yī)學(xué)工程等多個(gè)領(lǐng)域［1-3］?；谧涌臻g的DOA估計(jì)算法（MUSIC、ESPRIT、root-MUSIC，WSF等）在較高信噪比、較多快拍數(shù)的條件下具有較好的估計(jì)性能，但在非理想（比如低信噪比、少量快拍數(shù)）情況下，此類(lèi)算法性能將損失嚴(yán)重。稀疏表示作為一種新穎的數(shù)據(jù)處理方法，近年來(lái)得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的極大關(guān)注。基于稀疏表示的DOA估計(jì)算法與其他估計(jì)算法相比，具有所需快拍數(shù)小、在低信噪比下具有良好的抗噪性、適用相干信號(hào)等優(yōu)點(diǎn)［4-5］。

稀疏表示估計(jì)算法也存在一些不足：與大多數(shù)子空間估計(jì)算法一樣，其估計(jì)性能很大程度上取決于陣列流型是否精確已知。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，不可避免地要面臨多種流型誤差的影響（如陣元幅相誤差、陣元位置誤差、陣元間互耦效應(yīng)等），這些誤差將使得未經(jīng)校準(zhǔn)處理的DOA估計(jì)算法的性能?chē)?yán)重惡化，甚至失效［6-10］。為對(duì)抗陣元間的互耦效應(yīng)，Dai等提出了一種未知互耦條件下的稀疏表示的DOA估計(jì)算法［6］。該算法能夠消除未知互耦因素帶來(lái)的不利影響，提高DOA估計(jì)的性能。然而該算法需要求解一個(gè)復(fù)數(shù)域上的關(guān)于l1范數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，其計(jì)算復(fù)雜量較高。

注意到一次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算需要4次實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算和兩次實(shí)數(shù)加法運(yùn)算，因此，復(fù)數(shù)實(shí)值化將帶來(lái)計(jì)算復(fù)雜度上的巨大優(yōu)勢(shì)。受此啟發(fā)，本文擬提出一種未知互耦條件下基于實(shí)值稀疏表示的加權(quán)子空間（WSF）DOA估計(jì)算法。與文獻(xiàn)［6］所提算法相對(duì)比，新算法的創(chuàng)新之處在于：1）采用了實(shí)值變換矩陣，有效地將計(jì)算復(fù)雜度減少4倍以上；2）在目標(biāo)函數(shù)中引入了一個(gè)最優(yōu)子空間加權(quán)矩陣，有助于進(jìn)一步減小DOA估計(jì)的方差。因此，新算法是文獻(xiàn)［6］所提算法的一個(gè)重要推廣，其既有助于提高DOA估計(jì)性能，又能有效地降低算法計(jì)算復(fù)雜度。

1　信號(hào)模型

考慮K個(gè)波達(dá)方向?yàn)棣?，θ2，…，θK的窄帶互不相關(guān)信號(hào)sk（t）（k=1，2，…，K）從遠(yuǎn)場(chǎng)入射到由M個(gè)陣元組成的均勻線(xiàn)陣（ULA）上，其中信號(hào)波長(zhǎng)為λ.若假設(shè)相鄰陣元間距為d，則未知互耦條件下陣列的輸出信號(hào)r（t）為

式中：r（t）=［r1（t），r2（t），…，rM（t）］T；s（t）=［s1（t），s2（t），…，sK（t）］T；n（t）=［n1（t），n2（t），…，nM（t）］T；A=［α（θ1），α（θ2），…，α（θK）］；α（θk）=［1，ejφ（θk），…，ej（M-1）φ（θk）］T，φ（θk）=（-2πd/λ）·sin（θk）.n（t）是一個(gè)零均值方差為的廣義高斯隨機(jī)過(guò)程。矩陣C為ULA所對(duì)應(yīng)的互耦矩陣，其互耦系數(shù)與陣元間距呈反比：足夠遠(yuǎn)的兩陣元間互耦系數(shù)近似為0，且間距相同的兩陣元間互耦系數(shù)相同。因此，ULA的互耦矩陣可以用一個(gè)帶狀的對(duì)稱(chēng)Toepliz矩陣來(lái)描述。若模型只考慮m個(gè)陣元之間的相互作用，則互耦矩陣C［7-12］可表示為

式中：Toepliz（c）表示由矢量c構(gòu)成的對(duì)稱(chēng)Toepliz矩陣，c為2M-1維矢量，且有

2　稀疏表示的DOA估計(jì)算法簡(jiǎn)介

為了便于分析，簡(jiǎn)要介紹一下無(wú)互耦效應(yīng)下的稀疏表示的DOA估計(jì)算法（詳見(jiàn)文獻(xiàn)［4］）。此時(shí)，（1）式為

3　未知互耦條件下實(shí)值稀疏表示的DOA估計(jì)算法

由第2節(jié)敘述可知，文獻(xiàn)［4］所提算法沒(méi)有考慮互耦效應(yīng)帶來(lái)的不利影響。本節(jié)將提出一種未知互耦條件下基于實(shí)值稀疏表示的加權(quán)子空間DOA估計(jì)算法。與（5）式類(lèi)似，未知互耦條件下，（1）式可表示為

由于C為未知矩陣，所以（10）式不能直接轉(zhuǎn)換成稀疏表示的形式。為了去除互耦對(duì)陣列輸出信號(hào)帶來(lái)的不利影響，并將（10）式實(shí)值化，引入一個(gè)常數(shù)矩陣F?［0（M-2m）×mIM-2m0（M-2m）×m］和一個(gè)酉變換矩陣QM：當(dāng)M為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)M為奇數(shù)時(shí)，

式中：I為單位矩陣；J為交換矩陣（反對(duì)角線(xiàn)元素全為1，其他元素為0的矩陣），下標(biāo)表示矩陣維數(shù)。（10）式兩邊同時(shí)左乘F和QM-2m，得［12］

（13）式中QM-2mFR，和QM-2mFN同為復(fù)矩陣。為了進(jìn)一步對(duì)其實(shí)值化，將（13）式改寫(xiě)成實(shí)部和虛部之和的形式，即

根據(jù)實(shí)部和虛部分別相等的必要條件，有

若將（15）式寫(xiě)成矩陣形式，得

根據(jù)（7）式，可類(lèi)似地處理（16）式，但為了在低信噪比情況下，進(jìn)一步提高稀疏表示的估計(jì)算法抗噪能力，獲得更好的估計(jì)精度，不再簡(jiǎn)單地用同時(shí)右乘（16）式的兩邊，而是根據(jù)加權(quán)子空間理論，采用一個(gè)子空間實(shí)值加權(quán)矩陣W：

由文獻(xiàn)［13］的定理3可知：對(duì)于任意的加權(quán)矩陣W，有

本文所提算法所涉及的l1范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題（23）式與文獻(xiàn)［6］的優(yōu)化問(wèn)題具有相同的結(jié)構(gòu)，主要區(qū)別在于：1）優(yōu)化問(wèn)題（23）式中所有已知變量和需優(yōu)化的變量均為實(shí)值；2）引入了一個(gè)子空間實(shí)值加權(quán)矩陣，使得DOA估計(jì)的方差能取得最小值。由于一次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算需要4次實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算和兩次實(shí)數(shù)加法運(yùn)算，因此，復(fù)變量實(shí)值化將帶來(lái)計(jì)算復(fù)雜度上的巨大優(yōu)勢(shì)：直接求解優(yōu)化問(wèn)題（23）式所需的計(jì)算復(fù)雜度僅為求解文獻(xiàn)［6］優(yōu)化問(wèn)題計(jì)算復(fù)雜度的1/4.詳細(xì)的討論可參見(jiàn)文獻(xiàn)［12，14-15］，這里不在贅述。

4　仿真結(jié)果及實(shí)驗(yàn)分析

本節(jié)中將新算法與文獻(xiàn)［6，8］所提的算法進(jìn)行比較，從而驗(yàn)證新算法的有效性。在第1個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)K=2個(gè)不相關(guān)信號(hào)（θ1=-19.7°，θ2= 10.1°）入射到陣元數(shù)為M=10的ULA上，陣元間距為半波長(zhǎng)，僅考慮相鄰陣元間存在互耦效應(yīng)，且互耦系數(shù)為0.384 4-0.347 6i，噪聲為零均值的高斯白噪聲。每次實(shí)驗(yàn)均進(jìn)行200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，采用均方根誤差（RMSE）作為DOA估計(jì)算法性能的衡量指標(biāo)，其定義為

圖1　不同DOA估計(jì)算法的RMSE隨著SNR變化的性能曲線(xiàn)Fig.1 RMSE of DOA estimate against SNR among different strategies

為了驗(yàn)證快拍數(shù)對(duì)算法性能產(chǎn)生的影響，在第2個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)中，在低信噪比情況下進(jìn)行了RMSE隨快拍數(shù)變化的仿真實(shí)驗(yàn)。除了將SNR設(shè)置為一個(gè)固定值（-10 dB），其他實(shí)驗(yàn)條件與仿真實(shí)驗(yàn)1相同。圖2描述了不同DOA估計(jì)算法的RMSE隨著快拍數(shù)變化的性能曲線(xiàn)。從圖2可以看出，本文算法性能明顯優(yōu)于其他算法，而且隨著快拍數(shù)的增加，所提算法的DOA估計(jì)RMSE逐漸減小，即估計(jì)精度逐漸增高。

圖2　不同DOA估計(jì)算法的RMSE隨著快拍數(shù)變化的性能曲線(xiàn)Fig.2 RMSE of DOA estimate against snapshots among different strategies

在第3個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)中，將驗(yàn)證較少快拍數(shù)情況下算法的角度辨別性能。設(shè)為第k個(gè)信號(hào)的角度估計(jì)值，若，則稱(chēng)算法能分辨出相鄰的DOA.該仿真實(shí)驗(yàn)假設(shè)有兩個(gè)相鄰的不相關(guān)信號(hào)（θ1=-2.5°，θ2=3.5°）入射到陣元數(shù)為M=12的均勻線(xiàn)陣上，陣元間距為半波長(zhǎng)，快拍數(shù)為50，陣元間互耦系數(shù)設(shè)為c=［1，0.4+0.3i，0.1-0.2i］.圖3描述了不同DOA估計(jì)算法的分辨率隨著SNR變化的性能曲線(xiàn)。由圖3可以看出，本文所提算法具有較高的角度分辨率。

圖3　不同DOA估計(jì)算法的分辨率隨著SNR變化的性能曲線(xiàn)Fig.3 Resolution probability of DOA estimate against SNR among different strategies

5　結(jié)論

針對(duì)未知互耦條件下DOA估計(jì)算法運(yùn)算復(fù)雜度較高的問(wèn)題，本文提出一種未知互耦條件下基于實(shí)值稀疏表示的加權(quán)子空間DOA估計(jì)算法，該算法利用特定的酉變換矩陣，將一個(gè)復(fù)雜的復(fù)值優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成實(shí)值優(yōu)化問(wèn)題，從而有效地降低了計(jì)算復(fù)雜度。此外，根據(jù)加權(quán)子空間理論，引入了一個(gè)子空間實(shí)值加權(quán)矩陣，進(jìn)一步提高了稀疏表示的估計(jì)算法估計(jì)精度。本文算法是文獻(xiàn)［6］所提算法的一個(gè)重要推廣。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)都驗(yàn)證了本文所提算法的有效性。

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A Real-valued Sparse Representation Method for DOA Estimation with Unknown Mutual Coupling

WU Zhen1，DAI Ji-sheng1，2，ZHU Xiang-lin1，ZHAO De-an1
（1.School of Electrical and Information Engineering，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，Jiangsu，China；2.National Mobile Communications Research Laboratory，Southeast University，Nanjing 210096，Jiangsu，China）

The paper presents a real-valued sparse representation method for DOA estimation in the presence of unknown mutual coupling.Utilizing a certain unitary transformation and taking advantage of the special structure of mutual coupling matrix（MCM）for uniform linear arrays（ULAs），we are able to convert complex-valued manifold matrices of ULAs with unknown mutual coupling into real ones.Due to this transformation，the computational complexity can be decreased by a factor of at least four.Moreover，the proposed method is expected to have a better noise suppression，as it exploits an additional optimal weighting matrix.Thus，the proposed method outperforms the original one，especially when signal-tonoise ratio（SNR）is low.Simulation results verify the efficiency of the proposed method.

information processing technology；direction of arrival estimation；sparse representation；mutual coupling；uniform linear array

TN911.7

A

1000-1093（2015）02-0294-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.02.015

2013-09-27

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61102054）；東南大學(xué)移動(dòng)通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放研究基金項(xiàng)目（2013D08）

吳振（1990—），男，碩士研究生。E-mail：zhenwu.ujs@gmail.com；戴繼生（1982—），男，副教授，碩士生導(dǎo)師。E-mail：jsdai@ujs.edu.cn