馬琮淦， 左曙光， 孟　姝， 孫　慶

（同濟(jì)大學(xué)新能源汽車工程中心 上海，201804）

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考慮開(kāi)槽和高次諧波的永磁同步電機(jī)解析模型*

馬琮淦， 左曙光， 孟姝， 孫慶

（同濟(jì)大學(xué)新能源汽車工程中心 上海，201804）

永磁同步電機(jī)6i階（i∈N）轉(zhuǎn)矩波動(dòng)是電機(jī)總成與電動(dòng)車車身階次振動(dòng)的主要振源。筆者提出了一種考慮定子開(kāi)槽與高次諧波的永磁同步電機(jī)解析計(jì)算模型。建模過(guò)程基于瞬態(tài)氣隙磁場(chǎng)分布的計(jì)算。當(dāng)不考慮電流諧波時(shí)，電磁轉(zhuǎn)矩具有6i階（i∈N）轉(zhuǎn)矩波動(dòng)特性。最后，通過(guò)有限元計(jì)算驗(yàn)證了該解析計(jì)算結(jié)果。文中解析模型揭示了電動(dòng)車用永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)非線性的形成機(jī)理。

開(kāi)槽；高次諧波；永磁同步電機(jī)；電動(dòng)車；解析模型

引 言

永磁同步電機(jī)（permanent magnet synchronous motors，簡(jiǎn)稱PMSM）具有高功率密度和寬調(diào)速范圍，被廣泛應(yīng)用于電動(dòng)汽車的直接驅(qū)動(dòng)。然而，其6i階（i∈N）轉(zhuǎn)矩波動(dòng)造成了電機(jī)總成和電動(dòng)汽車車身的階次振動(dòng)［1-2］。因此，研究永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)是十分必要的。

當(dāng)假設(shè)電樞繞組中通入正弦電流時(shí)，主要有兩種因素引起轉(zhuǎn)矩波動(dòng)［3］：定子開(kāi)槽和高次諧波。因此，在轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的計(jì)算中應(yīng)當(dāng)考慮定子開(kāi)槽引起的磁導(dǎo)變化和由永磁體產(chǎn)生的高次諧波。對(duì)于轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的分析，Ree等［4］假設(shè)氣隙磁場(chǎng)已知，提出了一種研究表貼式和內(nèi)埋式永磁同步電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的方法；Takeo Ishikawa等［5-6］用有限元法分析了齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的總和；文獻(xiàn)［7］提出了一種考慮電磁飽和參數(shù)來(lái)減小轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的方法；文獻(xiàn)［8］采用了一種兩步設(shè)計(jì)過(guò)程，通過(guò)二維有限元分析減小轉(zhuǎn)矩波動(dòng)；為避免冗長(zhǎng)的有限元分析計(jì)算，文獻(xiàn)［9］提出了一種永磁電機(jī)解析建模方法；文獻(xiàn)［10］分析了兩種減小永磁同步電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的方法。然而，絕大多數(shù)永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)都是基于不考慮開(kāi)槽、高次諧波的永磁同步電機(jī)線性模型，不能反映電動(dòng)車用永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)非線性特性。

為此，筆者提出了一種考慮定子開(kāi)槽和高次諧波的永磁同步電機(jī)非線性解析模型。所獲得的轉(zhuǎn)矩波形與二維有限元分析計(jì)算的波形吻合，證明了本解析法的準(zhǔn)確性。

1 考慮開(kāi)槽的永磁體磁場(chǎng)分布

本模型做了如下假設(shè)：a.忽略電磁飽和、磁滯和渦流的影響，電機(jī)為線性的磁性條件；b.電機(jī)電流為對(duì)稱的三相正弦規(guī)律變化；c.定子開(kāi)槽，槽是矩形或梯形。

定子開(kāi)槽會(huì)導(dǎo)致磁路中磁導(dǎo)的變化，磁導(dǎo)會(huì)影響永磁體磁場(chǎng)的分布。開(kāi)槽磁導(dǎo)依賴于轉(zhuǎn)子位置，磁場(chǎng)波形也是隨著轉(zhuǎn)子位置變化的。為了獲得氣隙內(nèi)永磁體磁場(chǎng)分布，筆者采用了與文獻(xiàn)［11］中相似的方法。據(jù)文獻(xiàn)［11］作者的觀點(diǎn)，氣隙內(nèi)永磁體徑向磁場(chǎng)分布可通過(guò)忽略定子開(kāi)槽時(shí)永磁體磁場(chǎng)與氣隙開(kāi)槽時(shí)相對(duì)磁導(dǎo)的乘積求得：

其中：BPM-less（θ1）為不開(kāi)槽定子的磁場(chǎng)分布函數(shù)；α為轉(zhuǎn)子表面的角度；θ為轉(zhuǎn)子位移角；θ1為相對(duì)于轉(zhuǎn)子的角度；λ（α）為開(kāi)槽氣隙區(qū)域的相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)。

不開(kāi)槽定子瞬態(tài)磁場(chǎng)分布函數(shù)BPM-less（θ1）的計(jì)算見(jiàn)文獻(xiàn)［12］。在極坐標(biāo)下通過(guò)求解氣隙磁場(chǎng)的泊松方程組，當(dāng)時(shí)，氣隙內(nèi)永磁體徑向磁場(chǎng)分布為

其中：Br為永磁體材料的剩磁，αp為極弧系數(shù)；p為極對(duì)數(shù)；Rm為永磁體圓弧半徑；Rr為轉(zhuǎn)子鐵心圓弧半徑；Rs為定子鐵心圓弧半徑；r=Rs+g/2；μr為永磁體相對(duì)磁導(dǎo)率；B2i-1為磁場(chǎng)第（2i-1）次諧波幅值。

開(kāi)槽以兩種方式影響磁場(chǎng)。首先，減少了每極磁通，通常通過(guò)引入卡特系數(shù)kc計(jì)算此效應(yīng)。其次，影響永磁體和氣隙內(nèi)的磁場(chǎng)分布。筆者采用文獻(xiàn)［11］中開(kāi)槽氣隙區(qū)域的二維模型相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)λ（α）來(lái)計(jì)算，可推得：

其中：y1為繞組節(jié)距；Qs為槽數(shù)。

Λμ的推導(dǎo)如下：

其中：b0為槽寬度。

卡特系數(shù)kc近似為

其中：g為氣隙長(zhǎng)度，hm為永磁體厚度。

β（r）可通過(guò)保角變換獲得：

其中，各參數(shù)可通過(guò)如下方程確定：

式（8）是一個(gè)包含對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)的超越方程。筆者提出了通過(guò)牛頓下山法解此超越方程。首先假設(shè)：

其次，求得f（v）的導(dǎo)數(shù)：

根據(jù)牛頓下山法，式（8）的迭代解vk+1計(jì)算如下：

因此，式（1）中氣隙內(nèi)永磁體徑向磁場(chǎng)分布的解析解如下：

2 定子的總磁鏈

根據(jù)電機(jī)學(xué)，定子總磁鏈由兩個(gè)部分組成。一部分是永磁體磁場(chǎng)產(chǎn)生的磁鏈；另一部分是電樞磁

場(chǎng)產(chǎn)生的磁鏈?？杀硎救缦拢?/p>

其中：Ψtotal，dq為定子總磁鏈矩陣；Ψmagnet，dq為由永磁體磁場(chǎng)產(chǎn)生的磁鏈矩陣；Ψarmature，dq為電樞磁場(chǎng)產(chǎn)生的磁鏈矩陣。

2.1永磁體磁場(chǎng)產(chǎn)生的磁鏈

為計(jì)算永磁體磁場(chǎng)在a相繞組中的磁鏈，用到磁鏈標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算式：

其中：ψ為磁鏈；B為磁場(chǎng)分布；s為面積。

因此，永磁體磁場(chǎng)在a相繞組中產(chǎn)生的磁鏈為

其中：ψm，a（θ）為永磁體磁場(chǎng)在a相中產(chǎn)生的磁鏈；kd（2i-1）為繞組第（2i-1）次諧波分布系數(shù)；Nc為一相繞組串聯(lián)匝數(shù)；αj為繞組節(jié)距角；ls為定子長(zhǎng)度。

假設(shè)［13］：

其中：q為每極每相槽數(shù)；m為相數(shù)；b為一個(gè)整數(shù)；c/d為一個(gè)不可約真分?jǐn)?shù)。

因此，根據(jù)文獻(xiàn)［13］，可得到適用于整數(shù)槽繞組和分?jǐn)?shù)槽繞組的第（2i-1）次諧波分布系數(shù)kd（2i-1）：

給出一相繞組串聯(lián)匝數(shù)Nc：其中：C1為繞組層數(shù)；Nk為每槽每層導(dǎo)體數(shù)；a1為并聯(lián)支路數(shù)。

將式（21，22）代入式（17），得式（17）的解析解為

其中：當(dāng)時(shí)（2i-1）p-μQs≠0時(shí)，

當(dāng)時(shí)（2i-1）p-μQs=0時(shí)，

因此，永磁體在a，b，c相中產(chǎn)生的磁鏈矩陣Ψm，abc為

故，dq坐標(biāo)系下永磁體產(chǎn)生的磁鏈矩陣Ψmagnet，dq可通過(guò)Blondel-Park變換矩陣Tdq，abc求得：

2.2電樞磁場(chǎng)產(chǎn)生的磁鏈

電樞磁場(chǎng)產(chǎn)生的磁鏈矩陣Ψarmature，dq可由下式求得：

其中：Ld為d軸電感；Lq為q軸電感；id為d軸電流；iq為q軸電流。

假設(shè)相電流矩陣為

其中：ia，ib，ic分別為a，b，c相電流；imax為電流幅值；φ為內(nèi)功率因數(shù)角。

因此，可得id和iq：

2.3定子總磁鏈

定子總磁鏈可由永磁體磁場(chǎng)產(chǎn)生的磁鏈與電樞磁場(chǎng)產(chǎn)生的磁鏈求和求得。式（15）的解析解為

其中：ψ1，ψ（6i-1）和ψ（6i+1）可由式（24，25）確定。

3 計(jì)算電壓

定子相電壓用矩陣的形式可表示為

其中：rs為相電阻，ψabc為a，b，c相繞組的總磁鏈矩陣。

注意到通過(guò)Blondel-Park變換矩陣Tdq，abc可以將相向量轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的dq坐標(biāo)系下的向量。因此，式（30）兩邊同時(shí)乘以Tdq，abc，可轉(zhuǎn)換為

在一些繁復(fù)的推導(dǎo)后，式（33）可表達(dá)為

其中：ωr為轉(zhuǎn)子電角速度。式（34）的解析解變?yōu)?/p>

因此，可得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)Edq：

4 6i階轉(zhuǎn)矩波動(dòng)計(jì)算與頻率分析

4.16i階轉(zhuǎn)矩波動(dòng)計(jì)算

電磁功率Pem用矩陣形式可表達(dá)為

可得電磁轉(zhuǎn)矩：

其中：ωm為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度。

電磁轉(zhuǎn)矩的解析解為

機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)如下其中：J為轉(zhuǎn)子總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；B為摩擦系數(shù)。

4.2波動(dòng)頻率分析

根據(jù)式（39），當(dāng)假設(shè)電樞繞組通入正弦電流時(shí)，電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)由兩部分6i階波動(dòng)項(xiàng)組成均由永磁體磁場(chǎng)諧波產(chǎn)生。因此，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)頻率為

其中：nm為轉(zhuǎn)速；t為時(shí)間。

結(jié)果表明：電磁轉(zhuǎn)矩具有6i階波動(dòng)特性。這從理論上解釋了永磁同步電機(jī)總成和電動(dòng)汽車車身的階次振動(dòng)。在設(shè)計(jì)電動(dòng)汽車時(shí)，為避免共振，電機(jī)總成與車身的結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率應(yīng)當(dāng)遠(yuǎn)離6i階轉(zhuǎn)矩波動(dòng)頻率。因此，筆者為電動(dòng)汽車的模態(tài)頻率規(guī)劃提供了理論基礎(chǔ)。

5 永磁同步電機(jī)動(dòng)態(tài)模型

綜上所述，考慮定子開(kāi)槽和高次諧波的永磁同步電機(jī)的動(dòng)態(tài)模型可由以下3個(gè)方程表示：

其中：當(dāng)（2i-1）p-μQs≠0時(shí)，

當(dāng)（2i-1）p-μQs=0時(shí)，

6 解析計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果的比較

筆者基于以上解析模型，編制計(jì)算機(jī)軟件［14］，應(yīng)用該軟件對(duì)解析模型和有限元模型進(jìn)行了比較。計(jì)算實(shí)例選擇了用在電動(dòng)車上的三相20極27槽雙層繞組永磁同步電機(jī)。該電機(jī)的主要參數(shù)見(jiàn)表1，電機(jī)模型見(jiàn)圖1。在計(jì)算前，運(yùn)用本解析模型可以預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)矩諧波頻率為

表1　計(jì)算實(shí)例電機(jī)的主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of the prototype SPMSM

圖1　計(jì)算實(shí)例電機(jī)橫截面Fig.1 Cross-section of the SPMSM

圖2　氣隙磁密對(duì)比Fig.2 Comparison with FEA for permanent magnet field in the air gap

解析模型和有限元法計(jì)算出的氣隙磁密如圖2所示，氣隙磁密諧波幅值如圖3所示。根據(jù)圖3，除了第17階的磁通諧波B17之外，解析模型結(jié)果能較好吻合有限元模型結(jié)果。根據(jù)式（24）和（25），上述差異會(huì)導(dǎo)致解析模型和有限元模型的17階磁鏈Ψ17存在差異。再根據(jù)式（39），其后果是：本解析模型與有限元模型中，第3階轉(zhuǎn)矩諧波Tem-3將存在一定的差異。

圖3　氣隙磁密諧波階次特性對(duì)比Fig.3 Comparison with FEA for the amplitude-order characteristic of permanent magnet field in the air gap

從圖4、圖5可以看出，除了第3階轉(zhuǎn)矩諧波之外，通過(guò)解析模型計(jì)算出的轉(zhuǎn)矩諧波頻率與幅值和用有限元方法計(jì)算出的結(jié)果基本一致。原因是解析模型與有限元模型的第17階磁密諧波計(jì)算差異造成的第17階磁鏈偏差。然而，第3階轉(zhuǎn)矩諧波比第1階轉(zhuǎn)矩諧波要小很多，因此，解析模型的精度仍舊較高。從上面的分析可以看出，該解析模型的準(zhǔn)確性主要取決于氣隙磁密的計(jì)算精度。

圖4　轉(zhuǎn)矩波動(dòng)對(duì)比Fig.4 Comparison with FEA for the torque ripple

圖5　轉(zhuǎn)矩諧波幅頻特性對(duì)比Fig.5 Comparison with FEA for frequencies and amplitudes of torque harmonics

7 結(jié)束語(yǔ)

筆者提出了一種考慮定子開(kāi)槽和高次諧波的永磁同步電機(jī)6i轉(zhuǎn)矩波動(dòng)非線性解析模型。用這個(gè)解析模型，預(yù)測(cè)了6i階轉(zhuǎn)矩波動(dòng)并分析了波動(dòng)頻率。這從理論上解釋了電機(jī)總成與電動(dòng)車車身階次振動(dòng)的振源特性。

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U461.4；TB533

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.02.001

馬琮淦，男，1987年5月生，博士生。主要研究方向?yàn)槠囅到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)、機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制。曾發(fā)表《聲子晶體與輪邊驅(qū)動(dòng)電動(dòng)汽車振動(dòng)噪聲控制》（《材料導(dǎo)報(bào)》2011年第25卷第8期）等論文。

E-mail：maconggan@163.com。

簡(jiǎn)介：左曙光，男，1967年6月生，博士、教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)槠囅到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)、機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制。曾發(fā)表“燃料電池轎車驅(qū)動(dòng)電機(jī)懸置的優(yōu)化設(shè)計(jì)”（《振動(dòng)、測(cè)試與診斷》2008年第28卷第1期）等論文。

E-mail：sgzuo@#com。

*國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）資助項(xiàng)目（2011CB711201）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51075302）

2013-01-17；

2013-03-15