馮海生， 王黎欽， 鄭德志， 趙小力， 戴光昊

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 哈爾濱，150001） （2.中國船舶重工集團(tuán)公司第703研究所 哈爾濱，150036）

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考慮變工況沖擊的齒輪動態(tài)嚙合力分析*

馮海生1， 王黎欽1， 鄭德志1， 趙小力1， 戴光昊2

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 哈爾濱，150001） （2.中國船舶重工集團(tuán)公司第703研究所 哈爾濱，150036）

為研究變工況沖擊對齒輪傳動系統(tǒng)動特性影響，文中基于彈塑性接觸理論，給出一種可以考慮變工況沖擊、嚙入沖擊、節(jié)點(diǎn)沖擊的齒輪接觸碰撞力參數(shù)預(yù)估算法，并結(jié)合多體動力學(xué)軟件建立柔性齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型。該模型和算法可用于大接觸變形和承受頻繁沖擊齒輪傳動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)動特性分析。研究表明：與嚙入沖擊導(dǎo)致的穩(wěn)態(tài)動態(tài)嚙合力相比，變工況沖擊引起的瞬態(tài)動態(tài)嚙合力具有幅值大、沖擊時間短等特點(diǎn)；在不同工況下，嚙入沖擊會引起不同周期的齒輪動態(tài)嚙合力波動；滑動摩擦系數(shù)對齒輪切向摩擦力的節(jié)點(diǎn)沖擊影響更大。研究結(jié)果對齒輪的接觸碰撞力參數(shù)預(yù)估及全面認(rèn)識齒輪傳動系統(tǒng)瞬態(tài)動特性等研究具有積極的意義。

齒輪傳動系統(tǒng)；變工況沖擊；柔性體模型；接觸碰撞；動態(tài)嚙合力

引 言

齒輪系統(tǒng)作為傳遞動力和運(yùn)動的機(jī)械裝置而廣泛應(yīng)用于航空、航天、船舶等行業(yè)，其動特性研究也一直是國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。長期以來，對齒輪傳動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)動特性研究較多；而考慮節(jié)點(diǎn)沖擊和變工況沖擊的齒輪傳動系統(tǒng)瞬態(tài)動特性研究較少。

文獻(xiàn)［1］利用有限元法分析滑動摩擦和齒廓修形對齒輪副嚙合特性的影響。結(jié)果表明滑動摩擦對齒輪嚙入、嚙出沖擊影響不大，但會引起齒輪節(jié)點(diǎn)沖擊。然而此文獻(xiàn)并沒有考慮變工況沖擊所引起的齒輪系統(tǒng)瞬態(tài)動特性。文獻(xiàn)［2-3］對齒輪瞬態(tài)相對轉(zhuǎn)速變化而引起的齒輪瞬態(tài)嚙合沖擊做了有益的研究。文獻(xiàn)［2］給出齒輪傳動接觸沖擊的概念，并利用有限元分析沖擊速度對沖擊合力和沖擊應(yīng)力的影響。結(jié)果表明，沖擊合力和沖擊應(yīng)力與沖擊轉(zhuǎn)速呈近似的線性增長關(guān)系。文獻(xiàn)［3］在考慮電動機(jī)、柴油機(jī)變負(fù)載驅(qū)動的工況下分析高速重載齒輪傳動系統(tǒng)瞬態(tài)動特性，結(jié)果發(fā)現(xiàn)齒輪瞬態(tài)動態(tài)嚙合力遠(yuǎn)大于其穩(wěn)態(tài)動態(tài)嚙合力。

隨著高性能計算機(jī)的廣泛應(yīng)用，使得利用多體動力學(xué)分析大柔度、強(qiáng)非線性的齒輪傳動系統(tǒng)動特性成為現(xiàn)實(shí)［4］。文獻(xiàn)［5］認(rèn)為相對剛性體模型和有限元模型，利用模態(tài)縮減法的柔性多體齒輪傳動系統(tǒng)模型能夠提供更加合理的仿真效率和計算精度。當(dāng)前，影響齒輪傳動系統(tǒng)多體動力學(xué)模型計算效率和精度的主要因素是齒輪接觸力參數(shù)和柔性體模態(tài)縮減法的優(yōu)化，其中現(xiàn)有接觸力參數(shù)的預(yù)估多涉及穩(wěn)態(tài)接觸力參數(shù)而對瞬態(tài)接觸力參數(shù)涉及較少［6-7］。因而，研究考慮瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)沖擊作用的齒輪接觸力參數(shù)預(yù)估對齒輪傳動系統(tǒng)動特性分析和減振降噪機(jī)理都具有重要意義。

文中在系統(tǒng)分析變工況沖擊、嚙入沖擊、節(jié)點(diǎn)沖擊等典型齒輪嚙合碰撞速度的基礎(chǔ)上，結(jié)合彈塑性變形恢復(fù)系數(shù)提出一種適用范圍更大的齒輪接觸碰撞力參數(shù)預(yù)估算法。該算法適用于大接觸變形、頻繁變工況沖擊下齒輪傳動系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)動特性分析。并對某型船用斜齒輪傳動系統(tǒng)的多嚙合周期動特性進(jìn)行不同工況下的對比分析，以確定變工況沖擊、嚙入沖擊、節(jié)點(diǎn)沖擊等齒輪沖擊所引起齒輪動態(tài)嚙合力的變化行為。經(jīng)驗(yàn)證，文中所提接觸碰撞力參數(shù)預(yù)估算法可應(yīng)用于齒輪傳動系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)動特性研究。

1 齒輪接觸碰撞力的計算方法

齒輪接觸碰撞力可由法向接觸力和切向摩擦力合成得到，如式（1）所示：

其中：F為接觸碰撞力；Fn為法向接觸力；Ff為切向摩擦力。

1.1法向接觸力Fn

由于齒輪嚙合傳動時不可避免地存在輪齒變形，而應(yīng)用等效彈簧阻尼模型來表示齒輪法向接觸力，如式（2）所示：

其中：K為等效接觸剛度系數(shù)；δ為齒輪嚙合點(diǎn)法向變形量；n為碰撞指數(shù)；C（δ）為接觸阻尼多項(xiàng)式；.δ為齒輪法向變形速度。

1.1.1接觸阻尼多項(xiàng)式C（δ）

C（δ）用來表征碰撞能量的損失。接觸阻尼多項(xiàng)式采用文獻(xiàn)［8］的非線性滯后阻尼模型，如式（3）所示：

其中；v為齒輪嚙合碰撞速度；e為碰撞恢復(fù)系數(shù)；a為非線性阻尼力指數(shù)。

1.1.2碰撞恢復(fù)系數(shù)e

e的實(shí)質(zhì)是表示碰撞過程中的動能損失。為分析發(fā)生較大接觸變形的齒輪傳動系統(tǒng)動特性，文中采用文獻(xiàn)［9］提出的改進(jìn)碰撞恢復(fù)系數(shù)計算方法，如式（4）所示。該計算方法不僅包括彈性變形還引入彈塑性變形、有限塑性變形，同時還擴(kuò)大已有碰撞恢復(fù)系數(shù)計算模型的應(yīng)用范圍。

其中：n=v/vy；其他具體參數(shù)詳見文獻(xiàn)［9］。

1.1.3接觸相對變形量δ

表征最大阻尼時的相對變形量。由Hertz接觸理論可得彈塑性小變形接觸碰撞中的變形量，即

由式（3）～（5）可知齒輪嚙合碰撞速度v是接觸阻尼、碰撞恢復(fù)系數(shù)、接觸變形量的直接影響因素之一，也就是說，輪齒間的瞬態(tài)相對轉(zhuǎn)速變化是導(dǎo)致齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)嚙合力變化的主要原因之一。大量研究表明，齒輪沖擊作用是導(dǎo)致齒輪相對轉(zhuǎn)速發(fā)生波動的最主要誘因之一。在齒輪傳動系統(tǒng)的起動、加減速、突然停機(jī)和其他大范圍工況波動等瞬態(tài)工況將產(chǎn)生較大接觸碰撞力，文中將此瞬態(tài)區(qū)域的沖擊力定義為變工況沖擊力。同時，由于輪齒的受載變形和安裝誤差導(dǎo)致輪齒產(chǎn)生嚙入、嚙出沖擊力。當(dāng)齒輪傳動考慮滑動摩擦?xí)r，因滑動速度方向在節(jié)點(diǎn)前后發(fā)生改變而導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)沖擊力的出現(xiàn)。

綜上所述，通過計算變工況沖擊、嚙入沖擊、節(jié)點(diǎn)沖擊等典型齒輪沖擊作用的齒輪嚙合碰撞速度，則可求解建立包含瞬態(tài)沖擊或穩(wěn)態(tài)沖擊齒輪動力學(xué)模型所需的齒輪接觸碰撞力參數(shù)。

1.1.4齒輪嚙合碰撞速度

（1）變工況沖擊時的齒輪嚙合碰撞速度

由于齒輪發(fā)生變工況沖擊時其相應(yīng)的齒輪嚙合碰撞速度相差較大，則可將主、從動齒輪的變工況沖擊假設(shè)為一個運(yùn)動質(zhì)量體與靜止質(zhì)量體的正心接觸碰撞。變工況沖擊速度如下所示：

其中：ω1，rl分別為主動齒輪的輸入轉(zhuǎn)速和分度圓半徑。

（2）嚙入、嚙出沖擊的齒輪嚙合碰撞速度

在齒輪嚙合過程中，由于存在輪齒誤差和變形而導(dǎo)致主從動齒輪的基節(jié)不相等，導(dǎo)致齒輪的轉(zhuǎn)速發(fā)生突變，進(jìn)而引起嚙入、嚙出沖擊。研究表明，嚙入沖擊對齒輪傳動系統(tǒng)動特性的影響明顯比嚙出沖擊大。因此文中僅研究嚙入沖擊，其嚙入沖擊速度vs如式（7）所示：

其中：αE1′為考慮輪齒誤差和變形的實(shí)際嚙合點(diǎn)壓力角；r1′為實(shí)際嚙合點(diǎn)E1′與主動齒輪中心點(diǎn)O1的連線O1E1′與兩齒輪中心線之間的夾角。

（3）節(jié)點(diǎn)沖擊的齒輪嚙合碰撞速度

依據(jù)齒輪嚙合原理，主、從動齒輪在齒面任意接觸點(diǎn)H（除節(jié)點(diǎn)外）切線方向上的絕對速度不相同，則導(dǎo)致主、從動齒輪齒面的相對滑動。任意接觸點(diǎn)H的相對滑動速度vt如下所示：

其中：s為任意嚙合點(diǎn)H與節(jié)點(diǎn)在嚙合線上的距離；rH為H點(diǎn)的主動齒輪嚙合點(diǎn)半徑。

通過式（6）～（8）可知，當(dāng)齒輪嚙合碰撞速度為變工況沖擊速度時，則能夠建立分析瞬態(tài)沖擊和穩(wěn)態(tài)沖擊的齒輪傳動系統(tǒng)動特性模型。

1.2切向摩擦力Ff

當(dāng)考慮齒輪間的滑動摩擦?xí)r，則可采用庫侖摩擦模型來表示切向摩擦力，如式（10）所示：

其中：μ為滑動摩擦系數(shù)；vt為嚙合點(diǎn)的相對滑動速度。

一般工況下，齒輪的實(shí)際潤滑狀態(tài)為介于完全彈流潤滑和邊界潤滑二者之間的混合彈流潤滑，其滑動摩擦因數(shù)范圍為0.04～0.10［10］。

2 齒輪傳動系統(tǒng)的多體動力學(xué)模型

為研究考慮較大柔性變形、強(qiáng)非線性的齒輪傳動系統(tǒng)動特性而基于ADAMS（Automatic dynamic analysis of mechanical systems，簡稱ADAMS）建立柔性多體齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型。在ADAMS中采用Impact函數(shù)來計算法向接觸力，如下式所示：

其中：δmax為接觸碰撞中最大變形量；Cmax為最大接觸阻尼；其他參數(shù)見式（2）。

由于軟件所推薦參數(shù)并沒有考慮到不同工況下齒輪傳動的特殊性，所以ADAMS仿真計算中參數(shù)預(yù)估成為近年多體動力學(xué)研究的重點(diǎn)。但對大變形、變工況沖擊的齒輪傳動系統(tǒng)齒輪接觸碰撞力參數(shù)預(yù)估研究較少，而文中在系統(tǒng)分析變工況沖擊、嚙入沖擊、節(jié)點(diǎn)沖擊等典型齒輪嚙合碰撞速度的基礎(chǔ)上，結(jié)合彈塑性變形恢復(fù)系數(shù)提出一種適用于大變形、變工況沖擊的輪齒間接觸碰撞力參數(shù)預(yù)估算法?？紤]齒輪傳動系統(tǒng)不同工況要求，根據(jù)式（2）-（9）則可計算式（11）所需參數(shù)的預(yù)估值以建立包含瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)齒輪系統(tǒng)動特性分析模型。

綜上所述，基于模態(tài)縮減法和ADAMS的柔性多體齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型建立及其動力學(xué)仿真分析的主要過程包括：建立三維實(shí)體模型；施加約束、負(fù)載；設(shè)置接觸碰撞力參數(shù)；選擇動力學(xué)方程求解方法等。

3 齒輪傳動系統(tǒng)的仿真分析

將文獻(xiàn)［11］提供的齒輪參數(shù)代入到文中算法所建的動力學(xué)模型中，其相應(yīng)的動態(tài)嚙合力結(jié)果對比如圖1所示，文中的結(jié)果（圖1（a））與文獻(xiàn)結(jié)果基本一致，初步驗(yàn)證文中所提接觸碰撞力參數(shù)預(yù)估算法正確。

圖1　結(jié)果對比圖Fig.1 The diagram of comparison result

3.1仿真分析模型

以某船用減速器斜齒輪副的多嚙合周期為研究對象，其幾何參數(shù)如表1所示，材料均為20Cr Mn Mo。如第2節(jié)所述建立斜齒輪傳動系統(tǒng)多體動力學(xué)模型（如圖2）。同時，在主動齒輪上施加轉(zhuǎn)速驅(qū)動，被動齒輪施加負(fù)載扭矩。動力學(xué)方程求解算法為變系數(shù)、變步長的預(yù)估校正算法。

表1　斜齒輪幾何尺寸參數(shù)Tab.1 Structural parameters of helical gear

文中將分析此船用減速器兩種極限工況下（如表2所示）的變工況沖擊、嚙入沖擊、節(jié)點(diǎn)沖擊對齒

表2　齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)仿真參數(shù)Tab.2 Dynamic parameters of gear transmission

fg=1/Tg=（w1·z1）/60；fε=1/（ε·Tg），其中ε為重合度輪動態(tài)嚙合力的影響。同時，為隔離高頻振動噪聲的影響，而對計算結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的Butterworth低通濾波降噪處理，其截至頻率為5 k Hz。

圖2　斜齒輪傳動系統(tǒng)多體動力學(xué)模型Fig.2 Multi-body dynamics model of helical gear transmission

3.2瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)區(qū)域的動態(tài)嚙合力對比分析

如圖3～5所示，在齒輪起動瞬間存在幅值較大的變工況沖擊力，其幅值遠(yuǎn)大于穩(wěn)態(tài)過程的嚙入、嚙出沖擊力，并且沖擊時間較短。而在穩(wěn)態(tài)階段則存在以靜態(tài)法向嚙合力值為中心的幅值較小、周期性變化的嚙入嚙出沖擊力，而且其變化周期隨著輸入工況的不同而有所變化。如圖4所示，工況1的穩(wěn)態(tài)區(qū)域的嚙入嚙出沖擊力變化周期為單齒完整嚙入、嚙出的多齒嚙合周期Tε。如圖5所示，在工況2的嚙入嚙出沖擊力變化周期則主要為單齒嚙合周期即Tg。如表3所示，穩(wěn)態(tài)工況的動態(tài)嚙合力均方差值與靜態(tài)法向嚙合力基本相同，表明基于文中模型的仿真結(jié)果是有效性。以上齒輪瞬態(tài)嚙合力分析結(jié)果較已有研究［2-3］更加適合描述齒輪多周期嚙合過程的動特性。

圖3　工況1的法向動態(tài)接觸力及摩擦力時域圖Fig.3 The diagram of dynamic normal force and friction at case 1

圖4　工況1的法向動態(tài)接觸力及摩擦力時域局部圖Fig.4 The partial enlarged diagram of dynamic normal force and friction at case 1

圖5　工況2的法向動態(tài)接觸力及摩擦力時域圖Fig.5 The diagram of dynamic normal force and friction at case 2

表3　不同工況下動態(tài)嚙合力的波動Tab.3 Fluctuation of dynamic meshing force at different cases N

結(jié)合表3和圖3～5可知，工況2的變工況沖擊力、嚙入沖擊力波動幅度大于工況1的變工況沖擊力及嚙入沖擊力波動幅度，其中工況2的變工況沖擊力的衰減幅度都大于工況1的相應(yīng)衰減幅度。這是由于隨著齒輪傳遞載荷增大，齒輪的接觸變形增加、接觸阻尼所吸收沖擊能量變多，從而降低工況1的變工況沖擊力及嚙入沖擊力波動幅度和衰減幅度。

3.3切向摩擦力分析

由式（10）可知，齒輪切向摩擦力與法向接觸力的變化趨勢同步、幅值成比例（如圖3～5）。圖3～5中的法向接觸力、切向摩擦力為其各分力平方和的根，故圖3～5中的法向接觸力、切向摩擦力均為正值。由圖6～7可知，齒輪相對滑動速度方向發(fā)生周期性（Tg）改變時，摩擦力的方向也發(fā)生相同周期的改變；同時由式（10）可知滑動速度和摩擦力的方向變化相反。

3.4不同滑動摩擦系數(shù)下的節(jié)點(diǎn)沖擊分析

鑒于齒輪嚙合位置不同時輪齒間的滑動摩擦系數(shù)不同，文中選擇兩組混合潤滑狀態(tài)下極限滑動摩擦系數(shù)（μ=0.05，μ=0.1）分析其對齒輪動態(tài)嚙合的影響。

圖6　工況1的摩擦力x向分量的時域圖Fig.6 The diagram of x-component friction at case 1

圖7　工況2的摩擦力x向分量的時域圖Fig.7 The diagram of x-component friction at case 2

如圖8～11和表4所示，當(dāng)輪齒間滑動摩擦系數(shù)增加時，不同工況下齒輪摩擦力的節(jié)點(diǎn)沖擊幅值增加60％以上，而法向動態(tài)嚙合力只有在工況1下有一定的波動，在工況2下幾乎不變。由此可見滑動摩擦系數(shù)對工況1的齒輪動態(tài)嚙合力影響較大。

圖8　工況1的不同摩擦系數(shù)法向動態(tài)接觸力x向分量時域圖Fig.8 The diagram of dynamic normal force with different friction factor at case 1

圖9　工況1的不同摩擦系數(shù)切向摩擦力x向分量時域圖Fig.9 The diagram of friction with different friction factor at case 1

圖10　工況2的不同摩擦系數(shù)下法向動態(tài)接觸力x向分量時域圖Fig.10 The diagram of dynamic normal force with different friction factor at case 2

圖11　工況2不同摩擦系數(shù)下切向摩擦力x向分量時域圖Fig.11 The diagram of friction with different friction factor at case 2

表4　不同工況和摩擦系數(shù)下動態(tài)嚙合力的波動Tab.4 Fluctuation of dynamic meshing force at different cases and friction factors N

與工況1相比，存在于法向接觸力和切向摩擦中的干擾力在工況2時更加明顯。這是由于工況1的載荷遠(yuǎn)大于工況2的載荷，所以相同的干擾力在大載荷工況下就不明顯。針對干擾力產(chǎn)生的原因，將會在后續(xù)工作中研究。

4 結(jié) 論

1）針對齒輪動態(tài)嚙合傳動問題，給出一種考慮齒輪變工況沖擊、嚙入沖擊、節(jié)點(diǎn)沖擊的齒輪接觸碰撞力參數(shù)預(yù)估算法，并結(jié)合多體動力學(xué)軟件建立柔性多體齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型。該模型和參數(shù)預(yù)估算法適用于大接觸變形和承受頻繁沖擊力的齒輪傳動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)動特性分析。

2）相對嚙入沖擊和節(jié)點(diǎn)沖擊，變工況沖擊所引起的瞬態(tài)齒輪動態(tài)嚙合力具有幅值大、沖擊作用時間短等特點(diǎn)；嚙入沖擊引起的穩(wěn)態(tài)齒輪動態(tài)嚙合力具有周期性振動的特點(diǎn)，其中在轉(zhuǎn)速較高、載荷較大工況下呈現(xiàn)多齒嚙合周期（Tε）波動特征，而在低轉(zhuǎn)速輕載荷工況下則表現(xiàn)為單齒嚙合周期（Tg）波動。

3）低轉(zhuǎn)速輕載荷工況下變工況沖擊力、嚙入沖擊力的波動幅度大于轉(zhuǎn)速較高、載荷較大工況下變工況沖擊力、嚙入沖擊力的波動幅度。

4）由于滑動摩擦系數(shù)的增加，將導(dǎo)致齒輪切向摩擦力的節(jié)點(diǎn)沖擊劇烈波動；而對齒輪法向接觸力的節(jié)點(diǎn)沖擊影響較小。

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TH132.41

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.02.001

馮海生，男，1983年1月生，博士生。主要研究方向?yàn)楦咚冽X輪傳動系統(tǒng)動態(tài)特性及振動特性分析。曾發(fā)表《Transient dynamic analysis of high power density gear transmission》.《Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part J：Journal of Engineering Tribology》，2014，Vol.228，No.12）等論文。

E-mail：fenghaisheng01@163.com

*國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（973計劃）資助項(xiàng)目（2013CB632305）；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51005050）；“十一五”國家傳動基礎(chǔ)資助項(xiàng)目

2013-10-16；

2013-12-20