吳正憲，北京數(shù)學(xué)特級教師，國家督學(xué)，教育部中小學(xué)教材審查委員會審查委員、全國小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會理事長，榮獲“全國模范教師”稱號，主持的課題獲教育部基礎(chǔ)教育成果一等獎。

讀懂教材是解決現(xiàn)實(shí)問題的重要途徑之一，筆者不但通過重新組建的知識體系讓學(xué)生學(xué)習(xí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識，而且努力探尋知識間的內(nèi)在聯(lián)系以及蘊(yùn)含其中的方法論因素，在不斷地完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同時，讓學(xué)生獲得認(rèn)識事物的普遍方法。

一、通過“以舊引新”來關(guān)注知識間的內(nèi)在聯(lián)系

弄清了知識的前后聯(lián)系，可以充分借助學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)來教學(xué)，這種“以舊引新”的教學(xué)方式，不但幫助學(xué)生理解了新知，更讓他們體會到了知識間的密切聯(lián)系，為后面形成知識網(wǎng)絡(luò)奠定了基礎(chǔ)。

筆者在《比的基本性質(zhì)及應(yīng)用》中確定了以下目標(biāo)：溝通分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)、商不變的性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，向?qū)W生滲透事物是普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)。根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，筆者將“聯(lián)系”作為橋梁，用“聯(lián)系”統(tǒng)帥教學(xué)，讓學(xué)生通過聯(lián)系引發(fā)猜想，進(jìn)而通過驗(yàn)證獲得結(jié)論。

案例1：“比的基本性質(zhì)及應(yīng)用”教學(xué)片段

第一次溝通——

筆者首先讓學(xué)生舉例說明比的意義。學(xué)生回答“兩個數(shù)相除又叫作兩個數(shù)的比”，筆者在黑板上寫出“5÷3=5：3”，接著追問5÷3等于多少？怎樣用分?jǐn)?shù)表示？隨著學(xué)生的回答，完善板書：5÷3=[53]=5：3。當(dāng)5÷3=[53]=5：3這一關(guān)系式呈現(xiàn)在黑板上時，筆者引導(dǎo)學(xué)生將其劃分成“除法—分?jǐn)?shù)—比”三個部分，得出一般關(guān)系式：被除數(shù)÷除數(shù)=[分子分母]=前項(xiàng)：后項(xiàng)。然后讓學(xué)生觀察比較三者之間的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)而通過填寫表格梳理三者之間的關(guān)系。

第二次溝通——

筆者提問：“學(xué)習(xí)比的基本性質(zhì)有什么用途呢？”再次引發(fā)學(xué)生思考：既然除法商不變的性質(zhì)能夠進(jìn)行除法的簡算、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)能夠化簡分?jǐn)?shù)，那么比的基本性質(zhì)有什么類似之處？學(xué)生順著“化簡”這一思路展開聯(lián)想，猜想比的基本性質(zhì)也一定具備化簡的功能，最后，學(xué)生在驗(yàn)證猜想的過程中，掌握了化簡比的方法。

整節(jié)課緊緊圍繞著知識間的聯(lián)系來設(shè)計(jì)并組織教學(xué)，兩次溝通引發(fā)了兩次猜測和驗(yàn)證，最終得出了本節(jié)課的核心內(nèi)容：比的基本性質(zhì)及應(yīng)用。筆者關(guān)注知識間的內(nèi)在聯(lián)系，也讓學(xué)生從聯(lián)系中學(xué)習(xí)了構(gòu)建知識，在聯(lián)系中完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、通過“構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)”來關(guān)注知識間的內(nèi)在聯(lián)系

學(xué)生每到一個學(xué)習(xí)階段，筆者都要求學(xué)生把學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識在腦海中像放電影似的回憶一遍，讓學(xué)生用“自己的知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行建構(gòu)，把孤立靜止的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來、活躍起來”。數(shù)的整除這部分內(nèi)容是分?jǐn)?shù)教學(xué)的基礎(chǔ)和鋪墊，它是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中概念最集中的一個單元，在單元教學(xué)結(jié)束后，筆者還幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生抓對立、清異同、悟聯(lián)系。

以下是“數(shù)的整除復(fù)習(xí)”教學(xué)片段。

筆者在課堂上安排了三個環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)1：出示整除相關(guān)概念

環(huán)節(jié)2：學(xué)生自主分類，在匯報(bào)中梳理知識

環(huán)節(jié)3：形成知識網(wǎng)絡(luò)，在梯度練習(xí)中獲得解決問題的方法

上課前，筆者將數(shù)的整除單元的十多個重要概念寫在一張張紙條上，并把紙條零零散散地貼在黑板上。此時沒有美麗的畫面，沒有動聽的音樂，沒有教師激昂的導(dǎo)語，只有這些散落在學(xué)生記憶中的概念躍然眼前。

筆者說：“同學(xué)們，我們已經(jīng)零零散散地學(xué)習(xí)了一些有關(guān)數(shù)的整除的概念（筆者指著散貼在黑板上的紙條上的概念）。我們的第一個任務(wù)就是先獨(dú)立思考，再討論，看看哪些概念之間是有聯(lián)系的，把有聯(lián)系的概念用線連在一起，整體看看關(guān)于數(shù)的整除這個部分，我們到底應(yīng)該掌握哪些重要的基本概念?！?/p>

三言兩語，讓學(xué)生明確了學(xué)習(xí)內(nèi)容、過程、方法和目的。交流過程中，筆者以“牽一發(fā)而動全身”的教學(xué)思路引導(dǎo)學(xué)生把諸多易混易錯的概念進(jìn)行了精細(xì)的梳理與辨析。

當(dāng)學(xué)生提出自己所謂的起始概念時，筆者不急于否定，而是適時適當(dāng)?shù)貐⑴c其中，讓其他學(xué)生發(fā)表不同意見，產(chǎn)生交鋒，再引導(dǎo)學(xué)生展開辯論。

當(dāng)?shù)谝恍〗M學(xué)生從字面意思理解，整理出一組不關(guān)聯(lián)的概念時，筆者帶著思考的表情和疑惑的語氣問：“為什么把質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)、互質(zhì)數(shù)、還有分解質(zhì)因數(shù)這四個概念放在一組呢？”

當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)了不完整的構(gòu)建、出現(xiàn)了片面的認(rèn)識時，筆者不急于告訴，而是放慢速度，耐心等待，巧妙引導(dǎo)，適時地“退下來”，“該出手時就出手”。

學(xué)生沒有完全喚起已有知識，只能想到整除下面的一個概念“因數(shù)”及由此派生的概念時，筆者根據(jù)學(xué)生現(xiàn)場情況，改變了教學(xué)預(yù)設(shè)，拋出了一個根本性的問題：

什么叫整除？能舉個例子來說明嗎？

……

“好，請你們根據(jù)剛才的討論把這組概念整理在黑板上?！?/p>

……

此時，黑板上已經(jīng)出現(xiàn)兩組學(xué)生整理的結(jié)果。

筆者問：“這個整除到底是管誰的？剛才那位同學(xué)說是管因數(shù)這一組的?！?/p>

眾生回答：“不對！應(yīng)該兩個都管?！?/p>

筆者追問：“管誰？”

……

當(dāng)學(xué)生經(jīng)過自己的獨(dú)立思考交流、辯論后，將那些散落在黑板上的十幾個概念根據(jù)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系連成線編成網(wǎng)（如圖）：

筆者總結(jié)道：“同學(xué)們，俗話說，書越讀越薄就是這個道理。過去我們零零散散地學(xué)習(xí)了這么多概念（加重語氣，指著黑板），經(jīng)過“摸象——說象——成象——抽象”這樣的學(xué)習(xí)過程，我們把它們整理成一個比較系統(tǒng)的有關(guān)數(shù)的整除單元概念的網(wǎng)絡(luò)圖！”接著，筆者又引領(lǐng)學(xué)生回憶整個學(xué)習(xí)過程，體會“新盲人摸象”的故事。學(xué)生若有所悟。

短短的40分鐘，黑板上凌亂的十幾張紙條變成了一張整潔美觀、結(jié)構(gòu)清晰、關(guān)系明確、縱橫聯(lián)通的數(shù)的整除知識網(wǎng)絡(luò)圖。在這節(jié)課上，筆者讓學(xué)生經(jīng)歷了梳理、自主構(gòu)建知識網(wǎng)的過程，更在構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)圖的過程中，關(guān)注了知識間的內(nèi)在聯(lián)系。

三、通過“滲透思想方法”來關(guān)注知識間的內(nèi)在聯(lián)系

如果教學(xué)內(nèi)容是舊知識的“生長點(diǎn)”或新舊知識的“連接點(diǎn)”，通常可以組織學(xué)生利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探究學(xué)習(xí)。這就需要教師理解教材編排的基本線索和結(jié)構(gòu)，把握每個階段的重難點(diǎn)以及核心的思想方法，引領(lǐng)學(xué)生找到知識間的內(nèi)在聯(lián)系。

筆者帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了幾種平面圖形面積計(jì)算公式及其推導(dǎo)過程之后，向?qū)W生娓娓道來：同學(xué)們掌握了長方形、正方形、平行四邊形、三角形面積公式的計(jì)算方法，又學(xué)會了用割補(bǔ)法把新圖形轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的舊圖形，根據(jù)圖形間的聯(lián)系，推導(dǎo)新圖形的面積公式的推導(dǎo)方法。今天，我們就利用這些舊知識來解決一個新問題：梯形面積的計(jì)算。

在明確了學(xué)習(xí)任務(wù)后，筆者給了學(xué)生充分的自主探索空間，學(xué)生利用手中的學(xué)具動手操作，小組討論探究，出現(xiàn)了多種不同的推導(dǎo)方法。

甲組：我們小組用兩個完全一樣的梯形拼成了一個平行四邊形。可以看出平行四邊形的底相當(dāng)于梯形的上底、下底的和，平行四邊形的高相當(dāng)于一個梯形的高。這個平行四邊形的面積相當(dāng)于兩個完全相同的梯形的面積和。

乙組：我們小組把一個梯形割補(bǔ)成一個三角形。三角形的高相當(dāng)于梯形的高，三角形的面積相當(dāng)于梯形的面積。

此時的課堂上小手如云，學(xué)生們躍躍欲試。隨著學(xué)生們的回答，又繼續(xù)匯報(bào)了多種不同的推導(dǎo)方法，精彩紛呈。

交流之后，筆者進(jìn)行小結(jié)：同學(xué)們的推導(dǎo)方法各異，但萬變不離其“根”，有的同學(xué)把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，有的同學(xué)把梯形轉(zhuǎn)化成三角形，還有的同學(xué)把梯形轉(zhuǎn)化成兩個三角形，等等。這些轉(zhuǎn)化都是把“陌生的圖形”梯形轉(zhuǎn)化成“熟悉的圖形”，再根據(jù)各部分關(guān)系，推導(dǎo)出公式。

這個案例中運(yùn)用到的轉(zhuǎn)化思想是“把遇到的新知識轉(zhuǎn)化成學(xué)過的一種知識，通過這樣的策略、途徑，達(dá)到解決問題的目的”。筆者在課上充分給予學(xué)生操作探索的機(jī)會和空間，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會蘊(yùn)含在其中的轉(zhuǎn)化思想，用轉(zhuǎn)化的手段去處理問題，慢慢地，學(xué)生就會自覺或不自覺地從知識間的內(nèi)在聯(lián)系看問題，這樣學(xué)生就獲得了一種策略、一種思想、一種能力。

（北京市順義區(qū)東風(fēng)小學(xué)翟萬盈老師對此文有重要貢獻(xiàn)）