高藝斌

（四川大學(xué)建筑與環(huán)境學(xué)院）

結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中振型分解反應(yīng)譜法的應(yīng)用與分析

高藝斌

（四川大學(xué)建筑與環(huán)境學(xué)院）

計(jì)算結(jié)構(gòu)地震作用效應(yīng)時(shí)應(yīng)根據(jù)一定的設(shè)計(jì)原則和假定條件對結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算。本文對振型分解反應(yīng)譜法理論做了研究，確立多質(zhì)點(diǎn)體系的頻率方程和振型方程，進(jìn)而求解出各質(zhì)點(diǎn)的地震效應(yīng)。討論了周期比對結(jié)構(gòu)抗震影響以及各振型組合方法，為選取各階振型提供依據(jù)，針對不同的振型組合得到各地震效應(yīng)。

引言

隨著我國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，高層建筑結(jié)構(gòu)在大中小城市的越來越多的出現(xiàn)，其抗震性能的好壞決定著人民的生命財(cái)產(chǎn)安全。規(guī)范上規(guī)定高層建筑都要做抗震設(shè)計(jì)，須做地震水平作用和豎向作用對結(jié)構(gòu)整體的分析。地震作用取決于地震烈度、距離震源的距離等因素有關(guān)，目前抗震分析中普遍采用振型分解反應(yīng)譜法分析[2～3]。本文在前人研究基礎(chǔ)上，研究振型分解反應(yīng)譜的理論原理，推導(dǎo)各振型理論解、不同質(zhì)點(diǎn)不同振型的理論解以及各振型組合情況。

1　抗震設(shè)計(jì)原則及假設(shè)

建筑結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)屬于短時(shí)間發(fā)生的大變形問題，須按照彈塑性理論進(jìn)行分析。按大變形對對強(qiáng)度驗(yàn)算，會造成材料的過度消耗。小震不壞，中震可修，大震不倒為結(jié)構(gòu)三水準(zhǔn)設(shè)防原則，抗震設(shè)計(jì)必須按照這一原則進(jìn)行。豐定國[2]等人指出在不考慮豎向振動(dòng)時(shí)，可以將框架各層看成一質(zhì)點(diǎn)，分析有限質(zhì)點(diǎn)受地震作用在水平方向的振動(dòng)問題。各層等效的慣性力作用在各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)心處，與外荷載構(gòu)成力平衡體系。

2　反應(yīng)譜法理論（如圖1）

振型分解理論就是利用多質(zhì)點(diǎn)體系自由振動(dòng)特性來簡化多質(zhì)點(diǎn)體系強(qiáng)迫振動(dòng)求解。即多質(zhì)點(diǎn)體系振動(dòng)問題，通過振型變?yōu)閱钨|(zhì)點(diǎn)振動(dòng)組合問題來求解。

2.1各質(zhì)點(diǎn)慣性力

多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)中，質(zhì)點(diǎn)i上地震作用力等于該點(diǎn)的慣性力：

因各振型｛Yi｝（i=1，2，…，n）為獨(dú)立的向量，則可將單位向量｛1｝由向量組｛Y1｝｛Y2｝，…，｛Yn｝表示，即：

圖1　多質(zhì)點(diǎn)自由度體系簡化圖

其中ai為待定系數(shù)。等式兩邊同乘以｛Yj｝T［M］，由振型正交性知，除了aj｛Yj｝T［M］｛Yj｝以外，其余的都等于零，得：

解得：

將式（4）代入式（2）中得：

2.2多質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)頻率和振型

多質(zhì)點(diǎn)體系有阻尼運(yùn)動(dòng)方程表示：

根據(jù)振型正交性可知，體系中的地震位移反應(yīng)向量｛x｝可表示為：

將式（7）代入式（6）中得：

將上式兩邊左乘｛Yi｝T得：

各振型與結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣正交，并假定振型與結(jié)構(gòu)阻尼矩陣也是正交的，即｛Yi｝T［C］｛Yj｝=0，i≠j。

則式（9）成為：

則得到：

令：

將式（10）兩邊同時(shí)除以｛Yi｝T［M］｛Yi｝得：

由杜哈密積分可得式（12）解為：

將式（13）代入式（7），即得多自由度體系的位移解：

對任意質(zhì)點(diǎn)i在任意時(shí)刻時(shí)的相對水平位移為：

則質(zhì)點(diǎn)i在任意時(shí)刻時(shí)的相對加速度為：

水平地面的水平加速度表達(dá)成：

則質(zhì)點(diǎn)i在任意時(shí)刻的水平地震作用力為

式中：fji為質(zhì)點(diǎn)i的第j振型水平地震慣性力：

2.3水平地震作用力

令質(zhì)點(diǎn)i的第j振型水平地震作用力為該階振型最大慣性力，即：

將式（17）代入式（18）中得：

則由地震反應(yīng)譜定義可將第i質(zhì)點(diǎn)第j振型水平地震作用表達(dá)為：

由建筑結(jié)構(gòu)地震影響系數(shù)與地震反應(yīng)譜之間的關(guān)系可知：

式中：Gi為質(zhì)點(diǎn)的重量；αi為相應(yīng)于j振型自振周期的地震影響系數(shù)。

2.4振型組合方法

振型組合方式和整個(gè)結(jié)構(gòu)的平面布置、空間布置、是否考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)、結(jié)構(gòu)體系是否均勻?qū)ΨQ等方面有關(guān)；對于沿水平方向振動(dòng)，可簡化為多質(zhì)點(diǎn)的彈性體系而言，一般可以采用平方和開平方法即SRSS法；對于結(jié)構(gòu)體系因整體布置不規(guī)則須考慮扭轉(zhuǎn)耦連效應(yīng)的多質(zhì)點(diǎn)體系來說，一般可以采用完全二次項(xiàng)組合法即CQC法。兩者主要區(qū)別在于從數(shù)學(xué)角度講SRSS法是建立在各獨(dú)立事件的概率統(tǒng)計(jì)方法基礎(chǔ)上，也就是說要求參與數(shù)據(jù)處理的各事件之間是相互獨(dú)立的，不存在耦聯(lián)關(guān)系；當(dāng)考慮扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)效應(yīng)時(shí)各振型之間的頻率間距小，相鄰較高的振型頻率近似，此時(shí)應(yīng)考慮不同振型的相關(guān)性。當(dāng)結(jié)構(gòu)的自振頻率相差較大時(shí)，可近似看成每個(gè)振型是相互獨(dú)立的，采用SRSS法得到較好的結(jié)果。

圖2　各自振周期比對應(yīng)的耦聯(lián)系數(shù)

對第j振型各質(zhì)點(diǎn)水平地震作用，按靜力方法計(jì)算，可得體系該振型下的最大地震效應(yīng)。記體系第j振型某特定最大地震反應(yīng)為Sj，而特定體系下的最大地震效應(yīng)為Smax，則可以通過各振型的地震反應(yīng)來估計(jì)Smax。

（1）當(dāng)結(jié)構(gòu)不進(jìn)行扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)計(jì)算時(shí)，采用平方和開方法（SRSS法）計(jì)算體系最大反應(yīng)，即：

式中：Sj為在第j振型水平地震作用下產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)內(nèi)力包括軸力、剪力和彎矩等。

（2）當(dāng)結(jié)構(gòu)考慮扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)計(jì)算時(shí)，采用完全二次項(xiàng)組合法（CQC法），對于單向水平地震作用時(shí)，地震作用最大反應(yīng)即地震作用標(biāo)準(zhǔn)值為：

當(dāng)考慮雙向水平地震作用時(shí)，按下式中得較大值確定：

或

式中：Sx、Sy分別是x方向和y方向單向水平地震作用按式（23）計(jì)算。

3　振型分解反應(yīng)譜法采用的地震反應(yīng)譜圖形

圖3　地震影響系數(shù)線

α為地震影響系數(shù)；αmax為地震影響系數(shù)最大值；T為結(jié)構(gòu)自振周期；Tg為特征周期；η1為下降斜率調(diào)整系數(shù)；η2為阻尼調(diào)整系數(shù)；γ為衰減指數(shù)。

4　周期比對計(jì)算結(jié)果的影響

周期比是結(jié)構(gòu)本身以扭轉(zhuǎn)為主的第一振型周期Tt與以平動(dòng)為主的第一振型周期T1之比。當(dāng)結(jié)構(gòu)的質(zhì)心與剛度重心重合時(shí)，該情況只有單一平動(dòng)或扭轉(zhuǎn)變形，此時(shí)結(jié)構(gòu)的周期和結(jié)構(gòu)之間的周期比為非耦聯(lián)的周期和周期比。如果結(jié)構(gòu)的質(zhì)心和剛度重心不重合時(shí)，這種情況下的周期和周期比須考慮結(jié)構(gòu)之間相互耦聯(lián)影響。

周期比控制是考慮結(jié)構(gòu)側(cè)向剛度和扭轉(zhuǎn)剛度之間的相對關(guān)系，為了使抗側(cè)力構(gòu)件在平面空間上布置更堅(jiān)固、更有效的起到抗震作用，防止產(chǎn)生大的扭轉(zhuǎn)影響。調(diào)整周期比的原則為：結(jié)構(gòu)抗側(cè)力構(gòu)件應(yīng)布置盡可能的均勻?qū)ΨQ；增加結(jié)構(gòu)周邊剛度；降低結(jié)構(gòu)中部的剛度。

5　結(jié)論

（1）框架結(jié)構(gòu)在水平地震作用下的振動(dòng)響應(yīng)，分析抗震設(shè)防的原理，為了能夠達(dá)到預(yù)期設(shè)防效果，采用振型分解反應(yīng)譜法能夠較合理的計(jì)算建筑結(jié)構(gòu)地震效應(yīng)。振型分解法較底部剪力法等誤差小，結(jié)果較精確。在復(fù)雜情況下，規(guī)范上給出了時(shí)程分析法來補(bǔ)充計(jì)算。地震分析時(shí)因?qū)儆诖笞冃螁栴}，應(yīng)將結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈塑性分析，結(jié)構(gòu)處于彈性階段截面強(qiáng)度設(shè)計(jì)。

（2）不論結(jié)構(gòu)對稱與否，結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)偏心總是存在的，在實(shí)際工作中直接選用CQC法進(jìn)行振型組合。振型組合方法的選擇根據(jù)結(jié)構(gòu)平面布置情況，是否考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)來判斷，對于多振型的結(jié)構(gòu)可以僅計(jì)算2～3個(gè)振型即可。

（3）周期比是控制高層結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)的重要指標(biāo)，在抗震設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)滿足規(guī)范規(guī)定的最低要求前提下，調(diào)整合理結(jié)構(gòu)合理的剛度，進(jìn)而提高結(jié)構(gòu)抗震作用。

（4）本文對抗震計(jì)算的基本理論做了一定研究，為更好的研究地震動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析提供一定的理論基礎(chǔ)。在求解頻率和振型時(shí)，需計(jì)算大型非線性方程組，應(yīng)在提高計(jì)算精度方面做更多的研究。

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2015-6-20