劉永健　李慧　張寧

摘要：應用不同的特征函數(shù)描述了矩形板在非均勻壓力作用下的屈曲形態(tài)，解決了采用三角級數(shù)為屈曲函數(shù)模擬非均勻受壓荷載作用下單側(cè)表面約束矩形板件屈曲模態(tài)的不對稱問題；通過伽遼金法建立屈曲控制方程組，分析了非均勻荷載作用對矩形鋼管混凝土構(gòu)件局部彈性屈曲性能的影響。結(jié)果表明：鋼管屈曲系數(shù)隨著不均勻荷載梯度α增加而增大，純彎作用下（α=2）的板件彈性屈曲荷載特征值約為軸壓作用下的6倍；鋼板的寬厚比限值隨不均勻加載梯度α的增大而增加；非均勻荷載作用下非加載邊固支約束板件的屈曲系數(shù)明顯大于簡支約束的板件。

關鍵詞：矩形鋼管混凝土；局部彈性屈曲；伽遼金法；臨界屈曲系數(shù)

中圖分類號：TU398.9 文獻標志碼：A

Local Elastic Buckling Analysis of Rectangular Concrete-filled

Steel Tube Under Non-uniform Compression

LIU Yong-jian1， LI Hui1， ZHANG Ning2

（1. Shaanxi Provincial Major Laboratory for Highway Bridge & Tunnel， Changan University， Xian 710064， Shaanxi， China； 2. School of Water Resources and Architectural Engineering， Northwest A&F University， Yangling 712100， Shaanxi， China）

Abstract： The buckling modes of rectangular plates under non-uniform compression were described by using different characteristic functions， and the trigonometric series as buckling function to simulate the surface of the unilateral constraints under non-uniform compression load were solved， which rectangular plate buckling mode was asymmetric. The buckling governing equations by Galerkin method were built， then the effect of local elastic buckling under non-uniform load on rectangular concrete-filled steel tube （CFST） was analyzed. The results show that the steel tube buckling coefficient increases with non-uniform loading gradient α， uniform bending （α=2） plate under elastic buckling load characteristic value is about 6 times than axial compression. The limit values of width-thickness ratio of steel increase with non-uniform loading gradient α. The buckling coefficient of fixed constraint plate with unloaded edges under non-uniform load is greater than that of simply supported plate.

Key words： rectangle concrete-filled steel tube； local elastic buckling； Galerkin method； critical buckling coefficient

0引 言

與圓鋼管混凝土相比，矩形鋼管混凝土結(jié)構(gòu)具有節(jié)點連接構(gòu)造簡單、施工方便的特點[1]，適合作為鋼管混凝土拱、桁架梁等新型橋梁結(jié)構(gòu)的壓彎桿件。為使壓彎桿件具有較大的抗彎剛度和承載力，一般會增加矩形鋼管混凝土的截面厚度（寬厚比）[2-3]。若桿件截面寬厚比過大，矩形鋼管混凝土側(cè)壁板件在壓力作用下易發(fā)生局部鼓曲，降低了結(jié)構(gòu)的整體承載力[4-5]。

鋼管屈曲時，核心混凝土對鋼板提供側(cè)向約束，阻止鋼板向混凝土一側(cè)屈曲，使屈曲只能朝外側(cè)發(fā)生，因而提高了板件失穩(wěn)時的屈曲荷載特征值[6-7]。在壓彎作用下，鋼管側(cè)壁的局部穩(wěn)定看作單側(cè)表面約束矩形板的非均勻受壓屈曲問題。該模型假定鋼板放置在無拉力彈性地基上，受非線性接觸約束[8-9]。此類屈曲能夠使用能量法近似求解，通過假定符合板件約束條件的變形函數(shù)，利用勢能駐值原理建立相應的方程組求解[10]。Wright[11]認為單側(cè)受混凝土約束的鋼板屈曲變形可用二重三角級數(shù)描述，并且計算了軸壓鋼板在各種邊界約束條件下的彈性屈曲荷載特征值。該函數(shù)能夠反映軸壓作用下板件的撓曲面形狀，在矩形鋼管混凝土柱的局部屈曲分析中得到了廣泛應用[12]。Uy等[13]使用有限條法計算了各類板件的屈曲荷載特征值，該方法仍然使用三角函數(shù)描述沿荷載作用方向的屈曲變形，而在垂直荷載作用方向?qū)Π寮l分離散，用有限個離散點的側(cè)向位移來描述板件的撓曲變形，得到板件屈曲的半解析解。Shahwan等[14]通過變分原理建立了單側(cè)表面約束板件的屈曲方程組，然后在板件上施加側(cè)向力形成初始缺陷，用以抵消迭代求解方程組時遇到的矩陣奇異問題，所求結(jié)果可近似看作結(jié)構(gòu)的屈曲特征值。Ma等[15]使用高次多項式函數(shù)近似表示板件沿垂直荷載作用方向的變形，并代入板件屈曲偏微分控制方程，通過數(shù)值迭代板件的非線性接觸問題。這些研究可獲得單側(cè)表面約束矩形板在軸壓作用下的屈曲荷載特征值，以及板件邊界條件對屈曲模式的影響，其變化規(guī)律符合試驗研究結(jié)果[16]。然而，針對壓彎荷載作用下的單側(cè)表面約束板件屈曲問題還沒有得到有效解決，這是由于以三角級數(shù)作為屈曲函數(shù)不能完全模擬非均勻荷載帶來的板件屈曲模式不對稱問題，而有限條法等數(shù)值方法求解過程復雜，無法直接給出該類板件屈曲的解析解。

在此基礎上，本文針對矩形鋼管混凝土管壁屈曲時的邊界條件，嘗試使用不同的特征函數(shù)來描述矩形板在非均勻壓力作用下的屈曲，通過伽遼金法建立屈曲控制方程組，分析非均勻荷載對矩形鋼管混凝土構(gòu)件局部屈曲性能的影響。

1屈曲模型

屈曲板件的非均勻荷載分布如圖1（a）所示，將幾何尺寸為a×b的矩形鋼板放置于混凝土上，忽略鋼板與混凝土之間無粘結(jié)和摩擦作用，其中，a為板件長度，b為板件寬度。在壓力和彎矩共同作用下，鋼板沿y方向的截面應力為線性分布，受壓邊緣最大壓應力為σ1，受拉邊緣的應力為σ2，計算時以壓應力為正值，拉應力為負值。引入應力梯度系數(shù)α=（σ1-σ2）/σ1，則距受壓邊緣y處的應力σ可表示為σ=σ1（1-αy/b）。鋼管混凝土管壁受臨界屈曲應力σcr作用下的屈曲模型如圖1（b）所示。

可以發(fā)現(xiàn)，α=0表示均勻受壓的板，而α=2為純彎作用的板。由彈性板的小撓度理論可得受面內(nèi)荷載作用的平板穩(wěn)定方程為[17]

D（4ωx4+24ωx2y2+4ωy4）=

Nx2ωx2+2Nxy2ωxy+Ny2ωy2

（1）

式中：ω為撓曲函數(shù)；D為單位寬度板的抗彎剛度，D=Et312（1-ν2），t為鋼板厚度，E為鋼板彈性模量，ν為鋼板泊松比；Nx，Ny分別為沿x，y方向的中面力；Nxy為面內(nèi)的剪切荷載。

由于板僅承受單向面內(nèi)荷載，有Ny=0，Nxy=0，Nx=-N0（1-αyb），則整理式（1）可得

ω4x4+24ωx2y2+4ωy4+N0D（1-αyb）2ωx2=0

（2）

將式（2）坐標系量綱為1化，引入ξ=xa，η=yb，則有

L（ω）=4ωξ4+2β24ωξ2η2+β44ωη4+ a2N0D（1-αyb）

2ωξ2=0

（3）

式中：β為屈曲板件的長寬比，β=a/b；L（ω）為非均勻荷載作用下板屈曲的平衡偏微分函數(shù)。

屈曲變形函數(shù)的多項式可表示為

ω=∑ni=1Aiφi（ξ，η）

（4）

式中：Ai為屈曲變形函數(shù)的待定系數(shù)；φi（ξ，η）為相應的基函數(shù)；i為屈曲函數(shù)的疊加次數(shù)。

結(jié)合式（3）和式（4），建立伽遼金方程組，即

薄壁鋼管的撓曲函數(shù)ω受板邊界約束影響，若將內(nèi)側(cè)混凝土看作剛性基底，鋼板向外側(cè)鼓曲，沿y方向僅有1次鼓曲，而沿x方向連續(xù)鼓曲（圖1）。受混凝土側(cè)向約束的影響，鋼板加載邊轉(zhuǎn)角為0，可視作固支邊界。鋼板沿y方向屈曲時，上、下邊緣的非加載邊不能自由轉(zhuǎn)動，該位置是介于簡支與固支之間的彈性約束，可分別考慮2種極限邊界條件下的屈曲模式。

1.1非加載邊為固支約束

若非加載邊為固支邊界，鋼板屈曲變形應滿足：

（1）當x=0，a時，w=0，wx=0。

（2）當y=0，b時，w=0，wy=0。

假設屈曲函數(shù)式（4）中符合該條件的特征形函數(shù)滿足

φi（ξ，η）=X（ξ）Yi（η）

（6）

式中：X（ξ）為x方向的屈曲位移；Yi（η）為y方向的屈曲位移。

沿x方向鋼板連續(xù)鼓曲，可使用三角函數(shù)來描述側(cè)向屈曲位移，即

X（ξ）=1-cos（2πξ）

（7）

沿y方向鋼板屈曲受非均勻壓力作用的影響，鼓曲變形非對稱分布，本文使用單跨固支梁的自由振動特征函數(shù)來描述該方向的屈曲位移[18]。

當i=1，3，5，…時

式中：當i≥3時，ω接近真實的屈曲位移，本文中取i=4。

將特征函數(shù)代入方程組式（5），積分后得線性方程組，令方程組的系數(shù)行列式為0，可得板件的屈曲荷載特征值Ncr=kπ2Db2，k為屈曲系數(shù)，在不均勻荷載梯度α一定時，k值取決于矩形鋼板的長寬比β。對于α=2的純彎板，沿x方向鼓曲1個半波（波數(shù)m=1）時，屈曲系數(shù)k可近似表示為

k=25.5β2+7/β2+32.8

（8）

此時板件長寬比范圍為0<β<1.1，且在β=0.72附近取得屈曲系數(shù)最小值kmin=59.2。當β超過1.1時，板件沿x方向屈曲2個半波（m=2），并且隨著長寬比的增大，m值不斷增加，而屈曲系數(shù)k的變化幅度逐漸縮小，并且最終趨近于kmin，如圖2所示。非加載邊固支鋼板分別在荷載梯度α=0，1，2時，屈曲系數(shù)k與長寬比β的對應關系見表1。Leissa等[19]計算了相同荷載作用下無表面?zhèn)认蚣s束矩形板的屈曲系數(shù)k隨β的變化情況。由表1可見，混凝土側(cè)向約束能夠有效提高受壓鋼板的屈曲荷載，與側(cè)向可自由屈曲的板件相比，其臨界屈曲系數(shù)kmin可提高50%左右。此外，由于混凝土側(cè)向約束的存在，板件沿x方向屈曲變形的波長有增大的趨勢，如板件受純彎作用（α=2）時，其臨界半波長由0.5增加到0.7。因此，對于同樣長度的矩形板件，單側(cè)表面約束板沿縱向局部屈曲波的數(shù)量要少于無側(cè)向約束板。

1.2非加載邊為簡支約束

若將鋼板視為加載邊固支、非加載邊簡支約束，則有邊界條件：

（1）當x=0，a時，w=0，wx=0。

（2）當y=0，b時，w=0，2wy2=0。

式（4）符合該邊界條件的特征形函數(shù)可設為

φi（ξ，η）=X（ξ）Yi（η）= [1-cos（2πξ）]sin（iπη）

（9）

同樣將該特征函數(shù)代入方程組式（5），積分后得線性方程組，解得屈曲系數(shù)k隨非均勻荷載梯度α和板件長寬比β的變化情況，如表2所示。表2中給出了無表面?zhèn)认蚣s束板在非加載邊簡支下的屈曲系數(shù)k值[20]，與有單側(cè)約束的板件相比，其臨界屈曲系數(shù)kmin提高40%左右。同樣由于側(cè)向約束的存在，板件沿x方向屈曲波間距相對增加，并且大于

非加載邊固支的板件，如板件受純彎作用（α=2）時，其臨界半波長由無側(cè)向約束的1.0增加到有側(cè)向約束的1.5。

對于α=2的純彎板，屈曲系數(shù)k隨鋼板長寬比β的變化趨勢見圖3。由圖3可見，非加載邊簡支板的屈曲荷載特征值明顯小于固支約束情況，其最小臨界值kmin=33.7，為固支條件的57%。同時，沿x方向發(fā)生單波鼓曲的長度范圍相對較大，0<β<1.5且在β=1.02時具有最小屈曲系數(shù)。當β>1.5時，屈曲板件沿x方向發(fā)生2次鼓曲，并且隨著長寬比的增大，鼓曲數(shù)量不斷增加，m>5后的屈曲系數(shù)k趨近于最小臨界值kmin。因此，長寬比對屈曲荷載的影響僅在β較小時有效，特別是板件沿x方向只發(fā)生1次屈曲的情況，此時屈曲系數(shù)k隨長寬比β的變化曲線可用如下函數(shù)形式表示

k=Aβ2+B/β2+C

（10）

式中：A，B，C均為系數(shù)。

函數(shù)各項系數(shù)A，B，C受板件非加載邊約束和不均勻荷載梯度的影響，不同條件下的系數(shù)取值如表3所示。

2局部屈曲模式

圖4，5分別為非加載邊固支和簡支下的屈曲系數(shù)k隨不均勻荷載梯度α的分布曲線。由圖4，5可見，隨著α增加，板件屈曲系數(shù)k不斷增大。在α>1后，板件屈曲系數(shù)的提高幅度較為明顯，此時加載邊底部荷載由壓力變?yōu)槔?，受拉應力的作用，板件的局部穩(wěn)定性迅速提升。另一方面，非加載邊的約束支撐條件對板件的屈曲系數(shù)影響較大。通過比較可知，固支約束的板件在不同外荷載梯度下的屈曲系數(shù)k均大于簡支約束的板件。固支約束邊界的屈曲系數(shù)在10.32

彈性屈曲后，板件側(cè)向鼓曲模式同樣受不均勻荷載梯度和非加載邊約束的影響。如前所述，鋼板沿y方向僅發(fā)生1次鼓曲，而沿x方向連續(xù)鼓曲。隨不均勻荷載梯度α的增加，縱向鼓曲波間距逐漸減小，并且單波波峰沿橫向逐漸向壓力大的一側(cè)偏移。圖6為β=3時非加載邊固支約束板在不同荷載梯度下的彈性屈曲模態(tài)。一般而言，當α<1時，其屈曲變形與板件受軸壓作用的鼓曲模式接近，屈曲鋼板基本在橫向中心線上發(fā)生最大側(cè)向鼓曲，而相鄰屈曲波的縱向間距近似等于板件寬度b。當α>1時，非均勻荷載開始出現(xiàn)一部分拉力，致使屈曲荷載系數(shù)k不斷增加，屈曲波的波峰明顯向板件受壓側(cè)偏移，受純彎作用（α=2）的波峰最大偏移量約為0.19b，此時屈曲波的橫向斷面為非對稱形式。此外，沿相鄰屈曲波的縱向間距有縮短趨勢，其間距從受軸壓作用的1.0b減小到受純彎作用的0.7b，因此在板件長度一定時，受彎板件沿縱向的屈曲波數(shù)量將相對增加。由圖6可以看出，當α=2時，板件沿縱向的屈曲波數(shù)量從3個增加到4個，此時單波間距為0.75b。值得注意的是，在β較小時，沿x方向的縱波數(shù)量同樣受β影響。如當α=1.5時，圖6中的縱波數(shù)量m=3與板件長寬比β=3相等，即縱波間距等于1.0b；當β=5時，縱波數(shù)量m將增加到6個，此時的縱波間距約為0.83b。隨著長寬比增大，β對屈曲板件縱波數(shù)量的影響逐漸減小，縱波間距趨于固定值，對于非均勻荷載梯度α=1.5的無限長板件，該間距值約為0.92b。

同樣，非加載邊簡支板件在不同荷載梯度下的彈性屈曲模態(tài)變化規(guī)律與固支板件較為接近，如圖7所示。當α<1時，其屈曲變形可近似用板件受軸壓作用的鼓曲模式表示，鼓曲波形沿橫向斷面基本呈對稱分布；當α>1時，屈曲波峰逐漸向板件受壓側(cè)偏移，在純彎作用下（α=2）產(chǎn)生最大偏移，偏移量約為0.2b，該值略大于非加載邊固支約束的板件。此外，隨著α的增加，鼓曲波的縱向間距從1.5b逐漸減小到1.0b，該間距大于非加載邊固支約束的板件，因此對于相同長度的板件，簡支板的鼓曲次數(shù)應小于固支約束的板件。如當α=2時，鼓曲波數(shù)量m=3（圖7），而相同荷載作用下固支約束板m=4（圖6）。

3臨界寬厚比

當板件長寬比β較大時，屈曲系數(shù)k不再隨之發(fā)生變化，并且趨近于最小臨界值kmin，因此可用kmin近似計算細長板件的屈曲荷載特征值。臨界屈曲系數(shù)kmin受不均勻荷載梯度α和非加載邊約束條件的影響，其變化分布曲線見圖8。由圖8可以看出，臨界屈曲系數(shù)kmin隨不均勻荷載梯度α呈非線性增加，在0<α<1范圍內(nèi)，臨界屈曲系數(shù)的增速相對較慢，與軸心受壓板件的屈曲系數(shù)相比，約提高了1倍；在1<α<2范圍內(nèi)，kmin迅速提高，其極值比軸心受壓情況提高了5倍左右。

由矩形板的屈曲荷載計算一般式可得到臨界屈曲應力σcr[17]，即

σcr=k12（1-μ2）π2E（b/t）2

（11）

為使板件承載力得到充分利用，板件不應先于鋼管混凝土構(gòu)件整體屈曲，即滿足等穩(wěn)原則。矩形鋼管混凝土構(gòu)件的等穩(wěn)條件較為復雜，為簡單起見，可要求板件的彈性屈曲應力不小于其屈服強度fy，即fy≤σcr。將臨界屈曲應力公式（11）代入關系式，并引入板件的相對寬厚比參數(shù)，整理可得

btfy235≤kπ2E12（1-μ2）1235

（12）

式中：btfy235為板件的相對寬厚比；對于鋼板，E=2.06×105 MPa，μ=0.3。

對于長寬比β較大的細長板件，可用其最小臨界屈曲系數(shù)kmin代表k值，并根據(jù)上述kmin與α的對應關系，可得鋼管相對寬厚比限值隨不均勻荷載梯度α的變化曲線，如圖9所示。鋼板的寬厚比限值隨α的增大而增加，若非加載邊看作固支約束，受純彎作用板件的寬厚比限值約為216，是軸壓作用下寬厚比限值的2.4倍。在非加載邊簡支約束下，鋼板的寬厚比限值能達到163，仍然遠大于各種約束條件下鋼板受軸壓作用的臨界寬厚比。因此，對于偏心受壓或純彎作用的矩形鋼管混凝土構(gòu)件，可根據(jù)不均勻荷載梯度α的大小，適當放寬截面尺寸從而提高結(jié)構(gòu)的承載力。

4結(jié)語