陳文佳

【摘要】均值不等式是不等式內(nèi)容的重要組成部分，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中也占有十分重要的地位。均值不等式常常用來求最值、求取值范圍、比較大小、證明不等式等。本文以均值不等式為研究對象，探討均值不等式在幾何解題中的具體應(yīng)用。首先概述均值不等式的基本知識，在此基礎(chǔ)上綜合分析均值不等式在幾何解題中的實際應(yīng)用，最后作出總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】均值不等式 幾何解題 應(yīng)用

【中圖分類號】G64 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）10-0164-01

1.均值不等式的基本知識

均值不等式應(yīng)用的先決條件是對己知條件或目標(biāo)不等式的相關(guān)項或因式進行分拆分組，使之符合均值不等式的結(jié)構(gòu)，而待定系數(shù)法則是幫助我們進行合理配湊的技巧之一，待定系數(shù)由配湊的目標(biāo)確定，它常依賴于等號成立的條件、與相關(guān)常數(shù)的吻合以及分組后的局部不等式的構(gòu)造[2]。也就是說，求待定系數(shù)的過程與應(yīng)用均值不等式的過程自然地統(tǒng)一起來了。

常見的不等式公式，如a2+b≥2等等，其中不定值在什么情況下，以什么數(shù)值出現(xiàn)時，其公式會產(chǎn)生什么變化，這些都需要謹(jǐn)記。

應(yīng)用最值定理必須注意：一正二頂三相等?！耙徽奔锤黜椈蚋饕蚴奖仨殲檎龜?shù)；“二定”即必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結(jié)構(gòu)，如果找不出“定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯；“三相”等要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。

2.均值不等式具體應(yīng)用

2.1用于平面幾何

各省市的高考試題中對均值不等式的考查，均以最值問題為背景，利用均值不等式求最值問題是考生必須掌握的基本技能和重要的解題方法。

例1：設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB-bcosA=c。其中不等式成立的前提條件a，b為正數(shù)。

點評：這道題從表面上看是簡單的幾何模型問題，但是在求解面積時涉及到面積的最大值，進而將集合問題轉(zhuǎn)換為均值不等式應(yīng)用問題。只有將求解中t放入根號中變?yōu)閠2，出現(xiàn)均值不等式的定值才能順利實現(xiàn)解題的目標(biāo)。

均值不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)解題及生活實際中有著廣泛的應(yīng)用。但是在實際的解題過程中，很多學(xué)生在遇到看似復(fù)雜的問題時不能靈活的使用不等式來解決問題。本文通過對均值不等式在幾何解題中的應(yīng)用研究，總結(jié)了均值不等式的基本知識，并在此基礎(chǔ)上分析均值不等式的具體應(yīng)用，希望以此對中學(xué)數(shù)學(xué)中均值不等式的理解和應(yīng)用有所幫助。

參考文獻：

[1]楊素云.高中生對均值不等式的理解[D].華東師范大學(xué).2010.5.