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正多面體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量*

2015-10-29 07:03:12邱為鋼
物理通報(bào) 2015年5期
關(guān)鍵詞:多面體四面體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

張 萍

(北京師范大學(xué)物理學(xué)系 北京 100875)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算是大學(xué)物理教學(xué)中一類(lèi)典型題目,文獻(xiàn)[1~3]給出了橢圓環(huán)、圓錐、園臺(tái)等物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.這些物體都具有圓柱對(duì)稱(chēng)性,那么,具有點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)性的正多面體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量怎么計(jì)算?文獻(xiàn)[4]給出了5種正多面體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,科學(xué)計(jì)算軟件Mathematica 8.0多面體軟件包PolyhedronData中的InertiaTensor指令也給出了各種多面體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.正多面體可以由桿(線(xiàn)段)、面、體組成,或者說(shuō),質(zhì)量分別均勻分布在頂點(diǎn)、棱、表面或體內(nèi),這種情況下,多面體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何表示?我們給出了桿、三角形和四面體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的頂點(diǎn)坐標(biāo)表示[5].由文獻(xiàn)[4]的推論可知,正多面體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最終表示與坐標(biāo)軸的取向無(wú)關(guān),與各點(diǎn)坐標(biāo)方式表示無(wú)關(guān),只與幾何量有關(guān).這樣一來(lái),就可以選取一個(gè)最容易計(jì)算的正多面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)表示,把正多面體剖分為點(diǎn)、線(xiàn)段、三角形和四面體,再組合起來(lái),得到正多面體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

根據(jù)桿、三角形和四面體內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)表示,由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的積分定義得到如下結(jié)論[5],設(shè)桿的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量為ri= (xi,yi,zi),i=1,2,那么桿對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

設(shè)三角形的3個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量為ri=(xi,yi,zi),i=1,2,3,則三角形板對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

設(shè)四面體的4個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量為:ri= (xi,yi,zi),i=1,2,3,4,則四面體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

以上物體,對(duì)x,y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,由指標(biāo)x,y,z輪換得到.

表1 正多面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)

續(xù)表

由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的坐標(biāo)表示(1 2 3 式以及表1給出的多面體頂點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)多面體進(jìn)行合理的剖分.計(jì)算得到質(zhì)量分別均勻分布在多面體各個(gè)頂點(diǎn),各條棱、各個(gè)面和體內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,如表2所示.

表2最后一列的數(shù)據(jù)與Mathematica多面體軟件包PolyhedronData中InertiaTensor指令和文獻(xiàn)[4]給出的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量完全一致.

與文獻(xiàn)[4]所用的幾何和積分方法相比,我們所用的坐標(biāo)表示方法更加簡(jiǎn)明,而且容易編程計(jì)算.

表2 正多面體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

對(duì)于Mathematica多面體軟件包Polyhedron-Data中其他多面體,有興趣和時(shí)間的讀者不妨用我們的方法算一算,這兒就不詳細(xì)探究了.順便說(shuō)一下,Mathematica計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用的是直接積分方法,借助了PolyhedronData中的RegionFunction選項(xiàng)和Boole函數(shù).當(dāng)然,實(shí)際物體不大可能呈現(xiàn)正多面體形狀,這些物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量的計(jì)算,可以沿用文獻(xiàn)[5]的思路,三角形或四面體剖分,利用三角形或四面體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的坐標(biāo)表示,直接求和計(jì)算,這大大簡(jiǎn)化了手工計(jì)算的難度.

1 趙新聞,周欣然,楊兵初.橢圓環(huán)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.大學(xué)物理,2008,27(6):13~14

2 樓智美.巧算常見(jiàn)均質(zhì)旋轉(zhuǎn)體對(duì)母線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.大學(xué)物理,2003,22(11):26~27

3 樓智美.均質(zhì)旋轉(zhuǎn)面繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.大學(xué)物理,2009,28(12):22~24

4 劉甲剛,嚴(yán)云玲.均質(zhì)正多面體主慣量軸和主矩.陜西工學(xué)院學(xué)報(bào),1996,12(1):78~83

5 邱為鋼.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的坐標(biāo)表示.物理通報(bào),2014(2):16~18

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