大學(xué)生物理競賽試題賞析(Ⅲ)
——電磁學(xué)部分

劉家福張昌芳

(裝甲兵工程學(xué)院物理室北京100072)

摘 要：首先對全國部分地區(qū)大學(xué)生物理競賽中電磁學(xué)試題所占的比例進行統(tǒng)計，然后分析電磁學(xué)試題中各知識點的分布情況，最后對電磁學(xué)試題的方法進行剖析．

關(guān)鍵詞：大學(xué)生物理競賽電磁學(xué)試題基本要求

收稿日期：(2014-05-20)

自1984年以來，由北京物理學(xué)會和北京高校物理教學(xué)研究會舉辦的全國部分地區(qū)大學(xué)生物理競賽從未間斷，而且規(guī)模不斷壯大，其考生成分、名稱演化、影響和意義，已分別在前文[1,2]中述及．筆者關(guān)注該項賽事十余年，搜集、研究了其所有試題．本文是筆者對歷屆電磁學(xué)試題進行研究的總結(jié)，主要是對電磁學(xué)試題進行統(tǒng)計、分析，并對試題的典型方法進行剖析，希望能為日常教學(xué)、參賽選手的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備及競賽輔導(dǎo)工作提供參考．

1電磁學(xué)試題及其在競賽中的占比

電磁學(xué)問題通常與力學(xué)問題聯(lián)系在一起，偶爾會涉及振動問題；《電磁學(xué)》與《光學(xué)》、《相對論》、《量子物理》等關(guān)系密切，甚至可以說是它們的基礎(chǔ)．教育部教指委2010年編制發(fā)布的《理工科類大學(xué)物理課程教學(xué)基本要求》[3](以下簡稱《基本要求》)將大學(xué)物理課程分解為11個板塊，《電磁學(xué)》為其第4板塊．本文所采用試題均是以電磁現(xiàn)象、電磁性質(zhì)和電磁物理量為研究對象，至于那些雖然有電磁學(xué)背景、以電磁學(xué)為基礎(chǔ)，但不是以電磁物理量為研究目標(biāo)的題目，不在本文考慮范圍之內(nèi)．

基于同樣的原因[2]，本文所采用試題樣本為非物理類A組試題，剔出了其中的實驗題，而且將每一屆的理論題總分數(shù)均折合為100分．

在表1中，我們列出了歷屆競賽電磁學(xué)試題的總分數(shù)．其中，“滬津”指1988年上海、天津兩市的大學(xué)生物理競賽．

表1　歷屆大學(xué)生物理競賽電磁學(xué)試題的總分數(shù)統(tǒng)計

從表1的數(shù)據(jù)看，雖然最高、最低占比相差一倍有余，但電磁學(xué)試題的占比總體上是比較穩(wěn)定的．全部31套試題中，電磁學(xué)試題的平均占比為30.5%，標(biāo)準(zhǔn)偏差為6.3%．在《基本要求》中，建議《電磁學(xué)》授課不少于40學(xué)時，而整個課程不少于126學(xué)時，競賽中電磁學(xué)試題的分數(shù)占比與《基本要求》建議的《電磁學(xué)》學(xué)時占比相當(dāng)．

2電磁學(xué)試題各知識點的分布

《基本要求》將《電磁學(xué)》內(nèi)容分解為A和B兩類(A類為核心內(nèi)容，本科生學(xué)習(xí)大學(xué)物理課程應(yīng)達到的最低要求；B類為擴展內(nèi)容，體現(xiàn)加強基礎(chǔ)教育，增強學(xué)生發(fā)展?jié)摿?共28條．在31套試題中，有2條A類知識點(電場強度和電勢的關(guān)系、靜電場的環(huán)路定理；電場和磁場的能量)和5條B類知識點(電介質(zhì)的極化及其描述；物質(zhì)的磁性、順磁質(zhì)、抗磁質(zhì)、鐵磁質(zhì)；麥克斯韋方程組的微分形式；邊界條件；超導(dǎo)體的電磁性質(zhì))沒有直接考核，表2列出了其他各條內(nèi)容在歷屆競賽中所占比重的平均值．

表2　《電磁學(xué)》各知識點在競賽試題中的平均占比

統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，除了第18和第20屆外，“感應(yīng)電動勢”和“導(dǎo)體的靜電平衡”出現(xiàn)在各屆的競賽試題中，各出現(xiàn)18次，在歷屆試題中的平均占比分別為4.12%和3.95%．另外占比較高的是“真空中靜電場的電勢”問題和“有電介質(zhì)存在時的靜電場”問題．雖然“直流電”屬于B類，平均占比達到2.34%，但是很多屆的“直流電”問題考核的是等效電阻的求解，雖與中學(xué)物理有銜接，也涉及到一些方法，但與《基本要求》倡導(dǎo)的“增強學(xué)生發(fā)展?jié)摿Α钡木翊嬖谝欢ǖ牟罹啵?/p>

3電磁學(xué)試題的方法

縱觀30年的競賽，絕大多數(shù)電磁學(xué)試題都是純理論性的，幾乎沒有與日常生活、工程技術(shù)、科學(xué)前沿相聯(lián)系的試題．而且，絕大部分電磁學(xué)試題可用邏輯分析的方法求解，即根據(jù)已知條件，利用一些物理原理和數(shù)學(xué)工具，演繹、推理出所要求的結(jié)果．

在電磁學(xué)試題中，也有一些題目比較靈活，有的需要一定的技巧，有的需要綜合性分析，還有的體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)的思想．

3.1電磁學(xué)試題中的技巧

3.1.1補償法的應(yīng)用

高斯定理是描述靜電場性質(zhì)的重要定理，具有普遍性意義．在電荷分布具有簡單的對稱性(球?qū)ΨQ性、軸對稱性或面對稱性)的情況下，可以用其來分析電場強度(及電勢)的分布．但是，有的問題中電荷的分布不具有這樣簡單的對稱性．如圖1所示[4]，在半徑為R1、電荷體密度為ρ的均勻帶電球體中，有一個半徑為R2的球形空腔，空腔中心相對球體中心的位置矢量為r0，要求球形空腔內(nèi)任一點的電場強度和空腔中心處的電勢．

圖1

這個問題中，電荷的分布就不具有球?qū)ΨQ性．為了求解這個問題，需要在空腔內(nèi)補上體密度為ρ的均勻電荷分布，同時補上體密度為-ρ的均勻電荷分布．如此一來，就可以利用高斯定理分別求出半徑為R1、電荷密度為ρ的均勻帶電球體及球形空腔處半徑為R2、電荷密度為-ρ的均勻帶電球體在空腔內(nèi)任一點產(chǎn)生的場強及在空腔中心處產(chǎn)生的電勢，然后再利用疊加原理得到最終結(jié)果．

這個問題使我們很自然地想起另外一個問題：在半徑為R1，電流密度為j的無限長載流圓柱中，有一個半徑為R2的無限長圓柱形空腔(軸相互平行)，求空腔內(nèi)某點的磁感應(yīng)強度．

這個問題的求解需要用到安培環(huán)路定理，由于電流的分布不具有簡單的軸對稱性，需要在空腔內(nèi)補上電流，處理方法與上述方法完全類似．有趣的是，上述球形空腔內(nèi)的電場是均勻的，這個圓柱形空腔內(nèi)的磁場也是均勻的．

在圓柱區(qū)域內(nèi)，平行于軸向均勻分布的磁場，當(dāng)磁感應(yīng)強度隨時間變化時，可以利用

圖2

為了求解此題，將空腔部分看作磁感應(yīng)強度分別為B和-B的均勻磁場的疊加，于是整個磁場可以看作以過O點垂直于紙面的直線為軸的圓柱內(nèi)的均勻磁場B和以過O′點垂直于紙面的直線為軸的圓柱內(nèi)的均勻磁場-B的疊加，金屬棍上的感生電動勢εAB就是B變化產(chǎn)生的感生電動勢ε1和-B變化產(chǎn)生的感生電動勢ε2的代數(shù)和．其中，均勻磁場-B隨時間的變化產(chǎn)生的感生電場E2垂直于金屬棍，ε2=0．磁感應(yīng)強度為B的均勻磁場產(chǎn)生的感生電動勢ε1的分析見下一小節(jié)．

第25屆競賽的第18題[5]也同樣用到補償法求渦旋電場，在此不再贅述．

3.1.2輔助法的應(yīng)用

在中學(xué)階段學(xué)習(xí)幾何時，我們不得不習(xí)慣于畫輔助線，一條恰當(dāng)?shù)妮o助線可以使幾何難題瞬間變得簡單．在電磁學(xué)中，也不乏利用輔助線求解問題的例子．

在上一個問題中，為了求出感生電動勢ε1，如果按部就班地先求出磁感應(yīng)強度為B的均勻磁場隨時間變化產(chǎn)生的渦旋電場Ei的分布，再將Ei沿金屬棍AB積分，這樣做比較棘手(因為金屬棍上不同線元處Ei的大小、方向不盡相同)．

如圖3所示，作兩條輔助線分別連接OA和OB，此時OA，AB，BO構(gòu)成閉合回路．在OA，BO上，Ei與線元垂直，該閉合回路上的感生電動勢即為ε1．而閉合回路OABO上的感生電動勢可利用法拉第電磁感應(yīng)定律很容易地求出．

圖3

圖4

這個問題中，雖然均勻磁場B對稱地分布在圓形區(qū)域內(nèi)，其隨時間的變化產(chǎn)生的渦旋電場Ei的分布很容易得出，但由于MN上不同線元處Ei的大小、方向不盡相同，欲利用積分的方法達到目的，也是比較棘手的．如果作3條輔助線分別連接圓心和M，N及棒的中點，這個問題就迎刃而解了．

3.1.3等效法的應(yīng)用

所謂等效法，就是在不影響問題的物理本質(zhì)的情況下，將問題簡化處理，找到解決問題的途徑．

圖5(a)所示的電阻絲網(wǎng)絡(luò)[5]，水平和豎直的每一小段、三段斜電阻絲的每一段的電阻同為r，要求兩個端點A，B間等效電阻R．

筆者剛接觸到這個電阻絲網(wǎng)絡(luò)時，也感到其復(fù)雜．經(jīng)過仔細研究后，我們發(fā)現(xiàn)，按圖5(b)的方法分解，如果將B′，C′接到一個電源的兩極，則D，E兩點的電位相等，即最右邊兩個圖可以不予考慮．B′，C′間的等效電阻為rB′C′=r，rB′C′與rAC串聯(lián)后再與rAB并聯(lián)即為A，B間的等效電阻R．

圖5

另一個比較復(fù)雜的電阻絲網(wǎng)絡(luò)如圖6(a)所示[4]，3個半徑相同的均勻?qū)w圓環(huán)兩兩正交，各交點處彼此連結(jié)，每個圓環(huán)的電阻均為R，要求A，B間的等效電阻RAB和A，C間的等效電阻RAC．

圖6

為了求RAC，設(shè)想將A，C點接在電源的兩極，從電流分布看，ACBDA環(huán)面的上、下兩半是對稱的，電路是完全一樣的，因此可作圖6(b)所示的疊合(圖中G代表E，F(xiàn)兩點的疊合)．圖中電流間應(yīng)有

I1=I4，I2=I3，這樣就可以認為I1和I4獨立于I2和I3而不在G點交匯，該電路于是可進一步等效為圖6(c)所示的電路．如此，即可得到RAC．

3.2電磁學(xué)試題中的綜合性分析方法

我們通常遇到的物理問題一般比較簡單，可以很容易地看出因果關(guān)系、已知條件與待求結(jié)果之間的路徑很明晰．但有些問題卻不是這么簡單．

圖7所示的是兩個同心相對放置的均勻帶電的半球面[4]，它們的半徑分別為R1和R2，電荷面密度分別為σ1和σ2，滿足關(guān)系σ1R1=-σ2R2．要求證明小球面所對的圓截面S為等勢面，并計算這個等勢面的電勢值．

圖7

如果能夠證明S為等勢面，這個電勢值就很好求了，它就是球心O的電勢．本題的關(guān)鍵是如何證明S為等勢面．

按照邏輯性思維分析，在S上任意取一點求其電勢，如果所得的值與點的位置沒有關(guān)系，那就說明S是一個等勢面．但此路不通．

我們改變思維的方向：若要證明S為等勢面，只要證明S面上的電場強度與S面垂直即可；若要證明S面上的場強與S面垂直，只要知道兩個半球面在S上獨立產(chǎn)生的場強即可；最理想的情況，如果一個均勻帶電的半球面在其大圓面上任一點的場強與大圓面垂直，那可就太棒了！是垂直嗎？利用反證法，假設(shè)不垂直，那么導(dǎo)致的結(jié)果將是“一個均勻帶電的球面在球面內(nèi)產(chǎn)生的場強不為零”，這是錯誤的．這個錯誤說明了：一個均勻帶電的半球面在其大圓面上任一點的場強與大圓面垂直；進而，兩個半球面在S產(chǎn)生的合場強與S面垂直；再進而，S是一個等勢面！

我們把從終點出發(fā)，往回找理由，讓最后的理由與已知條件相吻合的思維方法稱為綜合性分析方法．這樣的思維方法，不僅在電磁學(xué)中用到，在力學(xué)中同樣有用，是各類證明題的通用方法．除了學(xué)習(xí)、研究外，這種思維模式對個人的成長、成才、成名也有十分重要的意義．

3.3電磁學(xué)試題中的數(shù)學(xué)思想

第7屆競賽有這么一個題目[4]：圖8所示的電阻網(wǎng)絡(luò)是由n個相同的單元重復(fù)連結(jié)而成，為使A，B間的等效電阻RAB與單元數(shù)n無關(guān)，求Rx的取值．

圖8

既然RAB與單元數(shù)n無關(guān)，那么，當(dāng)n=1和n=0時，A，B間的等效電阻值相等．或者，稍麻煩一點兒，取n=2和n=1時，A和B間的等效電阻值相等．Rx即可解出．

筆者當(dāng)初分析這個問題時，設(shè)計了另外一個類似的問題：如圖9所示，n個相同的單元重復(fù)連結(jié)而成的電阻網(wǎng)絡(luò)，A，B間的等效電阻RAB與單元數(shù)n是什么關(guān)系？當(dāng)n→∞時，RAB為何值？

圖9

圖10

筆者研究這個問題時，又聯(lián)想到第15屆競賽的一個力學(xué)問題[6]：如圖10所示，ABC為等邊三角形，連接AB邊、AC邊的中點B1，C1，再連接AB1，AC1的中點B2，C2，…，如此繼續(xù)下去，構(gòu)成無限內(nèi)接等邊三角形系列．設(shè)所有線段的質(zhì)量線密度相等，BC邊的質(zhì)量為m，長度為a，求等邊三角形系列的總質(zhì)量和系統(tǒng)質(zhì)心與BC邊的距離．

我們發(fā)現(xiàn)，這兩個問題蘊含了數(shù)學(xué)中“極限”的思想，利用極限思想，其解唾手可得，有興趣的讀者可參閱文獻[7]．

4結(jié)語

本文對全國部分地區(qū)大學(xué)生物理競賽電磁學(xué)試題進行了統(tǒng)計，分析了各條知識的占比情況，剖析了典型的解題方法．電磁學(xué)試題要求考生具有較好的數(shù)學(xué)能力，涉及的方法與技巧較多．我們也希望在以后的競賽中，命題組能夠多設(shè)計一些與生活實際、工程技術(shù)或科學(xué)前沿相聯(lián)系的試題，以培育學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，增強他們的發(fā)展?jié)摿Γ?/p>

參 考 文 獻

1劉家福，張昌芳. 大學(xué)生物理競賽及其試題特色. 物理與工程，2008，18(4)：65

2劉家福，張昌芳.大學(xué)生物理競賽試題賞析(Ⅰ)——力學(xué)部分.物理通報，2014(10)：54～56

3教育部高等學(xué)校物理學(xué)與天文學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會物理基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會. 理工科類大學(xué)物理課程教學(xué)基本要求(2010年版).北京：高等教育出版社，2010. 1

4工科物理編輯部. 全國部分地區(qū)非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競賽題解匯編(第1～13屆). 北京：工科物理，1997. 35，92，101，45，73

5北京物理學(xué)會. 第25屆全國部分地區(qū)大學(xué)生物理競賽試卷.2008.5,3

6工科物理編輯部. 全國部分地區(qū)非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競賽題解(第15屆). 北京：工科物理，1998. 2，4

7汪斌，劉家福. 數(shù)列的極限及其應(yīng)用分析. 數(shù)學(xué)的實踐與認識，2006，36(8)：367