謝志江　梁　歡　宋代平

重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶,400030

基于連續(xù)蟻群算法的3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解

謝志江梁歡宋代平

重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶,400030

為了避免傳統(tǒng)數(shù)值方法求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解問題的弊端,提出了一種將并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題的求解方法。并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解的核心問題是求解一組多元耦合非線性方程組,以此為依據(jù)建立了并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化模型,并提出了一種簡單的連續(xù)蟻群算法來求解該優(yōu)化模型。以求解3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解為例進(jìn)行了仿真分析。結(jié)果表明,該算法具有良好的全局尋優(yōu)功能，能夠避免初始值和局部極小值對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，不用計(jì)算雅可比矩陣及其逆陣，且計(jì)算精度滿足并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解的要求。

并聯(lián)機(jī)構(gòu);運(yùn)動(dòng)學(xué)正解;蟻群算法;多目標(biāo)優(yōu)化

0　引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)以其測(cè)量誤差小、測(cè)頭位置靈活、成本較低等優(yōu)點(diǎn)，成為坐標(biāo)測(cè)量機(jī)領(lǐng)域研究的新熱點(diǎn)[1]。該測(cè)量機(jī)測(cè)量模型的原理從本質(zhì)上來說是并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解，因此一種高效、精確的并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解算法對(duì)提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量精度是非常重要的。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的核心問題一般歸結(jié)為求解一組多元耦合的非線性方程組。傳統(tǒng)算法分解析法和數(shù)值法[2]兩種。解析法主要是通過消元法得到單獨(dú)參數(shù)多項(xiàng)式，然后再求解。這種方法不需要設(shè)置初始值,并且能夠求得全部解，避免位置奇異問題。程世利等[3]提出了一種6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的解析方法。但是,該方法推導(dǎo)過程復(fù)雜,不具有通用性,一種解析方法僅求解一種模型。數(shù)值法主要是通過Newton法或Newton-Raphson法迭代求解[4-5],該方法需要設(shè)置初始值并且每次迭代都需要計(jì)算雅可比矩陣及其逆陣，因此該類方法計(jì)算速度較慢且計(jì)算精度受初始值的影響較大。韓方元等[6]提出了一種3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解的快速數(shù)值算法，該算法迭代過程中不需要計(jì)算雅可比矩陣及其逆陣,但對(duì)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)具有一定的依賴性，通用性較差。

本文先將非線性方程組轉(zhuǎn)化成多目標(biāo)優(yōu)化問題，再根據(jù)權(quán)和法將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化,最后采用連續(xù)蟻群算法進(jìn)行求解。

1　并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解分析

圖1為三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡圖，該機(jī)構(gòu)由底部定平臺(tái)、頂部動(dòng)平臺(tái)以及三條支鏈構(gòu)成，各支鏈在平臺(tái)上均勻分布且從下向上依次為轉(zhuǎn)動(dòng)副(R)、移動(dòng)副(P)、球副(S)。通過驅(qū)動(dòng)移動(dòng)副，改變?nèi)龡l支鏈的長度來實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng),該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有三個(gè)自由度,即繞x軸、y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)以及沿z軸的移動(dòng)。

圖1　3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖

如圖1所示,在底部定平臺(tái)幾何中心建立定坐標(biāo)系Oxyz,x軸過A1點(diǎn),y軸與A3A2平行,z軸方向垂直定平臺(tái)向上。在頂部動(dòng)平臺(tái)幾何中心建立動(dòng)坐標(biāo)系O1x1y1z1,x1軸過B1點(diǎn),y1軸與B3B2平行,z1軸方向垂直動(dòng)平臺(tái)向上。上下平臺(tái)半徑分別為rb和Ra,ai表示Ai點(diǎn)在定坐標(biāo)系Oxyz的矢量,bi表示Bi點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系O1x1y1z1的矢量,p表示O1點(diǎn)在定坐標(biāo)系Oxyz的矢量,坐標(biāo)為(x,y,z),li表示第i條支鏈的長度,ni表示各支鏈方向的單位向量。則有

ai=Ra(cosθi,sinθi,0)T

bi=rb(cosθi,sinθi,0)T

由圖2封閉矢量圖可得

lini=Rbi+p-ai

(1)

其中,R表示動(dòng)坐標(biāo)系O1x1y1z1相對(duì)于定坐標(biāo)系Oxyz的旋轉(zhuǎn)變換矩陣,α、β、γ分別為Z-Y-X型的歐拉角,c代表cos，s代表sin。

圖2　封閉矢量圖

各條支鏈?zhǔn)苻D(zhuǎn)動(dòng)副的約束,只能在三個(gè)垂直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，可得

Rbi·ui=0

(2)

式中,ui為各轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向的單位向量。

由式(2)可得

(3)

將式(3)代入式(1)可得各支鏈長li為

(4)

則機(jī)構(gòu)的逆解可以記為

li=fi(α,β,z)

(5)

2　機(jī)構(gòu)正解的目標(biāo)優(yōu)化模型

機(jī)構(gòu)正解的本質(zhì)是求解一組非線性方程組,由式(4)可得該方程組:

i=1,2,3

(6)

將該非線性方程組轉(zhuǎn)化成多目標(biāo)優(yōu)化問題,即求解式(7)的最小值：

(7)

權(quán)和法可以將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為所有目標(biāo)的加權(quán)和的標(biāo)量問題，即：

(8)

式中,ωi為權(quán)重系數(shù)。

將式(7)代入到式(8)中,可得機(jī)構(gòu)正解數(shù)學(xué)優(yōu)化模型：

(9)

由于要求式(6)為零,所有各子目標(biāo)函數(shù)權(quán)重系數(shù)相等,為計(jì)算簡便,故取ωi=1。

3　連續(xù)蟻群算法

蟻群算法是一個(gè)求解離散問題的數(shù)學(xué)模型[7]。而目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化是一個(gè)連續(xù)域的優(yōu)化問題,因此需要一種適用于連續(xù)域內(nèi)的蟻群算法。一種簡單的方式是在目標(biāo)函數(shù)可行域打網(wǎng)格，將連續(xù)空間離散化，再使用蟻群算法進(jìn)行求解[8]，該方法存在求解精度不高，搜索空間大等缺點(diǎn)。Dero等[9]提出了一種適用于連續(xù)域內(nèi)的蟻群算法,該方法采用信息素的傳遞以及直接交流兩種方式結(jié)合來指導(dǎo)蟻群的尋優(yōu);文獻(xiàn)[10-12]也提出了幾種適用于連續(xù)域內(nèi)的蟻群算法。在前人的基礎(chǔ)上，本文提出一種較為簡單的連續(xù)蟻群算法。

該連續(xù)蟻群算法的基本思路如下：

首先根據(jù)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的空間運(yùn)動(dòng)范圍設(shè)定機(jī)構(gòu)各自由度取值范圍:αl<α<αu,βl<β<βu,zl

(1)在各變量的可行域αl<α<αu，βl<β<βu,zl

(2)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)確定信息素的大小，信息素的表達(dá)式為

τ=-f(α,β,z)

(10)

其增減性與目標(biāo)函數(shù)相反，本文求目標(biāo)函數(shù)最小值,即信息素的最大值。因?yàn)閒(α,β,z)正向無限趨近0時(shí),其信息素值負(fù)向無限趨近于0,從而不便于衡量信息素的濃度,故同時(shí)也用式(11)平均信息素值進(jìn)行衡量：

τmean=mean(-f(α,β,z))

(11)

式中,mean()為取平均值函數(shù)。

(3)由式(10)確定蟻群初始位置時(shí)信息素值的大小，從中記錄最優(yōu)值τbest并計(jì)算平均信息素值τmean的大小。

(4)蟻群轉(zhuǎn)移概率決定了蟻群進(jìn)行全局搜索還是局部搜索，表達(dá)式為

(12)

其中,i表示第i次蟻群移動(dòng)，j表示第j只螞蟻,τi,j表示第i次蟻群移動(dòng)后第j只螞蟻所對(duì)應(yīng)的信息素值。

(6)蟻群移動(dòng)完成一次,對(duì)每只螞蟻的信息素值進(jìn)行更新,如下式所示：

(13)

式中,ρ為信息素殘留系數(shù)。

(7)如此反復(fù)迭代,當(dāng)?shù)螖?shù)n小于規(guī)定最大循環(huán)次數(shù),轉(zhuǎn)至步驟(4),否則跳出循環(huán),輸出最終解。

4　求解機(jī)構(gòu)正解實(shí)例

圖1所示3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)如下:定平臺(tái)半徑Ra=257 mm,動(dòng)平臺(tái)半徑rb=141 mm，機(jī)構(gòu)各自由度運(yùn)動(dòng)范圍為:α,β∈[-20°,20°],z∈[395,695]mm。

本文以求解當(dāng)α= 15°,β=10°,z=495 mm位置時(shí)的正解為例,驗(yàn)證連續(xù)蟻群算法在求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解的有效性。其他位置求解結(jié)果如表1所示。而采用傳統(tǒng)Newton-Raphson法對(duì)該位置求解，結(jié)果如表2所示。

表1　連續(xù)蟻群算法計(jì)算結(jié)果

表2　Newton-Raphson法計(jì)算結(jié)果

由3-RPS逆解求得三條支鏈長度分別為:l1=485.3 mm,l2=553.5 mm,l3=490.3 mm?？傻媚繕?biāo)函f(α,β,z)在空間可行域內(nèi)的值域,如圖3所示。

圖3　目標(biāo)函數(shù)f(α,β,z)的值域

正解問題可以轉(zhuǎn)化為尋找該立方體中的最小值,將蟻群隨機(jī)分布在如圖3所示區(qū)域中，為了觀察方便，將立方體圖剖開，并將顏色淡化，如圖4所示。

圖4　螞蟻初始位置分布圖

采用連續(xù)蟻群算法進(jìn)行計(jì)算,所有螞蟻聚集在目標(biāo)函數(shù)f(α,β,z)的最小值處,不受局部最小值的影響，如圖5、圖6所示。

圖5　螞蟻運(yùn)動(dòng)300次位置分布圖

圖6　螞蟻運(yùn)動(dòng)600次位置分布圖

該算法的收斂速度可從信息素以及平均信息素值的變化看出，如圖7所示。

圖7　最大信息素值和平均信息素值

由以上計(jì)算可得,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)f(α,β,z)取最小值時(shí),α=15.0020°,β=10.0016°,z=495.0071 mm,f(α,β,z)=-2.25×10-4,計(jì)算精度滿足要求。

從以上仿真分析中可以看出,采用Newton-Raphson法計(jì)算的結(jié)果直接受初始值的影響，不同的初始值計(jì)算結(jié)果偏差很大；而采用本文提出的連續(xù)蟻群算法，可以避免初始值對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，得到精確解。

5　結(jié)束語

本文通過將求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解的非線性方程組轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題，采用連續(xù)蟻群算法進(jìn)行求解，避免了初始值的選取對(duì)計(jì)算精度的影響。不需要求解雅可比矩陣及其逆陣，計(jì)算過程簡便快捷。采用全局搜索和局部搜索相結(jié)合的方法，計(jì)算結(jié)果不受局部極小值的影響。該方法適用于求解所有并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解問題，具有良好的通用性。

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(編輯袁興玲)

Forward Kinematics of 3-RPS Parallel Mechanism Based on a Continuous Ant Colony Algorithm

Xie ZhijiangLiang HuanSong Daiping

The State Key Laboratory of Mechanical Transmission,Chongqing University,Chongqing,400030

In order to avoid the drawbacks of traditional numerical methods for solving the problem of parallel mechanism forward kinematics,this paper proposed a method that translated the problem of solving parallel mechanism forward kinematics into objective function optimization problems. The central issue of solving the problem of parallel mechanism forward kinematics was to solve a set of multiple coupled nonlinear equations,thus objective function optimization model of parallel mechanism forward kinematics was established,and a kind of simple continuous ant colony algorithm was put forward to solve the above optimization model.Taking the 3-RPS parallel mechanism for example,some simulation analyses were completed.The results show that the algorithm has a good global optimization function and can avoid initial values and the local minimum effect on the calculation results without calculating Jacobian matrix and its inverse matrix.The accuracy of calculation meets the requirements of parallel mechanism of forward kinematics.

parallel mechanism;forward kinematics;ant colony algorithm;multi-objective optimization

2014-03-10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51105392);重慶市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(cstc2011jjA70006);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(CDJRC10110005)

TP391.9；TH112DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.06.017

謝志江,男,1963年生。重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械創(chuàng)新設(shè)計(jì)。梁歡,男,1988年生。重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室碩士研究生。宋代平，男，1979年生。重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。