梁延德　孫捷夫　何福本　魯亞恒

大連理工大學(xué),大連,116024

組合式螺旋槳重心誤差評(píng)價(jià)與修正

梁延德孫捷夫何福本魯亞恒

大連理工大學(xué),大連,116024

由于槳葉在成形加工過程中受制造精度、材料缺陷及裝配誤差等非設(shè)計(jì)因素的影響，導(dǎo)致組合式螺旋槳的實(shí)際重心位置與理論設(shè)計(jì)重心位置不一致，對其力學(xué)性能會(huì)產(chǎn)生不良影響，因此需要對相關(guān)槳葉進(jìn)行重心誤差評(píng)價(jià)和去重處理以修正重心誤差。提出了重心最小包容球和重心公差球的概念和算法，并以此為依據(jù)判斷槳葉是否需要進(jìn)行重心修正。同時(shí)根據(jù)重心組合原理，分別以修正質(zhì)量最小和槳葉重心離散程度最小為標(biāo)準(zhǔn)，提出了相應(yīng)的修正方案，并利用理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法驗(yàn)證了方案的可行性。

組合式螺旋槳;最小包容球;重心公差球;最小修正質(zhì)量;重心離散程度

0　引言

組合式螺旋槳是由同種規(guī)格的多個(gè)槳葉通過焊接或鉚接的方式組裝而成的螺旋槳整體。槳葉的加工制造過程是先將鑄造好的槳葉毛坯件在普通機(jī)床上進(jìn)行粗加工，然后通過數(shù)控機(jī)床進(jìn)行精加工以及后期人工修整，但在實(shí)際制造過程中,由于存在加工精度以及裝配誤差等非設(shè)計(jì)因素，各個(gè)槳葉的實(shí)際重心在空間中位置并非一致[1],組合后螺旋槳重心偏離槳軸軸線，從而使得螺旋槳在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中產(chǎn)生較大的慣性力，使船舶在運(yùn)行過程中加劇軸系同軸承間的振動(dòng)和摩擦,導(dǎo)致軸系在加工制造過程中產(chǎn)生的內(nèi)部微觀缺陷發(fā)展成宏觀裂紋，造成軸系的燒傷或斷裂，影響螺旋槳使用壽命。因此，在槳葉制造完成后，需要對其重心位置進(jìn)行評(píng)價(jià)和相應(yīng)的重心修正處理，以滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)和工作要求。

目前在槳葉重心評(píng)價(jià)方面的相關(guān)研究成果主要有:戈賁奇等[2]以螺旋槳葉片前端的不平衡質(zhì)量為標(biāo)準(zhǔn),對槳葉重心是否合格進(jìn)行判定;謝偉[3]將傳統(tǒng)的掛重法進(jìn)行改進(jìn)，以螺旋槳靜平衡性能為標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行槳葉重心的評(píng)價(jià)。在實(shí)際工程中,對槳葉重心的修正主要依靠加工量估算和手工反復(fù)打磨，雖然該方法操作簡單、實(shí)施靈活，但加工質(zhì)量難以保證。相關(guān)學(xué)者針對重心修正問題提出了一些改進(jìn)方法：于穎等[4]根據(jù)槳葉曲面加工精度和公差的要求，應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔助工藝方法，求取加工過程中最小修正質(zhì)量；李芳[5]通過圖像處理方法得出槳葉重心位置的偏差值,對槳葉進(jìn)行打磨加工以修正重心；顧毅君等[6]以槳葉螺距誤差最小為目標(biāo)，利用粒子群優(yōu)化算法對螺旋槳加工量進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算；曾艷等[7]針對槳葉毛坯的形狀誤差，利用改進(jìn)的遺傳算法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)加工余量的計(jì)算。但目前尚未提出一種具有完整理論依據(jù)且計(jì)算效率高的重心誤差評(píng)價(jià)和重心修正方法。

本文針對組合式螺旋槳槳葉重心誤差評(píng)價(jià)問題，提出重心最小包容球和重心公差球的概念，判定是否需要對槳葉重心誤差進(jìn)行修正，給出分別以最小修正質(zhì)量和最小槳葉重心離散程度為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的修正方案，最后利用ADAMS對組合式螺旋槳優(yōu)化前后主軸力學(xué)性能進(jìn)行仿真對比，驗(yàn)證該重心評(píng)價(jià)和修正方案的有效性。

1　重心最小包容球

1.1最小閉包球概念

定義n維空間Rn是一個(gè)以c點(diǎn)為中心,以r(r>0)為半徑的球Bcr,可以表示為

Bcr={x∈Rn,‖x-c‖≤r}

(1)

其中,x表示空間Rn中任意一點(diǎn),則‖x-c‖表示空間任意點(diǎn)距中心的Euclidean范數(shù)即距離范數(shù)。

在Rn空間中,設(shè)定其中m個(gè)點(diǎn)的集合為S={P1,P2,…,Pm},那么最小閉包球定義為能夠包含S中所有m個(gè)點(diǎn)且具有最小半徑的空間球[8]。

1.2重心最小包容球表式

對于組合式螺旋槳,每個(gè)槳葉的重心可以看作槳葉重心集合中的一點(diǎn)。理論上組合式螺旋槳各槳葉形狀完全一致，因而各個(gè)槳葉重心完全重合。實(shí)際上由于槳葉在成形加工過程中受制造精度、材料缺陷及裝配誤差等非設(shè)計(jì)因素的影響，組合式螺旋槳的實(shí)際重心位置與理論設(shè)計(jì)重心位置并不一致。

參考最小閉包球的概念可知，有且僅存在一個(gè)球域，半徑最小并能夠包含空間所有的重心點(diǎn),該空間球域即為槳葉重心點(diǎn)的最小包容球。

如果設(shè)組合式螺旋槳由n個(gè)槳葉片組成,定義n個(gè)槳葉的重心坐標(biāo)分別為C1(x1,y1,z1),C2(x2,y2,z2),…,Cn(xn,yn,zn),根據(jù)最小包容球的定義,重心最小包容球可表示為各個(gè)槳葉重心坐標(biāo)的集合C={C1,C2,…,Cn}。

1.3重心最小包容球判定與槳葉最小包容球算法

在提出重心最小包容球概念后，如何確定螺旋槳槳葉的重心最小包容球仍需要詳細(xì)說明,但數(shù)學(xué)上的最小閉包球算法過于復(fù)雜,適用于大規(guī)模數(shù)據(jù)點(diǎn)的處理[9],而組合式螺旋槳一般由3到5個(gè)槳葉組成,因此本文僅針對組合式船槳提出槳葉重心的最小包容球判定準(zhǔn)則與算法。

最小包容球的判定需要滿足以下兩個(gè)準(zhǔn)則：①點(diǎn)集中所有點(diǎn)到最小包容球球心的距離小于等于最小包容球的半徑;②最小包容球邊界上的點(diǎn)所確定的最小包容球等價(jià)于原點(diǎn)集的最小包容球。

由最小包容球判定準(zhǔn)則可知，在邊界點(diǎn)確定的情況之下，如果非邊界點(diǎn)都在邊界點(diǎn)所確定的最小包容球內(nèi)部，則可確定點(diǎn)集的最小包容球即為該邊界點(diǎn)所確定的最小包容球，按照這種思想可以求解出點(diǎn)集的最小包容球。因此，根據(jù)常用組合式螺旋槳的槳葉數(shù)量分別就三葉槳、四葉槳以及五葉槳三種情況進(jìn)行討論。

對于三葉槳,在槳葉空間中其重心連線為三角形，若三角形為銳角，作三角形的外接圓，以該外接圓為中截面作球，該球即為槳葉重心的最小包容球，如圖1a所示；若三角形為鈍角三角形或直角三角形，則以最長邊為直徑作球，該球即為重心最小包容球，如圖1b所示。

(a)銳角三角形重心連線(b)非銳角三角形重心連線圖1　三葉槳槳葉重心的最小包容球

對于四葉槳，在槳葉空間中其重心連線為四面體，作四面體的外接球。若球心在四面體的內(nèi)部，則該外接球?yàn)闃~重心的最小包容球，如圖2a所示；若球心在四面體的外部，則找到距離球心最近的四面體表面，過表面三角形作外接圓，以該外接圓為中截面作球，該球即為槳葉重心的最小包容球，如圖2b所示。

(a)重心在四面體內(nèi)部(b)重心在四面體外部圖2　四葉槳槳葉重心的最小包容球

對于五葉槳，任選三個(gè)槳葉重心作其包容球，其組合數(shù)共有10種，再任選4個(gè)槳葉重心作其包容球，組合數(shù)共有5種。取滿足最小包容球判定原則①且半徑最小的包容球作為五葉槳重心的最小包容球。

為了驗(yàn)證該算法的有效性,引入一組實(shí)際測得的四葉槳槳葉重心數(shù)據(jù)來求其重心最小包容球,如表1所示,經(jīng)計(jì)算可以得到近似球心位置為C0(-47.154 mm,50.31 mm,685.27 mm),半徑R=1.206 mm。

表1　槳葉重心坐標(biāo)和質(zhì)量

2　槳葉重心公差球

2.1重心公差球概念

由上文可知,組合式螺旋槳的各個(gè)槳葉的重心位置存在于重心最小包容球內(nèi)。為了調(diào)整和優(yōu)化螺旋槳的重心位置，需要對相關(guān)槳葉進(jìn)行判定與修正，然而如何對槳葉重心進(jìn)行評(píng)價(jià)仍需要進(jìn)一步研究,因此本文提出槳葉重心公差球的概念。重心公差球是指能夠包容盡可能多槳葉重心點(diǎn)的空間球域,其半徑為在滿足性能需求時(shí)的最大半徑。

2.2槳葉重心評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

基于最小包容球和重心公差球的概念，可以將判定槳葉是否需要進(jìn)行重心修正的準(zhǔn)則描述為：當(dāng)槳葉重心公差球半徑大于或等于最小包容球半徑時(shí)，槳葉合格，不需要對槳葉進(jìn)行去重處理；當(dāng)重心公差球半徑小于最小包容球半徑時(shí)，需要對螺旋槳槳葉進(jìn)行修正,并且重心在重心公差球外的槳葉為需要重心修正的槳葉。

2.3重心公差球的確定

重心公差球的半徑為滿足性能需求時(shí)的最大半徑。在本問題中,半徑為0.1 mm。因此確定槳葉重心公差球的過程主要是確定其球心位置。具體操作步驟如下:

(1)確定基準(zhǔn)槳葉?？紤]到槳葉材料強(qiáng)度、水動(dòng)力學(xué)性能等因素,槳葉的修正位置選擇為靠近葉梢的上半部分,因此以重心位置最低的槳葉作為修正基準(zhǔn)槳葉,即不對此槳葉進(jìn)行修正處理,將其槳葉重心位置標(biāo)記為Cb(xb,yb,zb)。該槳葉重心點(diǎn)在重心公差球的內(nèi)部。

(2)確定初始球心。以Cb(xb,yb,zb)為球心,以半徑r作空間球，則該球的描述方程為

(x-xb)2+(y-yb)2+(z-zb)2=r2

(2)

如圖3所示,過球心Cb沿著z軸正方向與球外表面的交點(diǎn)作為重心公差球的初始球心,記為Cq(xq,yq,zq)。

圖3　重心公差球球心算法示意圖

(3)確定重心公差球。考慮修正的槳葉越少,越節(jié)省資源，因此首先以需要修正槳葉數(shù)量最少的球?yàn)橹匦墓钋?。若存在多個(gè)球表明需要修正的槳葉的數(shù)量相同，則再以需要的修正質(zhì)量之和最小的球作為最優(yōu)重心公差球。為方便計(jì)算，將重心公差球球心以球坐標(biāo)系形式表示。同時(shí)給出點(diǎn)(xq,yq,zq)的球坐標(biāo)表達(dá)公式:

(3)

其中,α∈[-π/2,π/2]和β∈[0,2π]為設(shè)計(jì)變量,定義其初始值為α=π/2和β=0,考慮到計(jì)算機(jī)計(jì)算成本，設(shè)定-π/20為α的增量步長,π/20為β的增量步長,參考表1的數(shù)據(jù),利用MATLAB編程,可以求得最優(yōu)重心公差球的球心坐標(biāo)為Cq(-46.75 mm,49.88 mm,684.43 mm)。

計(jì)算的最小包容球和重心公差球如圖4所示,C0為最小包容球球心,Cq為重心公差球球心,4個(gè)槳葉的重心坐標(biāo)分別為C1、C2、C3和C4。由于重心公差球半徑小于最小包容球半徑,且槳葉重心C2不在重心公差球內(nèi)，因此需要對C2所在的螺旋槳槳葉進(jìn)行重量去除加工以修正重心。

圖4　最小包容球和重心公差球

3　重心修正

3.1槳葉重心修正位置的確定

在確定需要進(jìn)行重心修正的槳葉后,要確定槳葉的修正區(qū)域，要求在該區(qū)域進(jìn)行重心修正后,可以使槳葉重心移動(dòng)到重心公差球內(nèi)，滿足使用要求。由于修正之后的槳葉重心滿足重心組合原理，即修正后槳葉的重心和槳葉上修正點(diǎn)合成的位置點(diǎn)為修正之前的槳葉重心。因此，由幾何知識(shí)可知，過不合格槳葉重心A，作重心公差球的外切圓錐，該圓錐的反向延長與槳葉的交線所圍成的區(qū)域即為槳葉的修正區(qū)域。過重心公差球之中的點(diǎn)B，向不合格槳葉重心方向作映射線，與槳葉表面的交點(diǎn)C即為對應(yīng)的修正位置,如圖5所示。

圖5　修正位置確定示意圖

3.2去除質(zhì)量最小修正方案

在修正區(qū)域進(jìn)行質(zhì)量去除加工，可以使該槳葉重心移動(dòng)到重心公差球內(nèi)，滿足設(shè)計(jì)要求?？紤]螺旋槳水動(dòng)力性能因素，槳葉在修正加工之后，表面形狀相應(yīng)發(fā)生改變，修正質(zhì)量越大，槳葉表面形狀改變越大，對水動(dòng)力性能影響越大，修正質(zhì)量應(yīng)該盡可能小，因此提出以最小修正質(zhì)量為標(biāo)準(zhǔn)，確定槳葉上最優(yōu)修正位置及修正質(zhì)量。

設(shè)修正點(diǎn)到不合格槳葉重心的距離L1,不合格槳葉重心與重心公差球上對應(yīng)點(diǎn)的距離L2,重心修正前不合格槳葉的質(zhì)量為q,修正質(zhì)量為Δq,根據(jù)重心組合原理,可知:

(q-Δq)L2=ΔqL1

(4)

求解式(4)可得：

(5)

令a=L1/L2,根據(jù)式(5),可以求出在修正區(qū)域各點(diǎn)的修正質(zhì)量,當(dāng)修正質(zhì)量Δq最小,即a取得最大值時(shí),修正區(qū)域上對應(yīng)的點(diǎn)為最優(yōu)修正點(diǎn)。

3.3重心離散程度最小修正方案

在同一坐標(biāo)系中,各槳葉的重心點(diǎn)離散程度越小，即可認(rèn)為槳葉相似程度越高，則組裝之后的螺旋槳在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的力學(xué)性能越好。因此不合格槳葉修正后的重心應(yīng)該是在重心公差球內(nèi)使所有槳葉重心離散程度最小的點(diǎn)。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常用描述數(shù)據(jù)離散程度的度量值有極差(全距)、平均絕對偏差和方差等，但極差容易受到數(shù)據(jù)極端值的影響，平均絕對偏差在數(shù)學(xué)處理上不方便，而方差不僅可以反映數(shù)據(jù)的離散程度又便于數(shù)學(xué)上的處理，因此選用方差評(píng)價(jià)各槳葉重心的離散程度。

設(shè)組合式螺旋槳由N個(gè)槳葉組成,當(dāng)存在一個(gè)不合格槳葉時(shí)，設(shè)合格槳葉的重心坐標(biāo)Ci(xi,yi,zi),i=1,2,…,N-1,不合格槳葉經(jīng)過重心修正后的重心坐標(biāo)為Ck(xk,yk,zk),則經(jīng)過修正后的不合格槳葉的重心坐標(biāo)到其他重心點(diǎn)坐的距離方差可表示為

(6)

式(6)是關(guān)于xk、yk、zk的二次曲線,圖形開口向上。其中，所有槳葉重心坐標(biāo)的平均值為

(7)

當(dāng)不合格槳葉重心修正后的重心坐標(biāo)等于其他合格槳葉重心坐標(biāo)的平均值時(shí),方差取最小值,此時(shí)組合式螺旋槳的槳葉重心點(diǎn)離散程度最小,即

(8)

由于各種非設(shè)計(jì)因素的存在,組合式螺旋槳的各個(gè)槳葉的實(shí)際重量并不完全相同，因此在計(jì)算槳葉平均重心位置時(shí)需要考慮各個(gè)槳葉的重量wi,進(jìn)行加權(quán)平均值的計(jì)算,加權(quán)平均值的算法為

(9)

基于上述推導(dǎo)可知,當(dāng)不合格槳葉經(jīng)過重心修正后,重心位于合格槳葉重心的加權(quán)平均值時(shí),方差最小,各槳葉重心離散程度最小,此時(shí)該點(diǎn)為最優(yōu)重心點(diǎn)。

將表1中各槳葉重心坐標(biāo)和質(zhì)量代入式(9)可計(jì)算出不合格槳葉的最優(yōu)重心點(diǎn)坐標(biāo)為(-47.01 mm,50.94 mm,685.5 mm)。

4　仿真驗(yàn)證

4.1理論分析

在進(jìn)行槳葉重心修正之前,由于不合格槳葉重心存在較大偏差,在安裝之后,螺旋槳的重心不在槳軸中心線上,螺旋槳在繞槳軸中心線旋轉(zhuǎn)過程中，合格槳葉產(chǎn)生的離心力合力大小為F1,不合格槳葉產(chǎn)生的離心力合力大小為F2，它們之間存在一個(gè)夾角αo,因而槳軸會(huì)產(chǎn)生一個(gè)偏心力,大小為FD,如圖6所示,FD的表達(dá)式為

(10)

E處和F處軸承會(huì)分別給槳軸提供相應(yīng)的支承力,其大小分別為FE和FF,設(shè)EF段長l1,DE段長l2,則由力學(xué)平衡可知：

(11)

圖6　槳軸受剪力和彎矩圖

E處所受彎矩大小為

ME=FDl2

(12)

由圖6可以看出,槳軸的危險(xiǎn)截面即在支承E處,因此對E截面進(jìn)行力學(xué)分析與仿真,由式(9)可知,當(dāng)不合格槳葉重心修正之后,各槳葉重心坐標(biāo)更加接近,轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的離心力F1與F2大小趨于相等,夾角αo趨于180°,相應(yīng)偏心力FD減小,進(jìn)而截面E處受到剪力和彎矩均減小,螺旋槳力學(xué)性能得到改善。

4.2力學(xué)仿真驗(yàn)證

在動(dòng)力學(xué)分析軟件ADAMS的仿真環(huán)境中,剛體在受力情況下無法產(chǎn)生彈性變形[10],而實(shí)際工作情況中,槳軸的形變會(huì)引起質(zhì)量分布的改變,槳軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和柔性槳軸的變形是相耦合的,因此,傳統(tǒng)的剛體動(dòng)力學(xué)分析無法滿足要求,為了模擬實(shí)際工作情況，利用ADAMS中Flex模塊實(shí)現(xiàn)螺旋槳的剛?cè)狁詈戏抡娣治?。仿真中采用轉(zhuǎn)速為120r/min,額定轉(zhuǎn)矩為1.95×105N·m的永磁同步電機(jī)定轉(zhuǎn)速驅(qū)動(dòng),并設(shè)置仿真時(shí)間為30s,步長為3000。

螺旋槳工作過程中,槳軸自由端變形最大,因此對其D處的徑向位移變化情況進(jìn)行仿真分析,如圖7a所示;根據(jù)理論分析可知，槳軸的危險(xiǎn)截面在后支承E處,因此以該截面作為仿真對象,對比螺旋槳重心修正前后受到剪力和彎矩變化情況,如圖7b和圖7c所示。

(a)位移變化曲線

(b)剪力變化曲線

(c)彎矩變化曲線圖7　重心修正前后槳軸力學(xué)性能變化曲線

由圖7可知,位移曲線、受力曲線和彎矩曲線在剛啟動(dòng)時(shí)有較大的波動(dòng)，是因?yàn)榉抡嬷惺┘佣ㄞD(zhuǎn)速驅(qū)動(dòng)，軟件在仿真開始時(shí)需要設(shè)定系統(tǒng)初值，隨著時(shí)間的增長各曲線逐漸收斂，各曲線在穩(wěn)定后仍有小幅度的波動(dòng),這是由柔性體在工作過程中的振顫引起的,與實(shí)際情況相符,仿真結(jié)果如表2所示。

由表2可知,經(jīng)過兩種方案進(jìn)行重心修正后槳軸危險(xiǎn)截面處受力和力矩有較大的減小， 自由端振動(dòng)情況也有不同程度的改善，其中重心離散程度最小方案效果更為明顯，危險(xiǎn)截面處受剪力相對修正前減小了68.45%,所受彎矩減少了57.69%,延長了螺旋槳的使用壽命；自由端徑向位移相對修正前減少了63.10%,改善了螺旋槳的動(dòng)平衡性能，減少了振動(dòng)和噪聲。

表2　重心修正前后仿真結(jié)果

5　結(jié)論

(1)針對船槳槳葉重心誤差評(píng)價(jià)問題,提出重心的最小包容球和重心公差球的概念，并給出具體算法，為槳葉重心評(píng)價(jià)提供可靠的理論依據(jù)。

(2)根據(jù)重心組合原理，給出了修正區(qū)域的確定方法，并分別以最小修正質(zhì)量和最小槳葉重心離散程度為標(biāo)準(zhǔn)提出最優(yōu)修正方案。

(3)對修正前后螺旋槳主軸的力學(xué)性能進(jìn)行分析，仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果相符。

(4)結(jié)果表明螺旋槳在重心評(píng)價(jià)和兩種重心修正方案優(yōu)化后，力學(xué)性能較修正前有不同程度的改善，有效地減小了重心偏差對螺旋槳的影響，其中修正質(zhì)量最小方案修正后的槳葉表面形狀改變較小，進(jìn)而對螺旋槳水動(dòng)力性能影響較小；以最小離散程度方案修正后的螺旋槳的力學(xué)性能改善效果更明顯。所提出的重心評(píng)價(jià)和修正方法也為類似的多槳葉組合槳的重心改善問題提供可靠的參考依據(jù)。

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(編輯袁興玲)

Barycenter Error Evaluation and Correction for Modular Marine Propeller

Liang YandeSun JiefuHe FubenLu Yaheng

Dalian University of Technology,Dalian,116024

In the process of blade manufacturing,there existed the influences of manufacturing precision,material defects,assembling errors and other non-design factors,which caused the difference between actual position and theoretical position of modular marine propeller barycenters.There would have adverse effects on its mechanical properties.Hence,it was necessary to evaluate the barycenters and remove the weights so as to correct the barycenter position errors of relevant blades.The concepts and the algorithms of minimum containing ball and removal processing ball were proposed,which could be applied to determine whether the blade needed to be re-processed.Meanwhile,regarding the barycenter combination,two weight correction solutions were also proposed based on the principles of the minimum amount of correction weight and the minimum dispersion degree of barycenter respectively.In the end,the feasibility of strategy was evaluated by applying theoretical analysis and simulation experiments.

modular marine propeller;minimum containing ball;removal processing ball;minimum correction weight;degree of barycenter dispersion

2014-04-02

TH161DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.06.009

梁延德,男,1953年生。大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。研究方向?yàn)橄冗M(jìn)制造技術(shù),精密加工。孫捷夫,男,1991年生。大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。何福本,男,1984年生。大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。魯亞恒,男,1991年生。大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。