樊敏黃勇李海濤王宏郝萬宏陳少伍

（1中國科學(xué)院上海天文臺，上海 200030）（2北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京 100094）

月面著陸器與巡視器同波束差分時延相對定位算法

樊敏1，2黃勇1李海濤2王宏2郝萬宏2陳少伍2

（1中國科學(xué)院上海天文臺，上海 200030）（2北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京 100094）

針對月球著陸巡視探測活動中的月面著陸器與巡視器的相對定位問題，建立了月面雙目標(biāo)相對運動方程和狀態(tài)方程，給出了同波束差分時延測量量關(guān)于雙目標(biāo)相對位置的測量方程，進(jìn)而實現(xiàn)了基于統(tǒng)計估計方法解算雙目標(biāo)相對位置的算法。結(jié)合嫦娥三號探測器跟蹤測量條件，利用該算法開展仿真分析。結(jié)果表明：在測量弧段達(dá)到5 min以上、同波束干涉測量（SBI）時延僅有1 ns隨機(jī)誤差的情況下，相對定位精度可達(dá)20 m；測量數(shù)據(jù)存在3 ns系統(tǒng)誤差時，相對定位精度為200 m，此時如果增加甚長基線干涉測量（VLBI）時延數(shù)據(jù)，可將相對定位精度提高到150 m。利用嫦娥三號實測數(shù)據(jù)處理結(jié)果驗證了此算法的正確性和仿真分析的有效性，可為合理制定月面雙目標(biāo)相對定位策略提供參考。

月面探測；統(tǒng)計估計方法；相對運動方程；同波束干涉測量模型；甚長基線干涉測量

1 引言

2013年12月14日，我國嫦娥三號探測器首次實施了月球軟著陸并開展月面巡視探測。嫦娥三號探測器包含著陸器和巡視器，其中，著陸器在月面軟著陸后固定不動，巡視器與著陸器分離后進(jìn)行巡視、勘察和采樣分析工作［1］。利用地基測量數(shù)據(jù)確定著陸器和巡視器在月面的精確位置，向探測器系統(tǒng)和科學(xué)應(yīng)用系統(tǒng)提供高精度的地理位置信息，以保證準(zhǔn)確開展巡視勘察活動，是嫦娥三號任務(wù)的一項關(guān)鍵技術(shù)，同時也可為地外天體巡視中經(jīng)典的視覺導(dǎo)航技術(shù)提供參考和輔助驗證。我國喀什、佳木斯深空站和甚長基線干涉測量（VLBI）分系統(tǒng)的4個臺站對嫦娥三號探測器進(jìn)行跟蹤測量。其中，對于著陸器，深空站可以進(jìn)行測距、測速，VLBI分系統(tǒng)的臺站可以進(jìn)行雙差分單向測距（ΔDOR），由此測定著陸器的位置，通過連續(xù)跟蹤測量，利用統(tǒng)計方法還可逐步改進(jìn)著陸器月面位置信息，實現(xiàn)著陸器高精度定位。但是，考慮質(zhì)量、功耗和科學(xué)目標(biāo)等因素，巡視器上配置的X頻段測控數(shù)傳設(shè)備不具有利用地面站進(jìn)行測距和ΔDOR測量的能力，因此無法直接測定巡視器的月面位置。不過，嫦娥三號巡視器僅在著陸器附近區(qū)域（相距不超過10 km）進(jìn)行勘察，由于地月距離遙遠(yuǎn)，雙目標(biāo)相距較近的特點使得它們相對地面站的角距離非常近，可以在地面天線的同一波束內(nèi)對雙目標(biāo)進(jìn)行跟蹤測量。利用兩副地面站天線對雙目標(biāo)同時進(jìn)行測量，可以生成高精度的同波束干涉測量（SBI）數(shù)據(jù)，在美國阿波羅-16、17飛船月球探測任務(wù)中，就成功地運用SBI技術(shù)確定了月球車相對登月艙的運動軌跡［2］。因此，利用SBI數(shù)據(jù)是實現(xiàn)著陸器和巡視器相對定位的一種手段，須要進(jìn)一步研究和實現(xiàn)具體的月面雙目標(biāo)相對定位。

傳統(tǒng)的單點定位算法利用單歷元時刻的多個測量數(shù)據(jù)進(jìn)行定位解算，定位精度主要取決于測量系統(tǒng)的幾何構(gòu)型和測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差。由于月面目標(biāo)距離地球遙遠(yuǎn)，利用地基測量系統(tǒng)對其跟蹤測量的幾何構(gòu)型較差，而且地基測量數(shù)據(jù)通常有形式復(fù)雜的系統(tǒng)誤差，因此，根據(jù)現(xiàn)有測量條件和數(shù)據(jù)精度，利用單點定位算法進(jìn)行月面目標(biāo)定位的精度僅能達(dá)到數(shù)百米量級。為了提高定位精度，可以將長弧段的測量數(shù)據(jù)歸算到同一定位時刻，再進(jìn)行統(tǒng)計平差，但歸算過程無法考慮目標(biāo)運動規(guī)律，從而又引入了額外誤差［3］。針對這些問題，本文首先建立了雙目標(biāo)的相對運動方程和SBI差分時延測量方程；然后利用統(tǒng)計估計方法，建立解算雙目標(biāo)相對位置的算法并加以實現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)嫦娥三號著陸器與巡視器的實際跟蹤測量條件進(jìn)行仿真，并對嫦娥三號探測器獲取的實測數(shù)據(jù)應(yīng)用此算法進(jìn)行相對定位，驗證了算法的正確性和有效性。

2 算法原理

利用統(tǒng)計估計方法對月面雙目標(biāo)進(jìn)行相對定位，主要借鑒航天器精密定軌的理論［4-5］，包括以下3個方面內(nèi)容。

2.1 相對運動方程和狀態(tài)方程

考慮到著陸器在月面著陸后，巡視器行進(jìn)到指定探測點開展就位探測期間，兩器在月心固連坐標(biāo)系中均靜止不動，建立的相對運動方程為

式中:Δr為著陸器位置矢量r1和巡視器位置矢量r2之差，即相對位置矢量，可用直角坐標(biāo)表示，也可用月球地理坐標(biāo)表示；Δr0為相對位置矢量初始值；為著陸器與巡視器相對速度矢量。

考慮相對位置、速度信息以外的其他待估參數(shù)Pg，例如，影響運動狀態(tài)的物理參數(shù)、地面站坐標(biāo)的幾何參數(shù)和測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差等，定義狀態(tài)矢量X的坐標(biāo)為由此可得狀態(tài)方程為

式中:狀態(tài)矢量初值X0的坐標(biāo)為［Δr00 Pg0］，其中，Δr0可取標(biāo)稱值或根據(jù)巡視器遙測數(shù)據(jù)計算，Pg0可取理論設(shè)計值或經(jīng)驗值。

2.2 SBI測量模型和測量方程

SBI測量原理如圖1所示，當(dāng)著陸器與巡視器在角度上非常接近時，可在一副地面天線的同一主波束內(nèi)被觀測，使用兩副天線同時對其進(jìn)行觀測，即可生成差分干涉測量量［6］。由于SBI的測量量能夠精確確定兩個目標(biāo)在天平面內(nèi)的相對位置信息，因此可用于相對定位［7］。

假設(shè)著陸器（記為SC1）發(fā)射信號的時刻為t1，地面站A、B接收到著陸器信號的時刻分別為t和t2。將t時刻A站接收到著陸器t1時刻發(fā)射信號的光行時記為著陸器到A站和B站的幾何時延記為則著陸器t1時刻發(fā)射的信號到達(dá)B站的時刻那么，可以將信號從著陸器到B站的光行時記為同時，假設(shè)在太陽系質(zhì)心慣性參考坐標(biāo)系中，t時刻著陸器與巡視器（記為SC2）的位置矢量分別為RSC1和RSC2，A站和B站的位置矢量分別為RA和RB，著陸器t1時刻發(fā)射信號到A站和B站的光行時（c表示光速）可以表示為

著陸器t1時刻發(fā)射信號到達(dá)A站和B站的幾何時延可以表示為

同理可得，巡視器t3時刻發(fā)射的信號到達(dá)兩站的幾何時延可以表示為

因此，A站和B站對著陸器與巡視器的SBI差分時延測量模型可表示為

式中:ΔR為著陸器與巡視器在太陽系質(zhì)心慣性參考坐標(biāo)系中的相對位置矢量。

圖1 著陸器與巡視器同波束干涉測量原理Fig.1 SBI measurement principle of lander and rover

可見，SBI差分時延測量量包含雙目標(biāo)相對位置信息，通過固定著陸器位置，利用該測量量可以解算相對位置。

由于測量模型是在太陽系質(zhì)心慣性參考坐標(biāo)系中建立的，相應(yīng)的坐標(biāo)時為太陽系質(zhì)心動力學(xué)時（TDB），在進(jìn)行光行時解算的時候，要計算著陸器和巡視器在太陽系質(zhì)心慣性參考坐標(biāo)系中的相對位置，而且要考慮各大天體引力時延等相對論影響。由于著陸器與巡視器相對狀態(tài)方程是在月心固連坐標(biāo)系中建立的，而且最終的待估參數(shù)為雙目標(biāo)在月心固連坐標(biāo)系中的相對位置，因此須要考慮月心固連坐標(biāo)系到太陽系質(zhì)心慣性參考坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。該轉(zhuǎn)換過程涉及到的時間系統(tǒng)包括:地面站采用的協(xié)調(diào)世界時（UTC）、原子時（TAI）、地球時（TT）和TDB［8］。涉及到的坐標(biāo)系如表1所示。

表1 相對運動方程和測量方程涉及的坐標(biāo)系Table 1 Coordinate systems used in relative movement equation and measurement equation

此外，月心固連坐標(biāo)系包括主軸（Principal Axes）和平軸（Mean Rotation Axes）坐標(biāo)系兩種［9］。其中，月球歷表給出的月球天平動參數(shù)和月球重力場采用的是主軸坐標(biāo)系，而國際天文聯(lián)合會（IAU）定義的平軸坐標(biāo)系主要用于描述月面地形和特征。目前，主軸坐標(biāo)系和平軸坐標(biāo)系的差異在月面小于1 km，可以根據(jù)不同的JPL DE/LE系列歷表給出的轉(zhuǎn)換參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。對于本文采用的DE 421歷表［10］，轉(zhuǎn)換關(guān)系為

式中:P和M分別為主軸坐標(biāo)系和平軸坐標(biāo)系中點位置的坐標(biāo)矢量；Ra（a代表x，y，z）表示繞坐標(biāo)軸a的旋轉(zhuǎn)矩陣。

基于SBI差分時延的測量模型和上述時間坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以建立對著陸器與巡視器進(jìn)行連續(xù)SBI測量的測量方程。將測量值與狀態(tài)矢量X之間的函數(shù)關(guān)系記為G（X，t），考慮測量噪聲，則測量方程為

式中:Yi為ti時刻的測量量；Xi為ti時刻的狀態(tài)矢量；εi為ti時刻的測量噪聲。

測量模型中的函數(shù)關(guān)系是非線性的，須要對其線性化。將測量方程在參考狀態(tài)X*（ti）處展開，令

式中:Φ（ti，t0）為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，由于著陸器與巡視器在月心固連坐標(biāo)系中相對靜止，該矩陣為單位矩陣；矩陣Hi中包含雙目標(biāo)相對位置矢量從月心固連坐標(biāo)系到太陽系質(zhì)心慣性參考坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣及偏導(dǎo)數(shù)。

記χ0=X0—X*0，則線性化后的測量方程為

令y=［y1…yk］T，H=［H1…Hk］T，ε=［ε1…εk］T，其中k為測量量的個數(shù)，于是可將所有的測量方程總寫為

2.3 統(tǒng)計估計方法

建立測量方程后，需要解決的問題是如何確定上述線性系統(tǒng)的最優(yōu)估計。通常求解這類問題的直接方法是加權(quán)最小二乘批處理算法。根據(jù)加權(quán)最小二乘估計理論，如果已知待估計參數(shù)χ0的先驗估計和先驗估計的加權(quán)矩陣，則批處理算法解算的χ0的“最佳”估值為

式中:W為權(quán)矩陣。

至此，完成了基于月面目標(biāo)運動規(guī)律的統(tǒng)計估計相對定位算法，實現(xiàn)了對著陸器與巡視器相對位置的解算。對于嫦娥三號著陸器，考慮到其著陸后可以利用較長弧段的深空站測距、測速，以及三向測量和VLBI分系統(tǒng)ΔDOR干涉測量數(shù)據(jù)，解算出高精度的月心固連坐標(biāo)系位置信息，因此可增加對著陸器位置的先驗約束來解算著陸器與巡視器的相對位置。同時，還可以考慮利用目前高精度的月面數(shù)字高程模型（DEM）提供高程信息，如美國的ULCN2005模型［11］和我國自主研制的DEM模型［12-13］等，增加相對位置中的高程約束來解算雙目標(biāo)的相對位置。

3 仿真分析與驗證

利用FORTRAN程序?qū)崿F(xiàn)了上述雙目標(biāo)定位算法。根據(jù)嫦娥三號著陸器與巡視器的跟蹤測量條件，在完成兩器分離后，著陸器定向天線向地面發(fā)射數(shù)傳信號，而巡視器在開展就位探測期間（每次約20 min），其測控數(shù)傳設(shè)備也將發(fā)射數(shù)傳信號，地面站可以利用這些單向數(shù)傳信號對雙目標(biāo)進(jìn)行SBI干涉測量，以及對單目標(biāo)進(jìn)行VLBI干涉測量和單向測速?？紤]數(shù)傳信號的設(shè)計形式和實現(xiàn)方式，目前對雙目標(biāo)的SBI干涉測量時延精度為1 ns，對單目標(biāo)的VLBI干涉測量時延精度為1 ns，對單向測速精度為5 cm/s。針對上述實際情況，仿真生成了在一個跟蹤弧段內(nèi)上海、北京、昆明、烏魯木齊4臺站的SBI和VLBI干涉測量時延數(shù)據(jù)，以及喀什、佳木斯深空站的測速數(shù)據(jù)，具體仿真條件如表2所示。在此基礎(chǔ)上，利用本文算法對雙目標(biāo)相對定位精度進(jìn)行仿真分析。

表2 仿真分析條件Table 2 Simulation analysis terms

3.1 利用SBI數(shù)據(jù)相對定位

根據(jù)SBI差分時延的測量模型式（6）可知，SBI差分時延數(shù)據(jù)除包含雙目標(biāo)相對位置信息外，還包含著陸器本身的位置信息，因此，僅利用SBI差分時延數(shù)據(jù)進(jìn)行相對定位時，要增加對著陸器位置的先驗約束來解算著陸器與巡視器的相對位置。表3和表4給出了不同測量弧段和不同解算策略下的仿真計算結(jié)果。其中，以著陸器著陸點為坐標(biāo)原點的北東地坐標(biāo)系中，X方向為當(dāng)?shù)卣狈较?，Y方向為當(dāng)?shù)卣龞|方向，Z方向與X方向和Y方向構(gòu)成右手系。

表3 利用SBI數(shù)據(jù)進(jìn)行相對定位的仿真分析結(jié)果Table 3 Simulation analysis results of relative position determination using SBI data m

表4 解算高程和固定高程的相對定位仿真誤差橢球比較Table 4 Comparison for error ellipsoid of simulation analysis results of relative position determination between estimated and fixed altitudes

可以看出:

（1）利用高精度月面DEM模型增加高程約束，對提高相對定位精度有重要作用。不考慮SBI數(shù)據(jù)系統(tǒng)誤差的情況下，比較同時解算相對緯度、經(jīng)度和高程的情況與只解算相對緯度、經(jīng)度的情況，著陸器與巡視器的相對定位誤差由百米降至10 m，弧段增加到20 min時，還可達(dá)到米級。此外，通過對解算時迭代次數(shù)的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，解算高程通常要迭代10次以上，而增加高程約束可以有效減少迭代次數(shù)至3～4次，從而提高計算效率。

（2）測量數(shù)據(jù)系統(tǒng)誤差對相對定位精度影響較大。不考慮測量數(shù)據(jù)系統(tǒng)誤差時，測量弧段增加可有效提高相對定位精度，20 min弧段的相對定位精度優(yōu)于10 m。但是，當(dāng)測量數(shù)據(jù)存在系統(tǒng)誤差時，增加數(shù)據(jù)弧段對相對定位精度的進(jìn)一步提高作用不大。測量弧段在5 min以上的情況下，當(dāng)SBI差分時延數(shù)據(jù)系統(tǒng)誤差為2 ns時，相對定位誤差小于130 m；當(dāng)系統(tǒng)誤差為3 ns時，相對定位誤差小于210 m。

綜合考慮上述兩點，在著陸器與巡視器雙目標(biāo)相對定位時，VLBI分系統(tǒng)應(yīng)保證獲取5 min以上的SBI數(shù)據(jù)，并盡可能消除測量系統(tǒng)誤差，在解算相對位置時，考慮DEM模型增加高程約束，以提高著陸器與巡視器的相對定位精度。

3.2 利用VLBI和SBI數(shù)據(jù)聯(lián)合相對定位

考慮到僅利用SBI數(shù)據(jù)進(jìn)行相對定位時，要增加對著陸器位置的先驗約束以解算著陸器與巡視器的相對位置，而實際上，地面站在對雙目標(biāo)進(jìn)行SBI測量的同時可以獲取單目標(biāo)的VLBI時延數(shù)據(jù)。因此，可以綜合利用這兩種數(shù)據(jù)進(jìn)行相對定位。表5給出了5 min以上測量弧段、增加高程約束策略下的仿真計算結(jié)果。

表5 利用SBI和VLBI數(shù)據(jù)聯(lián)合相對定位的仿真分析結(jié)果Table 5 Simulation analysis results of relative position determination using SBI and VLBI data m

比較表5與表3可以看出:①在測量數(shù)據(jù)沒有系統(tǒng)誤差時，增加VLBI時延測量數(shù)據(jù)對提高相對定位精度的作用不明顯；②考慮SBI數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差，增加VLBI數(shù)據(jù)可將相對定位誤差由210 m降低到150 m?？紤]到SBI數(shù)據(jù)可能存在系統(tǒng)誤差，因此著陸器與巡視器相對定位時，應(yīng)綜合利用VLBI數(shù)據(jù)來提高相對定位精度。

根據(jù)地面站對著陸器與巡視器的測量條件，VLBI分系統(tǒng)4個臺站在對雙目標(biāo)進(jìn)行SBI測量，以及單目標(biāo)進(jìn)行VLBI測量的同時，深空站可以獲取對單目標(biāo)的單向測速數(shù)據(jù)。為了分析單向測速數(shù)據(jù)對相對定位精度的影響，仿真分析了綜合利用單目標(biāo)測速和VLBI數(shù)據(jù)，以及雙目標(biāo)SBI數(shù)據(jù)進(jìn)行相對定位的誤差，如表6所示。

表6 利用測速和SBI及VLBI數(shù)據(jù)聯(lián)合相對定位的仿真分析結(jié)果Table 6 Simulation analysis results of relative position determination using range rate，SBI and VLBI data m

通過比較表5和表6可見，對于5 min以上測量弧段，采用增加高程約束的相對定位策略，無論是否考慮測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差，加入測速數(shù)據(jù)對相對定位精度的影響在厘米級，遠(yuǎn)小于相對定位本身能夠?qū)崿F(xiàn)的精度。因此，在著陸器與巡視器相對定位時，可以不采用深空站的測速數(shù)據(jù)。

2013年12月14日21:12，嫦娥三號探測器成功實施月面軟著陸，之后著陸器與巡視器分離，測控系統(tǒng)獲取了實測數(shù)據(jù)。通過對2013年12月15—24日獲取的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得SBI數(shù)據(jù)隨機(jī)誤差約為1 ns，系統(tǒng)誤差約為2 ns。根據(jù)本文算法，采用第2.3節(jié)增加高程約束的策略，利用實測數(shù)據(jù)進(jìn)行相對定位，以精度達(dá)到厘米級的視覺導(dǎo)航系統(tǒng)二維相對定位結(jié)果為評估基準(zhǔn)進(jìn)行分析，結(jié)果如圖2所示。從初步分析的10個弧段的相對定位結(jié)果來看，最大偏差約為156 m，最小偏差約為53 m，與表3中仿真分析的結(jié)果基本吻合，驗證了本文算法的正確性和仿真分析結(jié)果的有效性。

圖2 嫦娥三號著陸器與巡視器實測數(shù)據(jù)相對定位精度Fig.2 Precision of relative position determination using measurement data of Chang'e-3 lander and rover

4 結(jié)束語

本文提出的月面著陸器與巡視器相對定位算法，源于經(jīng)典的航天器動力學(xué)統(tǒng)計定軌方法，根據(jù)月球的平動和轉(zhuǎn)動模型建立雙目標(biāo)在空間的運動模型，不必考慮復(fù)雜的空間飛行動力學(xué)建模問題，運動模型的精度僅取決于月球物理天平動參數(shù)和月面地理參數(shù)的精度，而目前國際通用的月球歷表和地理參數(shù)精度已達(dá)到厘米級，因此完全滿足相對定位需求。同時，該算法不同于常規(guī)的幾何定位歸算算法，可以利用雙目標(biāo)相對運動方程精確計算任意時刻的測量值，從而提高解算精度。利用此算法對嫦娥三號探測器實測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析，相對定位結(jié)果與仿真結(jié)果一致，表明算法正確、有效。利用本文算法對著陸器與巡視器實際測量條件開展仿真分析，可以為合理、有效地制定月面雙目標(biāo)相對定位策略提供參考，后續(xù)也可以進(jìn)一步用于著陸地外天體的兩探測器之間的相對定位。

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The paper is written in a good language, the logic is clear and the subject and results are discussed graphically and meaningfully.

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（編輯：夏光）

Algorithm of Relative Positioning for Lander and Rover on Lunar Surface Using Differential Time-delay of SBI

FAN Min1，2HUANG Yong1LI Haitao2WANG Hong2HAO Wanhong2CHEN Shaowu2
（1 Shanghai Astronomical Observatory，Chinese Academy of Sciences，Shanghai 200030，China）
（2 Beijing Institute of Tracking and Telecommunications Technology，Beijing 100094，China）

For relative positioning of the lander and the rover in lunar soft landing and surface reconnaissance exploration，an algorithm is presented that can be used in relative positioning for two objects based on the statistical estimation method by establishing the relative kinematic equation，state equation and the measurement model of SBI（same beam interferometry）.A simulation of this algorithm is carried out based on emulational measurement data of Chang'e-3 TT&C system.The result shows that the relative positioning error can be 20m when stochastic noise of SBI delay data is 1ns and tracking arc is longer than 5min.Moreover，if there is a bias of 3ns in SBI delay data，the relative positioning error increases to 200m，which can be declined to 150m by adding VLBI delay data.The validity of the algorithm and the effectiveness of the simulation are proved by the analysis of Chang'e-3 measurement data.The algorithm can support effectively determining a strategy of relative positioning of two objects on lunar surface.

exploration on lunar surface；statistical estimation method；equation of relative movement；model of same beam interferometry；very long baseline interferometry

V556

A DOI：10.3969/j.issn.1673-8748.2015.02.003

2014-04-23；

2014-08-13

國家自然科學(xué)基金（11473056，11403076）

樊敏，女，工程師，研究方向為航天測控、軌道動力學(xué)。Email：fanmin@bittt.cn。