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彈簧中的圖像問題探討

2015-10-27 12:16畢澤
物理教學探討 2015年9期
關(guān)鍵詞:分離彈簧圖像

畢澤

摘 ? 要:彈簧模型是高中物理中最常考的物理模型之一,由于彈簧彈力是變力,學生往往對彈力大小和方向的變化過程缺乏清晰認識,不能建立與之相關(guān)的物理模型并進行分類,導致解題思路不清、錯誤率較高。彈簧和圖像組合起來的題目難度比較大,學生們往往無從下手,因此針對彈簧中的圖像問題本文列舉了一些典型例題進行探討。

關(guān)鍵詞:彈簧;圖像;臨界;分離

中圖分類號:G633.7 文獻標識碼:A ? ?文章編號:1003-6148(2015)9-0036-5

題型1:F-x圖

例1 ?如圖1,光滑斜面的底端固定一垂直于斜面的擋板,質(zhì)量相同的A、B兩物體由輕彈簧連接,放在斜面上,最初處于靜止狀態(tài)。現(xiàn)用一平行于斜面的力F拉B物體沿斜面向上做勻加速直線運動,以B物體的初始位置為坐標原點、沿斜面向上建立Ox坐標軸,在物體A離開擋板之前(彈簧一直處于彈性限度內(nèi)),外力F和擋板對A物體的支持力N隨B物體的位置坐標x的變化關(guān)系圖線正確的是( ? ? )

A ? ? ? ? ? ? ? ? B ? ? ? ? ? ? ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? D

分析 ?設(shè)剛開始彈簧的壓縮量為x0,即為kx0=mgsinθ。

對于物體B:當彈簧壓縮時,

F+k(x0-x)-mgsinθ=ma,

即為F=ma+kx。

當彈簧拉伸時,

F-k(x-x0)-mgsinθ=ma,

即為F=ma+kx。

對于物體A:當彈簧壓縮時,

N=mgsinθ+k(x0-x),

即為:N=2mgsinθ-kx。

當彈簧拉伸時,N+k(x-x0)=mgsinθ,

即為:N=2mgsinθ-kx。

綜上分析:答案為選項A、D。

點評 ?解決圖像類問題首先應(yīng)看清楚題目中的橫、縱坐標分別代表什么物理量,其次對物體進行受力分析,最后分別對應(yīng)過程列方程進行求解。該題目從物體B開始運動到物體A離開擋板,彈簧經(jīng)歷了先壓縮后拉伸兩個過程,因此要對這兩個過程分別列方程進行求解,結(jié)果發(fā)現(xiàn)F和N的規(guī)律在這兩個過程中都是一樣的。

例2 ?如圖2(a)所示,輕質(zhì)彈簧的下端固定在水平面上,上端放置一小物體(物體與彈簧不連接),初始時物體處于靜止狀態(tài)?,F(xiàn)用豎直向上的拉力F作用在物體上,使物體開始向上做勻加速直線運動,拉力F與物體位移x的關(guān)系如圖2(b)所示(g=10 m/s2),則下列結(jié)論正確的是( ? ? )

A.物體與彈簧分離時,彈簧處于壓縮狀態(tài)

B.物體的質(zhì)量為3 kg

C.物體的加速度大小為5 m/s2

D.彈簧的勁度系數(shù)為7. 5 N/cm

分析 ?從圖像中可以看出當x=4 cm,拉力由變力變?yōu)楹懔?,即小物體只受到拉力F和重力作用,此點就是物體脫離彈簧的臨界狀態(tài),即為彈簧的原長,A選項錯誤。脫離時:30-mg=ma(1),拉力剛作用在物體上時:10=ma(2) ,兩式聯(lián)立可得:m=2 kg,a=5 m/s2,B選項錯誤,C選項正確。拉力沒施加前,彈簧處于壓縮狀態(tài),壓縮量為x=4 cm,mg=kx可得k=5 N/cm,D選項錯誤。綜上分析:答案為C。

點評 此題的突破口在于找到x=4 cm時拉力由變力變?yōu)楹懔Γ葱∥矬w脫離彈簧的臨界狀態(tài)。

題型2:F-θ圖

例 ?如圖3所示,在水平板左端有一固定擋板,擋板上連接一輕質(zhì)彈簧,緊貼彈簧放一質(zhì)量為m的滑塊,此時彈簧處于自然長度。已知滑塊與板間滑動摩擦因數(shù)μ=,可認為最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。現(xiàn)將板的右端緩慢抬起使板與水平面間的夾角為θ,最后直到板豎直。此過程中彈簧彈力的大小F隨夾角θ的變化規(guī)律可能是下圖中的( ? ? )

A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B

C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D

分析 ?設(shè)板與水平面的夾角為θ,滑塊相對于板剛要滑動,則mgsinθ=μmgcosθ,得tanθ=μ即θ=,因此θ在0~范圍內(nèi),彈簧處于原長彈力F=0,當板與水平面的夾角大于時,滑塊相對板緩慢滑動,由平衡條件得F=mgsinθ-μmgcosθ=sin(θ-),說明F與θ成正弦形式的關(guān)系,當θ=,F(xiàn)=mg,因此C答案正確。

點評 ?此題的突破口在于隨著θ的增加,物體剛要發(fā)生滑動的臨界狀態(tài)為:mgsinθ=μmgcosθ,得tanθ=μ,在這之前F=0,之后滑塊相對板緩慢滑動,列出平衡條件既可解決此題。

題型3:v-t圖

例 ?如圖4(a)所示,一輕質(zhì)彈簧的下端固定在水平面上,上端疊放兩個質(zhì)量均為M的物體A、B(B物體與彈簧連接),彈簧的勁度系數(shù)為k,初始時物體處于靜止狀態(tài)?,F(xiàn)用豎直向上的拉力F作用在物體A上,使物體A開始向上做加速度為a的勻加速運動,測得兩個物體的v-t圖像如圖4(b)所示(重力加速度為g),則( ? ? )

A.施加外力前,彈簧的形變量為 2Mg/k

B.外力施加的瞬間,AB間的彈力大小為M(g-a)

C.AB在t1時刻分離,此時彈簧彈力恰好為零

D.彈簧恢復(fù)到原長時,物體B的速度達到最大值

a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b

分析 ?施加外力前:2Mg=kx0即x0=2Mg/k,即A答案正確,對AB整體法:F=2Ma(1),隔離A:F-Mg+FBA=Ma (2) 由(1)(2)聯(lián)立可得FBA=M(g-a)即B答案正確。AB脫離的臨界條件是vA=vB,aA=aB,從圖中可以看出t1時刻AB脫離,此時對于B,kx-Mg=Ma,可見彈簧仍處于壓縮狀態(tài),因此C答案錯誤。此后由于彈力大于重力,B做加速度越來越小的加速運動,當滿足彈力等于重力時(圖中t2),速度達到最大。t2后重力大于彈力,根據(jù)公式Mg-kx=Ma 隨著壓縮量x的減小,物體做加速度越來越大的減速運動,因此彈簧恢復(fù)到原長時速度不是最大值。綜上分析:答案為A、B選項。

點評 ?此題的突破口在于AB脫離的臨界條件是vA=vB,aA=aB,即為圖中的t1時刻,此時物體B有向上的加速度,彈簧仍處于壓縮狀態(tài)。

題型4: v-x圖

例 ?如圖5所示,一根輕彈簧豎直放在水平地面上,一個物塊從高處自由下落到彈簧上端O,當彈簧被壓縮x0時物塊的速度變?yōu)榱?。從物塊與彈簧接觸開始,物塊的速率v隨下降的位移x的變化情況與下面四個圖像中比較一致的是( ? ?)

A ? ? ? ? ? ? ? ? B ? ? ? ? ? ? ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? D

分析 ?設(shè)剛接觸彈簧為A點,彈力等于重力的點為B,最低點為C。

物塊和彈簧接觸后的下落運動是先做加速度減小的加速運動(AB段),然后做加速度增大的減速運動(BC段),物塊在B點獲得最大速度。物塊從A運動到C,根據(jù)簡諧運動的對稱性可知,AB

點評:此題突破口在于物塊接觸彈簧到運動到最低點經(jīng)歷先加速后減速的過程,此過程可以看作簡諧運動,再根據(jù)簡諧運動的對稱性就可以解決。

題型5:a-x圖

例 ?如題型4例題情形,一根輕彈簧豎直直立在水平面上,下端固定。在彈簧正上方有一個物塊從高處自由下落到彈簧上端O,將彈簧壓縮。當彈簧被壓縮了x0時,物塊的速度減小到零。從物塊和彈簧接觸開始到物塊速度減小到零過程中,物塊的加速度大小a隨下降位移大小x變化的圖像,可能是圖6中的( ? ? )

A ? ? ? ? ? ? ? B ? ? ? ? ? ? ? ? ? C ? ? ? ? ? ? D

分析 ?設(shè)剛接觸彈簧為A點,彈力等于重力的點為B,最低點為C,分析彈簧壓縮的各個過程圖如圖7:

A—B:mg>kx,mg-kx=ma下,

可得:a上=g-x, B點:a=0 。

B—C:mg

可得:a上=x-g。物體從A運動到C,根據(jù)

簡諧運動對稱性可知,AB

點評 ?物體接觸彈簧到運動到最低點經(jīng)歷先加速后減速的過程,因此對這兩個過程分別求出加速度的表達式,再根據(jù)簡諧運動的對稱性就可以解決。

題型6:a-t圖

例 ?一水平彈簧振子做簡諧運動,它的加速度a隨時間t變化的圖線為正弦曲線,如圖8所示。下列說法正確的是( )

A.在0到0.5 s內(nèi),彈簧振子做加速運動

B.在t1=0.25 s和t2=0.75 s時,彈簧振子相對平衡位置的位移相等

C.在t2=0.75 s和t3=1.25 s時,彈簧振子的速度大小相等,方向相反

D.在0到1 s內(nèi),t=0.5 s時刻彈簧振子回復(fù)力的功率最大

分析:振子在0到0.5 s間,加速度明顯增加在遠離平衡位置,即在做減速運動,A選項錯誤。很容易看出B選項正確。t2=0.5 s到t3=1.5 s間物體速度從0先增大后減小到0,根據(jù)簡諧運動對稱性t2=0.75 s和t3=1.25 s時速度大小相等,方向相同,因此C選項錯誤。功率P=Fv,t=0.5 s時雖然F最大但是v=0,可見P=0,因此D選項錯誤。綜合分析:答案為B選項。

點評 ?解決此題的關(guān)鍵是題中的已知條件:水平彈簧振子做簡諧運動,只要知道振子在做簡諧運動,此題的突破口就找到了。

題型7:EK–x圖

本題探究的是EK–h,可以看作是EK–x圖。

例 ?如圖9所示,豎直光滑桿固定不動,套在桿上的彈簧下端固定,將套在桿上的滑塊向下壓縮彈簧至離地高度h=0.1 m處,滑塊與彈簧不拴接?,F(xiàn)由靜止釋放滑塊,通過傳感器測量到滑塊的速度和離地高度h并作出滑塊的Ek-h圖像,其中高度從0.2 m上升到0.35 m范圍內(nèi)圖像為直線,其余部分為曲線,以地面為零勢能面,取g=10 m/s2,由圖像可知( ? ?)

A.小滑塊的質(zhì)量為0.1 kg

B.輕彈簧原長為0.2 m

C.彈簧的最大彈性勢能為0.5 J

D.小滑塊的重力勢能與彈簧的彈性勢能總和最小為0.4 J

分析 ?在EK-h圖像中,圖線的斜率表示滑塊所受的合外力,由于高度從0.2 m上升到0.35 m范圍內(nèi)圖像為直線,其余部分為曲線,說明滑塊從0.2 m處上升到0.35 m所受作用力為恒力??梢?.2 m,滑塊與彈簧分離,故B選項正確。從0.2 m處上升到0.35 m,圖線的斜率絕對值為:k=mg=2 N,所以m=0.2 kg,故A選項錯誤。 根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化與守恒可知,當滑塊上升至最大高度時,增加的重力勢能即為彈簧最大彈性勢能,所以Epm=mg△h=0.2×10×(0.35-0.1)=0.5 J,故C選項正確。在滑塊整個運動過程中,系統(tǒng)的動能、重力勢能和彈性勢能之間相互轉(zhuǎn)化,因此動能最大時,滑塊的重力勢能與彈簧的彈性勢能總和最小,系統(tǒng)總的機械能為:E總=E彈max+mgh=0.7 J,滑塊的動能最大為0.32 J,因此小滑塊的重力勢能與彈簧的彈性勢能總和最小為0.38 J,因此D選項錯誤。綜上分析:答案為B、C選項。

點評 ?此題的突破口在于:高度0.2 m~0.35 m的圖像為直線,EK-h圖中圖線的斜率表示滑塊所受的合外力,根據(jù)0.2 m~0.35 m這段的斜率就可以求出質(zhì)量。0.2 m處滑塊脫離彈簧,因此彈簧處于原長。這兩點找到了,此題就容易突破了。

題型8:混合型圖

例1 ?如圖10所示,一根輕彈簧左端固定,右端系一物塊,物塊置于摩擦不能忽略的水平面上?,F(xiàn)將彈簧壓縮到A點后釋放,物塊運動到B點時速度變?yōu)榱?,O為彈簧處于自然長度時的位置,AB距離為x0。物塊從A到B的過程中,彈簧彈力的大小F、物塊加速度的大小a、物塊速度的大小v、物塊和彈簧組成的系統(tǒng)機械能E隨物塊的位移x變化的圖像可能是( ? ? )

A ? ? ? ? ? ? ? ? B ? ? ? ? ? ? ? ?C ? ? ? ? ?   ? ?D

分析 ?若沒有摩擦力,根據(jù)簡諧運動對稱性,則AO=OB,摩擦力存在,系統(tǒng)有能量損失,可得:AO>OB,因此A選項錯誤。設(shè)AO之間有一點C,此處f=kx,容易證明物體從A運動到B是以C點為平衡位置的簡諧運動,即AC=CB=,根據(jù)簡諧運動對稱性可知B選項錯誤。設(shè)AO的長度為L,A到O:由能量守恒得kL2=k(L-x)2+μmgx+mv2,可見v與x不是成正比關(guān)系,C選項錯誤。A到B:機械能的減少量轉(zhuǎn)化為摩擦生熱,E0=E+μmgx,即E=-μmgx+E0,可知斜率絕對值為摩擦力,即D選項正確。

點評 ?此題的突破口是物體從A運動到B是以C點為平衡位置的簡諧運動,即AC=CB=。抓住這點再根據(jù)簡諧運動的對稱性就可以解決此題。

例2 ? 如圖11所示,水平面絕緣且光滑,一絕緣的輕彈簧左端固定,右端有一帶正電荷的小球,小球與彈簧不相連,空間存在著水平向左的勻強電場,帶電小球在電場力和彈簧彈力的作用下靜止,現(xiàn)保持電場強度的大小不變,突然將電場反向,若將此時作為計時起點,則下列描述速度與時間、加速度與位移之間變化關(guān)系的圖像正確的是( ? )

A ? ? ? ? ? ? ? ? B ? ? ? ? ? ? ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? D

分析 ?電場反向后:qE+kx=ma,

即a=x+,

隨著x的減小,物體在做加速度越來越小的加速運動,當物體運動到彈簧原長時x=0,a=,此后做勻加速直線運動,因此A、C選項正確。

點評 ?此題的突破口在于物體在彈簧原長時脫離,脫離時物體受到的合外力為F=qE,此后保持不變。

綜上所述:針對彈簧中的圖像問題,要能分析有關(guān)圖像所表達的物理意義,抓住圖像的斜率、截距、交點、臨界點等幾個要點,常常就可以方便、簡明、快捷地解決此類問題。

參考文獻:

[1]路天明.對一道雙平衡位置振動問題的討論[J].物理通報,2011(10):92.

[2]高正球.高考中彈簧類問題分析[J].物理教學探討,2008,26(11):5—6.

[3]葉正勇.談彈簧的彈力與彈性勢能[J].物理教師,2015,36(1):56—59.

[4]熊翠華.利用彈簧的特點解決疑難問題[J].中學物理,2013,31(12):82—83.

(欄目編輯 ?羅琬華)

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