王金洋，曹繼華

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)電子工程學(xué)院，天津300222）

相位復(fù)原算法比較分析

王金洋，曹繼華

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)電子工程學(xué)院，天津300222）

相位復(fù)原算法分為迭代法和強度傳輸方程法，本文對迭代法中的GS算法和HIO算法以及強度傳輸方程法進行了分析對比。針對3種相位復(fù)原算法基本原理，分別通過實驗比較了3種算法在初始值為0和隨機數(shù)情況下的收斂速度和復(fù)原精度，證明GS算法和強度傳輸方程法在初始值為0時有更好的復(fù)原效果，HIO算法在初始值為隨機數(shù)時有更好的復(fù)原效果。通過3種相位復(fù)原算法在初始值為隨機數(shù)的實驗比較，證明HIO算法比GS算法和強度傳輸方程法有更好的復(fù)原效果和復(fù)原精度。

GS算法；HIO算法；相位復(fù)原；強度傳輸方程法

研究表明，相位是波的一種內(nèi)在特性，波的振幅中包括1/4左右的信息，大約3/4的信息則在相位中。相位信息中通常攜帶關(guān)于物體結(jié)構(gòu)的重要信息，但目前的探測器只能接收到物體在某種射線照射下的衍射光數(shù)據(jù)，因而會導(dǎo)致物體相位信息丟失。這些丟失的相位信息在一些物理應(yīng)用中具有十分重要的作用，因此相位復(fù)原成為國際研究工作者關(guān)注的重點。研究人員最初的想法是利用全息技術(shù)隨幅度信息的測量捕捉相位信息，但裝置的實現(xiàn)很困難，所以僅使用測量的強度信息獲得相位信息引起了更多的關(guān)注。研究人員提出了許多方案，并不斷進行改進。1972年，Gerehberg和Saxton［1］提出了GS相位復(fù)原算法，該算法是第一種被廣泛接受的相位復(fù)原算法。GS相位復(fù)原算法奠定了數(shù)值相位復(fù)原衍射迭代的基本模式，成為相位復(fù)原數(shù)值領(lǐng)域的經(jīng)典算法。其基本思路是將波前交替在物面及成像面上來回傳播，并分別施加其振幅所滿足的約束，逐步收斂于實際復(fù)振幅。然而，GS算法在實際應(yīng)用中存在一些缺點，如迭代次數(shù)過多、收斂性不好、依賴雙強度測量等，限制了其在實際中的應(yīng)用。針對GS算法存在的不足，研究人員提出了改進方案。其中，F(xiàn)ienup［2-4］提出的混合輸入輸出算法（hybrid input-output，HIO），在迭代過程中引入了支撐域約束，使HIO算法具有較好的收斂性能，在針對實值非負物體的相位復(fù)原中有廣泛應(yīng)用。本文主要分析了GS算法、HIO算法和強度傳輸方程法［5-6］在求解相位復(fù)原問題中的基本原理和步驟，通過實驗分析初始相位對復(fù)原結(jié)果的影響，比較3種相位復(fù)原算法最終的復(fù)原效果。

1　GS相位復(fù)原算法

1.1GS相位復(fù)原算法的基本原理

GS算法可以描述為gk表示第k次迭代時，用各個gm，k對f的聯(lián)合估計，即

GS算法步驟如下：

（a）初始化k=0，θm，k為初始相位估計。

重復(fù)步驟（b）～（f），直到退出條件。退出條件可以是迭代次數(shù)的限制，也可以是式（7）中的目標函數(shù)達到某一特定值。

根據(jù)GS相位復(fù)原算法的基本原理可以得到GS相位復(fù)原算法流程圖，如圖1所示。

圖1　GS算法流程圖

1.2GS算法實驗

實驗中選取了不同的初始相位，算法初始相位為0迭代產(chǎn)生的圖像如圖2所示，算法初始相位為隨機數(shù)迭代產(chǎn)生的圖像如圖3所示。

圖2　GS算法初始相位為0迭代產(chǎn)生的圖像

圖3　GS算法初始相位為隨機數(shù)迭代產(chǎn)生的圖像

從圖2和圖3分別對應(yīng)的6個分圖可以看出GS算法在初始相位為0和隨機數(shù)時的變化過程。GS算法不同初始相位的比較如圖4所示。通過圖4可以看出，GS算法在初始相位為隨機數(shù)時有更好精確度，并且收斂速度更快。

圖4　GS算法不同初始相位的比較

2　HIO算法

2.1HIO算法的基本原理與流程

混合輸入輸出算法（HIO）不同于GS算法，它僅在目標域內(nèi)進行計算。HIO算法的3個步驟與GS算法相似，即：①g（x）進行傅里葉變換；②滿足傅里葉變換域內(nèi)投影的條件；③進行傅里葉逆變換得g′（x）。由于混合輸入輸出算法在GS算法的基礎(chǔ)上加入了一個投影的過程，使輸入的g（x）不需滿足對象域的限制并且輸出始終能滿足該傅里葉域約束，這樣可以更方便地產(chǎn)生下一個輸入，使算法快速收斂并得出結(jié)果。HIO算法的迭代過程可概括如下：

式中：gn、gn+1分別是這一次與下一次迭代圖像。投影算符P（gn）可以作如下描述：先對gn取傅里葉變換，變換后的結(jié)果設(shè)為m，保持相位不變并將振幅修改為測量值；然后求取傅里葉逆變換，抑制系數(shù)β＜1，一般可取0.9。算法從初始值開始，經(jīng)不斷的交替投影迭代。終止條件可以設(shè)定為迭代次數(shù)的限制，也可以達到指定的精度。

HIO算法的流程與GS算法相似，不同之處在于GS算法的幅值替換時加入了一個投影過程，限制了幅度的變化方向，使其僅在目標域內(nèi)進行計算，HIO算法流程如圖5所示。

圖5　HIO算法流程圖

2.2HIO算法實驗

實驗中選取了不同的初始相位，算法初始相位為0迭代產(chǎn)生的圖像如圖6所示，算法初始相位為隨機數(shù)迭代產(chǎn)生的圖像如圖7所示。

圖6　HIO算法初始相位為0迭代產(chǎn)生的圖像

通過圖6和圖7分別對應(yīng)的6個分圖可看出HIO算法在初始相位為0和隨機數(shù)時的變化過程。HIO算法不同初始相位的比較圖如圖8所示，通過圖8可以看出，HIO算法在初始相位為0時具有更好的精確度，并且收斂速度更快。

圖7　HIO算法初始相位為隨機數(shù)迭代產(chǎn)生的圖像

圖8　HIO算法不同初始相位的比較

3　強度傳輸方程法解相位復(fù)原問題

3.1強度傳輸方程法的基本原理

解決相位復(fù)原問題，還可以利用強度傳輸方程法列出一個線性矩陣方程組并求解。假設(shè)使用y和測量矩陣A=［a1，a2，…，am］，A∈Cn×m為測量矩陣，ai是A的第i列；y為測量的幅度值，矩陣方程為：

假設(shè)x*為復(fù)原后的圖像，即帶有相位的圖像，則相位復(fù)原問題轉(zhuǎn)化為利用測量的幅度值y和測量矩陣A復(fù)原x*的問題。假設(shè)C*為ATx真實相位，求解的問題就簡化為解決一個線性系統(tǒng)的等式：

由于不知道C*，復(fù)原x*的變?yōu)榍蠼饩仃嚪匠蹋?/p>

求解矩陣方程采用牛頓最速方向下降法，即交替更新x和C*，最終求解出符合精度要求的x*。

3.2強度傳輸方程法實驗

實驗中初始相位的取值為0或隨機數(shù)，選取為離散余弦變換（DCT）。方程法初始相位為0迭代產(chǎn)生的圖像如圖9所示，初始相位為隨機數(shù)的方程法迭代產(chǎn)生的圖像如圖10所示。

圖9　強度傳輸方程法初始相位為0迭代產(chǎn)生的圖像

圖10　強度傳輸方程法初始相位為隨機數(shù)的迭代產(chǎn)生的圖像

通過圖9和圖10可以看出強度傳輸方程法在初始相位為0和隨機數(shù)時的變化過程。強度傳輸方程法不同初始相位的比較如圖11所示。通過圖11的比較可以看出，強度傳輸方程法在初始相位為0時有更好的精確度，并且收斂速度更快。

圖11　強度傳輸方程法不同初始相位的比較

3.3相位復(fù)原算法的比較實驗

為比較GS算法、HIO算法和強度傳輸方程法的相位復(fù)原效果，在實驗中初始相位均選取為隨機數(shù)，迭代次數(shù)為1 000次。3種算法的比較結(jié)果如圖12所示。通過圖12可以明顯看出，HIO算法有更快的收斂速度及收斂精度，強度傳輸方程法的結(jié)果與GS算法的結(jié)果接近。

圖12　GS算法、HIO算法和強度傳輸方程法的比較

4　結(jié)束語

本文對GS算法、HIO算法和強度傳輸方程法這3種相位復(fù)原算法進行了對比分析。通過對3種算法在初始值為0和隨機數(shù)時的收斂速度和復(fù)原精度進行比較，得出了GS算法和強度傳輸方程法在初始值為0時有具更好復(fù)原效果，HIO算法在初始值為隨機數(shù)時具有更好復(fù)原效果。同時比較了3種相位復(fù)原算法在初始值為隨機數(shù)的復(fù)原效果，對比結(jié)果表明：HIO算法優(yōu)于GS算法和強度傳輸方程法。

［1］GERCHBERG R W，SAXTON W O.A practical algorithm for the determination of phase from image and diffraction plane pictures［J］.Optik，1972，35（2）：237-250.

［2］FIENUP J R.Phase-retrieval algorithms for a complicated optical system［J］.Applied Optics，1993，32（10）：1737-1746.

［3］FIENUP J R.Phase retrieval algorithms：A comparison［J］. Applied Optics，1982，21（15）：2758-2769.

［4］FIENUP J R，WACKERMAN C.Phase retrieval stagnation problems and solutions［J］.OpticalSocietyofAmerica，1986，3（11）：1879-1907.

［5］PRANEETH N，PRATEEK J，SUJAY S.Phase retrieval using alternating minimization［C］//27th Annual Conference on Neural Information Processing Systems 2013.Nevada：Neural Information Processing Systems，2013：2796-2801.

［6］MUKHERJEE S，SEELAMANTULA C.An iterative algorithm for phase retrieval with sparsity constraints：Application to frequency domain optical coherence tomography［C］// Acoustic，Speech and Signal Process（ICASSP），2012 IEEE International Conference on IEEE.Kyoto：IEEE，2012：553-556.

Comparison of phase retrieval algorithm

WANG Jin-yang，CAO Ji-hua
（School of Electronic Engineering，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

The phase retrieval algorithm is divided into the iterative method and the intensity transmission equation method. This paper introduces GS algorithm and HIO algorithm in the iterative method and the intensity transmission equation method.For the basic principles of the three phases retrieval algorithm，the convergence speed and accuracy of the three algorithms are compared through experiments in the case of an initial recovery value of zero or random matrix.It is proved that GS algorithm and intensity transmission equation method have a better recovery effect when the zero matrix，HIO algorithm has a better effect in the initial recovery value when the random matrix.The comparison of three phase retrieval algorithm，proved that HIO algorithm has better effect recovery and retrieval precision than GS algorithm and intensity transmission equation.

GS algoricthm；HIO algorithm；phase retrieval algorithm；intensity transmission equation

TP301.6

A

2095－0926（2015）04－0036－04

2015-09-11

國家自然科學(xué)基金資助項目（61271412）.

王金洋（1990—），男，碩士研究生；曹繼華（1964—），男，教授，博士，研究方向為盲信號處理、壓縮感知.