梁小文，趙小山，武凱莉

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津300222）

基于自適應(yīng)反演滑?？刂频纳咸镎褡酉到y(tǒng)混沌控制

梁小文，趙小山，武凱莉

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津300222）

針對(duì)不確定混沌系統(tǒng)的控制問題，提出一種自適應(yīng)反演滑模控制的方法。分析了上田振子系統(tǒng)模型的混沌動(dòng)力學(xué)行為，采用自適應(yīng)反演滑模控制器對(duì)此混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制。自適應(yīng)控制方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)不確定性上界的估計(jì)，從而增強(qiáng)控制系統(tǒng)的魯棒性和自適應(yīng)性。仿真結(jié)果驗(yàn)證了此方法的有效性。

混沌系統(tǒng)；反演滑?？刂?；自適應(yīng)律；魯棒性

混沌是指確定性動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為對(duì)系統(tǒng)初始狀態(tài)異常敏感，卻又不發(fā)散，而且無法精確重復(fù)的現(xiàn)象，它是非線性系統(tǒng)普遍具有的一種復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，被認(rèn)為是20世紀(jì)最重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。由于混沌的長(zhǎng)時(shí)間不可預(yù)見性和內(nèi)在的隨機(jī)性，混沌輸出常常不符合人們的要求，因而抑制混沌成為控制混沌的一個(gè)重要任務(wù)［1-2］。在混沌控制的研究中，人們先后提出了諸多混沌控制的方法，如自適應(yīng)控制法［3］、脈沖控制法、延遲控制法、滑模變結(jié)構(gòu)控制法［4-6］、模糊控制法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制法等。近年來，混沌的控制和應(yīng)用研究已經(jīng)在物理學(xué)、力學(xué)、信息、化學(xué)、電子、計(jì)算機(jī)、通訊與信息加密等工程技術(shù)領(lǐng)域取得了可喜的成果，展現(xiàn)出廣闊的發(fā)展前景。反演控制設(shè)計(jì)方法是在非線性控制領(lǐng)域中提出的一種新方法。其基本思想是將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，引入虛擬控制作為中間變量，為每個(gè)子系統(tǒng)確定李雅普諾夫函數(shù)，并設(shè)計(jì)虛擬控制變量，一直“后退”到整個(gè)系統(tǒng)，直到完成整個(gè)控制律的設(shè)計(jì)。反演法在處理系統(tǒng)不確定性，尤其是非匹配不確定性方面具有很大優(yōu)勢(shì)。反演設(shè)計(jì)法通常需要假定非線性系統(tǒng)中的未知參數(shù)具有線性參數(shù)化的形式，并且系統(tǒng)中的非線性函數(shù)必須精確已知，這在實(shí)際中很難得到滿足。為解決這一問題，必須將反演法與其他控制方法相結(jié)合［7-10］。本文以上田振子系統(tǒng)為模型，通過對(duì)其非線性動(dòng)力學(xué)行為的分析，運(yùn)用數(shù)值仿真驗(yàn)證了混沌的特性，并用自適應(yīng)反演滑模方法控制了該系統(tǒng)的混沌，將其控制到目標(biāo)軌道。

1　上田振子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

1.1上田振子混沌系統(tǒng)的模型及其混沌吸引子考慮如下形式的上田振子系統(tǒng)：

式中：m、c和k均為系統(tǒng)的參數(shù)；F0和ω分別為外加周期激勵(lì)信號(hào)的振幅和頻率。?。簃=1、k=1、ω=1、c=1、F0=1，取系統(tǒng)初值（0，0.01）。運(yùn)用Matlab軟件計(jì)算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，得λ1=0.098、λ2=-0.148，其中有一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，說明系統(tǒng)在該組參數(shù)下進(jìn)入了混沌狀態(tài)。

圖1　系統(tǒng)吸引子圖

由圖1可以看出，系統(tǒng)的吸引子有具很強(qiáng)的吸引性及復(fù)雜的折疊和拉伸軌線，這種具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的吸引子被稱為奇怪吸引子，而具有奇怪吸引子的運(yùn)動(dòng)就是混沌的。

1.2龐加萊截面圖

在相空間中，可以適當(dāng)選取一個(gè)截面，這個(gè)截面可以是平面也可以是曲面。根據(jù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的相空間連續(xù)軌跡與龐加萊截面的截點(diǎn)情況，判斷該系統(tǒng)有無混沌運(yùn)動(dòng)，這樣的截面稱為龐加萊截面。當(dāng)龐加萊截面上有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)或少數(shù)離散點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)是周期的；當(dāng)龐加萊截面上是一封閉曲線時(shí)，運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)周期的；當(dāng)龐加萊截面上是一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)便是混沌。系統(tǒng)在上述參數(shù)和初值下的龐加萊截面如圖2所示。由圖2可以看出，截面上所呈現(xiàn)的是一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)。因此，此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是混沌的。

圖2　系統(tǒng)龐加萊截面圖

1.3Lyapunov指數(shù)圖

Lyapunov指數(shù)是指在相空間中，初始條件不同的2條相鄰的軌跡隨時(shí)間按指數(shù)收斂或發(fā)散的比率?；煦缦到y(tǒng)中，初始條件的微小變化將使軌跡最終變得截然不同。系統(tǒng)要產(chǎn)生混沌必須具有正的Lyapunov指數(shù)。系統(tǒng)在上述參數(shù)和初值下t→∞時(shí)的Lyapunov指數(shù)曲線如圖3所示。

圖3　系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)圖

根據(jù)Matlab仿真結(jié)果得出，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)的2個(gè)李雅普諾夫指數(shù)最終都趨于一固定常數(shù)。這2個(gè)常數(shù)分別為λ1=0.098和λ2=-0.148，其中λ1= 0.098為正，則系統(tǒng)產(chǎn)生混沌。

2　上田振子混沌系統(tǒng)反演滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

2.1系統(tǒng)描述

被控系統(tǒng)為：

式中：d（t）為外加干擾；ΔA、ΔB、ΔC和ΔD均為系統(tǒng)參數(shù)不確定部分。

將式（2）寫為：

式中：F為總不確定性，其表達(dá)式為：

在實(shí)際情況下，通常存在未知的不確定因素和外在干擾因素，總不確定性F的上界很難確定。在這種情況下就可以嘗試運(yùn)用自適應(yīng)的控制方法對(duì)F進(jìn)行估計(jì)［5-7］。

2.2自適應(yīng)反演滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)

假設(shè)位置指令為xd，控制器設(shè)計(jì)步驟如下。

（1）跟蹤誤差為z1=x1-xd，則

定義Lyapunov函數(shù)

式中：c1＞0；z2為虛擬控制項(xiàng)。則

式中：k1＞0。

由于k1+c1＞0，如果σ=0、z1=0、z2=0，則。為此，需要進(jìn)行下一步設(shè)計(jì)。

（2）定義Lyapunov函數(shù)

則

（3）假設(shè)參數(shù)不確定的部分和外在的干擾部分變化是緩慢的，取。

定義Lyapunov函數(shù)

設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器為：

式中：h和β為正的常數(shù)。設(shè)計(jì)自適應(yīng)率為：

2.3穩(wěn)定性分析

將式（13）和式（14）代入，得

式中：ZT=［z1z2］。

則如果保證Q為正定矩陣，有

由于

通過取h、c1和k1的值，可使，從而保證Q為正定矩陣，保證。

2.4數(shù)值仿真分析

取F=-2sin（0.1 t）、D=1，位置指令xd=sin t、γ=10、c1=20、k1=20、h=40、β=2，將控制輸入u加入混沌系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果如圖4至圖8所示。

圖4　受控系統(tǒng)位置與速度跟蹤圖

圖5　受控系統(tǒng)位置跟蹤誤差圖

圖6　速度跟蹤誤差圖

圖7　估計(jì)曲線

由圖4可知，添加控制器后，變量x1和x2迅速脫離混沌態(tài)，收斂至預(yù)期的位置與速度，并分別按期望的指令穩(wěn)定運(yùn)行。由圖5和圖6可知，受控系統(tǒng)的位置和速度跟蹤誤差衰減到零，即受控的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖7說明參數(shù)的估計(jì)值是穩(wěn)定的。圖8則為系統(tǒng)被控制到穩(wěn)定的周期-軌道的相圖。

圖8　受控系統(tǒng)相圖

3　結(jié)束語

在系統(tǒng)參數(shù)不確定和外界干擾的情況下，采用自適應(yīng)反演滑模方法對(duì)上田振子混沌系統(tǒng)進(jìn)行了控制；運(yùn)用Matlab數(shù)值仿真，將其控制到目標(biāo)軌道，驗(yàn)證了該控制方法的有效性。

［1］高普云.非線性動(dòng)力學(xué)：分叉、混沌與孤立子［M］.長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，2005.

［2］劉秉正，彭建華.非線性動(dòng)力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［3］梁翠香.基于狀態(tài)反饋和自適應(yīng)方法的混沌控制和反控制［D］.長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)，2011.

［4］劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2005.

［5］DAVID YOUNG K.A control engineer’s guide to sliding mode control［J］.IEEE Transaction on Control System Technology，2004（3）：156-164.

［6］OTT E，GREBOGI C，YORKE J A.Controlling chaos［J］. Physical Review Letters，1990，64（3）：1196-1199.

［7］朱凱，齊乃明，秦昌茂.BTT導(dǎo)彈的自適應(yīng)滑模反演控制設(shè)計(jì)［J］.宇航學(xué)報(bào)，2010，31（3）：769-773.

［8］張?jiān)獫癁槿?，李潁.基于反演的不確定非線性系統(tǒng)自適應(yīng)滑?？刂疲跩］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，39（7）：88-91.

［9］DADRAS S，MOMENI H R.Fractional terminal sliding mode control design for a class of dynamical systems with uncertainty［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17（1）：367-377.

［10］GE S S，WANG C，LEE T H.Adaptive backstepping control of a class of chaotic systems［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2000，10（5）：1149-1156.

Ueda oscillator chaos control based on adaptive backstepping sliding mode control

LIANG Xiao-wen，ZHAO Xiao-shan，WU Kai-li
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

For the control problem of uncertain chaotic system，adaptive backstepping sliding mode controller is presented in this paper.The chaos dynamic behavior of the ueda oscillator is analyzed，the adaptive backstepping sliding mode method is used to control the system.Adaptive controller can realize the estimation of the upper bound of the uncertainty of the system，thus enhancing robustness and adaptability of the control system.The simulation results verify the effectiveness of the proposed controller.

chaos control；backstepping sliding mode control；adaptive rate；robustness

TP13；O231

A

2095－0926（2015）04－0054－04

2015-05-18

國(guó)家自然科技基金資助項(xiàng)目（11302148）.

梁小文（1989—），女，碩士研究生；趙小山（1967—），男，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力系統(tǒng)分析.