王艷琴，吳愛弟

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津300222）

基于曲率驅(qū)動的p-harmonic模型圖像修復(fù)算法

王艷琴，吳愛弟

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津300222）

在p-harmonic模型的基礎(chǔ)上，引入曲率誘導(dǎo)項，提出一種新的圖像修復(fù)模型，建立了與之對應(yīng)的擴(kuò)散方程，利用有限差分法對所建立的擴(kuò)散方程進(jìn)行數(shù)值求解，給出該修補(bǔ)模型的離散格式和具體的算法步驟，得到修復(fù)的圖像。實驗結(jié)果表明：該算法能提高修復(fù)的速度，并且具有較好的修補(bǔ)效果。

圖像修復(fù)；曲率；p-harmonic模型；擴(kuò)散方程；梯度

圖像修復(fù)是指利用已知的圖像信息填充圖像中丟失或破損的區(qū)域。該技術(shù)是近年來國內(nèi)外計算機(jī)視覺領(lǐng)域研究的熱門課題之一，已被廣泛應(yīng)用于文物保護(hù)、影視特技制作、視頻信息的錯誤隱匿等領(lǐng)域中［1-2］。傳統(tǒng)的圖像修復(fù)算法是在像素域進(jìn)行的，主要分為2大類：一類是針對破損區(qū)域較小的圖像，研究者多采用基于高階偏微分方程模型的修補(bǔ)方法［3］；另一類是針對圖像信息丟失較大的圖像，常采用基于紋理結(jié)構(gòu)的圖像修復(fù)技術(shù)［4］。這2類方法都取得了較好的修復(fù)效果。在圖像修復(fù)中，由Bertalmio等［5］首先提出了基于偏微分方程的模型，后來Rudin等［6］將變分法思想引入到圖像修復(fù)中。Chan和Shen等［7］提出了一種基于整體變分（total variation，TV）的修補(bǔ)模型；但是他們發(fā)現(xiàn)TV方法破壞了連通原理，不能滿足人類視覺需要，進(jìn)而引入了曲率項，提出了曲率驅(qū)動擴(kuò)散（curvature driven diffusion，CDD）修補(bǔ)模型［8］。文獻(xiàn)［9］將p-Laplace算子引入圖像修補(bǔ)，建立了模型。受到CDD模型的啟發(fā)，本文將曲率引入p-harmonic模型，得到一個新的基于曲率驅(qū)動的p-harmonic模型，然后利用有限差分法對所建立的擴(kuò)散方程進(jìn)行數(shù)值求解，最后給出該修補(bǔ)模型的離散格式和具體的算法步驟，并進(jìn)行圖像的修復(fù)。

1　基于曲率驅(qū)動的p-harmonic模型的建立

一般在獲取圖像的過程中，難免會受到一些因素的干擾，導(dǎo)致圖像質(zhì)量退化。在圖像修復(fù)過程中，常用的退化模型［10］為：

式中：u0為觀察到的損壞圖像；k為退化函數(shù)；u為原始圖像；n為隨機(jī)噪聲，可以假定它為高斯噪聲；“*”表示卷積。修復(fù)模型如圖1所示。圖1中，Ω表示觀察到的整個圖像，D表示損壞的區(qū)域，ΩD表示未損壞的區(qū)域。

圖1　圖像修補(bǔ)示意圖

在TV模型中，引入了曲率，得到CDD模型［8］，即

此處，g的定義為：

該模型引入曲率使擴(kuò)散系數(shù)由梯度和曲率2個變量控制，這種改變使擴(kuò)散強(qiáng)度在大曲率處變強(qiáng)、小曲率處逐漸變?nèi)?。但是該模型的收斂性差、修?fù)時間長，并且會產(chǎn)生一些不好的視覺效果。

用p-Laplace算子代替TV，得到p-harmonic模型［9］，即

該模型同時向梯度方向和梯度的正交方向擴(kuò)散，擴(kuò)散方向一般由p值（1＜p＜2）來控制，各方向的擴(kuò)散速度由各自的擴(kuò)散系數(shù)控制。該模型修復(fù)速度較快，但其擴(kuò)散系數(shù)只由梯度控制。

受到CDD模型的啟發(fā)，將曲率引入p-harmonic模型，針對待修補(bǔ)圖像是否含有噪聲，提出了2個混合修補(bǔ)模型：

模型1（對不含噪聲圖像）

模型2（對含噪聲圖像）

2　圖像修復(fù)算法

采用半點中心差分的方法進(jìn)行離散化。首先對圖像進(jìn)行等間隔采樣，h為采樣步長，一般取1；設(shè)待修復(fù)點為u（i，j）、（i，j+1）、（i-1，j）、（i，j-1）、（i+1，j），其中后4個點分別為u（i，j）的鄰域點坐標(biāo)，目標(biāo)像素位與它的鄰域如圖2所示。

圖2　目標(biāo)像素位置與它的鄰域

可以看出，在整個運(yùn)算過程中，需要求得半點像素的梯度值和曲率值。研究以）為例，其離散格式如下。

按照上述的離散方法可得到Δ·V的值，進(jìn)而得出混合模型的修復(fù)式為：

在數(shù)值仿真時，一般先確定掩碼圖像，然后確定待修補(bǔ)區(qū)域，具體的修復(fù)算法步驟：①讀入圖像u和掩碼信息uD，確Δ定待修復(fù)區(qū)域；②設(shè)置參數(shù)λ、ε、a、b、p的值；③計算·V；④對于所有的（i，j），代入式（12）進(jìn)行迭代修復(fù)；⑤設(shè)置迭代次數(shù)進(jìn)行迭代；⑥輸出修復(fù)好的圖像，并讀取待修補(bǔ)區(qū)域邊界點的像素大小，與原圖像的對應(yīng)點進(jìn)行比較，計算誤差ε。

3　仿真結(jié)果

式中：f（i，j）和f0（i，j）分別表示原始圖像和修復(fù)好的圖像；N1和N2為圖像的維數(shù)；MSE表示均方誤差值。

本實驗采用Barbara和Lena圖作為測試圖像。Barbara圖有2塊破損區(qū)域，分別在圍巾上和桌子上方；Lena圖的帽子邊緣破損。用p-harmonic方法和本文方法對損壞的無噪聲圖像和有噪聲圖像進(jìn)行修復(fù)，2種方法的修復(fù)結(jié)果比較如圖3和圖4所示，圖像修復(fù)的峰值信噪比如表1所示。

將曲率引入p-harmonic模型，用較少的迭代次數(shù)就能達(dá)到更好的修復(fù)效果，迭代效率高，修復(fù)的效果優(yōu)于p-harmonic算法。在目標(biāo)邊界區(qū)域，選取了邊界區(qū)域上的110個像素點，將修復(fù)好的圖像與原始未損壞的圖像進(jìn)行比較。通過計算，對應(yīng)點的像素大小誤差小于10的像素點有75個，占像素點總數(shù)的70%。可以看出，在目標(biāo)邊界區(qū)修復(fù)也達(dá)到很好的效果。

圖3　圖像修復(fù)結(jié)果比較（無噪聲情形）

圖4　圖像修復(fù)結(jié)果比較（有噪聲情形）

表1　圖像修復(fù)的峰值信噪比

4　結(jié)束語

本文將曲率項引入p-harmonic模型中，得到一種新的擴(kuò)散方程，利用有限差分法對所得到的擴(kuò)散方程進(jìn)行數(shù)值求解，并給出該修補(bǔ)模型的離散格式和具體的算法步驟。利用該算法對破損圖像進(jìn)行修復(fù)，結(jié)果表明：該方法在使用較少迭代次數(shù)的同時，能達(dá)到更好的修復(fù)效果和視覺效果。

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［4］魏欣，蔣華偉.基于紋理和結(jié)構(gòu)的圖像修復(fù)算法研究［J］.計算機(jī)技術(shù)與發(fā)展，2010，20（11）：80-83.

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P-harmonic model of image inpainting algorithm based on curvature driven

WANG Yan-qin，WU Ai-di
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

A new image inpainting algorithm based on p-harmonic model is proposed in this paper by introducing the curvature driven term，corresponding diffusion equation is established，finite difference method is adopted for the established diffusion equation，and the discrete format of the inpainting model and the algorithm of specific steps is given to obtain the inpainted image.Experiment results show that the proposed algorithm can improve the inpainting speed and has better inpainting results.

image inpainting；curvature；p-harmonic model；diffusion equation；gradient

TP391.41

A

2095－0926（2015）04－0018－04

2015-06-25

天津市應(yīng)用基礎(chǔ)及前沿技術(shù)研究計劃項目（12JCYBJC10600）.

王艷琴（1990—），女，碩士研究生；吳愛弟（1963—），男，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為小波分析及圖像處理.