過榴曉 曹棟

摘 要：該文回顧了美國大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主要是微積分課程近60年教學(xué)改革大致主要?dú)v程，從教學(xué)內(nèi)容到習(xí)題形式及數(shù)量等比較了中美大學(xué)基礎(chǔ)課程教材的區(qū)別，探討了雙方大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的理念和形式，美方教學(xué)偏注重“四原則”，多角度及實(shí)用的去描述展現(xiàn)數(shù)學(xué)基本概念，而我們則側(cè)重扎實(shí)的理論推導(dǎo)演繹。通過比較和分析，結(jié)合一貫的傳統(tǒng)嚴(yán)謹(jǐn)嚴(yán)密特點(diǎn)，借鑒國外應(yīng)用性和啟發(fā)性強(qiáng)的特色，發(fā)揮平衡各自所長，摸索一個合適我們特色的大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教改方式與模式。

關(guān)鍵詞：大學(xué)數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)課程 教學(xué)改革 美國

中圖分類號：G51 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）08（c）-0255-02

隨著數(shù)學(xué)本身和計算機(jī)科學(xué)的飛速發(fā)展以及微積分、線性代數(shù)等基礎(chǔ)知識在各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革的必要性和重要性越來越被人們所認(rèn)可，一些教學(xué)改革的活動也被人們所接受，這與國外的情況相一致。雖然中國與美國等國家在政治、經(jīng)濟(jì)、教育和管理體制等許多方面有很大差異，但是在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革方面有相似之處，也有不同之處，該文調(diào)研了美國的一些改革歷程思路和方法，以作為我們大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的借鑒。

1 美國大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)改革

美國大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程改革自上而下、思路清晰。美國的微積分教學(xué)在近60年來經(jīng)歷了巨大的變革，特別是20世紀(jì)80年代后期的“微積分改革”。[1-2]20世紀(jì)80年代開始，美國的一些高校開始研究數(shù)學(xué)課程教學(xué)特別是微積分的教學(xué)形式改革。主要是由于以下原因：（1）信息技術(shù)不斷進(jìn)行創(chuàng)新，并且開始對教學(xué)方面產(chǎn)生一定的影響；（2）很多學(xué)生考試不通過，可能與教學(xué)方法有關(guān)；（3）學(xué)生們提出對數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需求；（4）傳統(tǒng)的教科書（比如經(jīng)典的Thomas《微積分與解析幾何》（Calculus and Analytic Geometry），1st版）偏理論與實(shí)際脫節(jié)，需要重新進(jìn)行選擇；（5）教學(xué)方式方法落后，需要進(jìn)行改進(jìn)和創(chuàng)新；（6）可以縮小授課規(guī)模等。

改革以后的進(jìn)展值得我們借鑒。1985年， 美國舉辦了數(shù)學(xué)會（AMS）年會，并進(jìn)行了特別的研討會。[3]也導(dǎo)致了之后兩次會議的產(chǎn)生：首先，是1986年的Tulane大學(xué)會議，會議主要的議題是“走向精簡活潑的微積分學(xué)”；[4]其次，是1987年的華盛頓會議， 會議的主要內(nèi)容是“新世紀(jì)的微積分學(xué)： 水泵而非濾器”。[5]當(dāng)年，美國國家科學(xué)基金會（NSF）發(fā)起了微積分改革的計劃。計劃的主要內(nèi)容是：改進(jìn)與更新微積分學(xué)的相關(guān)課程，要加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解和運(yùn)用能力，提高學(xué)生分析、解決問題的技巧以及舉一反三的技能。同時，改革后的教學(xué)方式要求減少繁瑣、乏味的計算。NSF給予了這項(xiàng)改革一定的資金支持，同時也促使了數(shù)學(xué)家們對于以前的微積分課程進(jìn)行了嚴(yán)肅的反思。

哈佛微積分聯(lián)盟所編寫的教材非常有創(chuàng)意，其中有很多非常特別的、非常有趣的問題，將著名的“四規(guī)則”也引入其中：“每個概念都可以以圖形、文字、數(shù)值、代數(shù)的方式展現(xiàn)給學(xué)生”。改革的評估體現(xiàn)在Susan L.Ganter所著的《變革中的微積分學(xué)—— 1988—1998年成果及其對國家的影響的評價報告》作了總結(jié)。[6]Ganter的結(jié)論是：大部分大學(xué)數(shù)學(xué)教師覺得之前的微積分教學(xué)方法效率較低，但談及所做的改革是否是正確的方向發(fā)展，卻有著很大爭議。改革的成果激發(fā)了一些數(shù)學(xué)家們對于微積分教學(xué)方式的討論。使得微積分的教學(xué)更加地普及，從而使教師們產(chǎn)生了對高校數(shù)學(xué)教育必要性以及重要性的重新認(rèn)識。

同時，許多理工科的大學(xué)生注意到他們的具體計算能力不如從前了，這可能是教學(xué)改革的原因，當(dāng)然也可能是計算機(jī)普及的結(jié)果。研究結(jié)果表明，與以前的學(xué)生相比，現(xiàn)在的學(xué)生選修了很多的超出學(xué)校規(guī)定的微積分學(xué)的非必修課程，這表明了微積分改革更加激起了學(xué)生對數(shù)學(xué)極大的興趣。88%的調(diào)查報告認(rèn)為，從培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際數(shù)學(xué)素質(zhì)的能力方面說，微積分改革是非常成功的。計算機(jī)可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)微積分，研究結(jié)果顯示，微積分改革后，學(xué)生在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)上不合格的人數(shù)大幅減少。已有的改革成果成為美國數(shù)學(xué)家倡導(dǎo)的微積分教學(xué)方式。不斷的討論也讓美國的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)充滿了生命力。

2 大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教材比較

美國高校的常用教材是Thomas《微積分》（現(xiàn)第10版）以及James Stewart《微積分》多個版本，，被稱作“經(jīng)典版本”。[7-8]Stewart所著的《微積分學(xué)》《微積分學(xué)：概念與內(nèi)容》是目前暢銷的教材，而改革的教材正在反過來逐漸傳統(tǒng)化。

一般而言，美國高校所使用的微積分教材具有圖文并茂和突出重點(diǎn)的特點(diǎn)，從內(nèi)容上看，講解細(xì)致，解釋清楚，而且有含有背景知識的說明，讓學(xué)生清楚地知道來龍去脈， 也有利于學(xué)生的自學(xué)。教材中普遍都是生活常見的例子，數(shù)據(jù)也都源自于生活，讓學(xué)生有親切感也有一些反映當(dāng)代科技發(fā)展的最新成果的數(shù)據(jù)，這也讓學(xué)生體會到生活中就有許多的數(shù)學(xué)問題。教材中的課后習(xí)題覆蓋面廣，編排層次由淺入深，也含有很多不同學(xué)科相互聯(lián)系的交叉題，與基本概念和重要定理有效結(jié)合的圖形題，以及反應(yīng)生活和科技發(fā)展成果的應(yīng)用題等。

教材也融入了新技術(shù)的應(yīng)用，即微積分課程與計算機(jī)技術(shù)緊密地結(jié)合，計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)CAS，如：Mathematica、Maple、Matlab等在微積分的教學(xué)中廣泛使用，并且具有極強(qiáng)的功能、計算機(jī)在描述圖像運(yùn)動、顯現(xiàn)變量關(guān)系以及解決現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問題等方面能夠發(fā)揮其巨大的作用，成為了微積分課程不可缺少的教學(xué)工具。因此，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的快速發(fā)展也為微積分教學(xué)提供了一個全新的模式。

抽象概念的解釋都是由一些具體問題引入，這與也突出了微積分在實(shí)際生活中的價值，兼應(yīng)用和理論。課后練習(xí)題量大而且內(nèi)容豐富，一般有6000題，每節(jié)結(jié)束后都有一定量的習(xí)題，每章結(jié)束后又會有一些總的習(xí)題。而且這些習(xí)題編排層次由淺入深。習(xí)題除了有練習(xí)題（Exercises）外，還設(shè)置了不同類型的小課題，例如：探索課題（Discover Project）、應(yīng)用課題（Applied Project）、實(shí)驗(yàn)課題（Laboratory Project）和寫作課題（Writing Project）。每個教材后都有一個附送光盤，里面含有教材中部分圖片進(jìn)行輔助的教學(xué)。教材之中也都穿插了很多的精美圖片，一些是利用數(shù)學(xué)軟件制成，例如：在空間解析幾何與多元函數(shù)微積分中經(jīng)常會出現(xiàn)各式各樣的曲線、曲面圖形。學(xué)生也可以使用網(wǎng)上教材學(xué)習(xí)。具體的可見附件論文《美國微積分教材的應(yīng)用性和啟發(fā)性賞析》。

所以，總體上美國大學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)深度沒有我們的深，但學(xué)生的數(shù)學(xué)意識和應(yīng)用能力比我國的學(xué)生強(qiáng)。比較而言，我國很多的高校都在使用清華大學(xué)蕭樹鐵等教授編寫的《高等數(shù)學(xué)》、同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編寫的《高等數(shù)學(xué)》等，從概念的引入看，這兩本教材強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍?、理論，先教會概念再舉出例子，按照從一般到特殊的原則，當(dāng)然近期的教材版本也有所改進(jìn)，增加了應(yīng)用例子，但大致模子還是這樣的。習(xí)題的數(shù)量上看，同濟(jì)教材在每節(jié)課后給出15個大題，每章結(jié)束后給出20個大題，書中所有的習(xí)題數(shù)約2000個。當(dāng)然新的教科書版本也開始考慮到數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用，增加了很多實(shí)際運(yùn)用的例子，從數(shù)量和范圍上講還可以繼續(xù)改進(jìn)。

3 教學(xué)理念和形式

多次改革歷程后的美國微積分課程， 采用傳統(tǒng)和現(xiàn)代兼而有之的教學(xué)模式，尤其是強(qiáng)調(diào)四原則（The Rule of Four）， 學(xué)生按照這些原則來進(jìn)行微積分的學(xué)習(xí)，用不同的表述方式來解釋微積分的概念，這遠(yuǎn)比在單一的概念中獲得更多的信息，教材也增加了很多與現(xiàn)實(shí)生活相接軌的例子，增加了很多的數(shù)學(xué)建模問題以及增加了一些與離散數(shù)學(xué)思想的聯(lián)系，將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識和思維能力作為微積分課程教學(xué)的首要任務(wù)。

教學(xué)方式則各有特色，有傳統(tǒng)的大班上課甚至禮堂上課，也有25人以內(nèi)的小班上課，有些采用的是小組合作的學(xué)習(xí)方式，該方式有利于學(xué)生之間相互交流、啟發(fā)以及幫助，增強(qiáng)了團(tuán)隊意識。一些美國大學(xué)設(shè)置的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中心（Math Learning Center）、或是由學(xué)生自己組織的數(shù)學(xué)社團(tuán)（Math Society），運(yùn)作方式通常是學(xué)生在學(xué)習(xí)及活動（比如數(shù)學(xué)建模）中主動向老師提出具體的數(shù)學(xué)輔導(dǎo)要求，老師相應(yīng)給予一些輔導(dǎo)或講座指導(dǎo)。

美國大學(xué)生可以根據(jù)自己的數(shù)學(xué)愛好程度、高中AP學(xué)習(xí)情況、不同專業(yè)需要，選擇甚至可以不選不同難度的微積分或其他替代的數(shù)學(xué)課程，獲取相應(yīng)的學(xué)分，選擇相對自由些。優(yōu)點(diǎn)：靈活分層，自然精選出數(shù)學(xué)非常優(yōu)秀的學(xué)生。缺點(diǎn)：要求學(xué)生有較強(qiáng)的自我認(rèn)識能力及自我控制能力。

我國數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)模式：傳道、授業(yè)、解惑，老師講、學(xué)生聽，老師將書本知識扎實(shí)地傳授給學(xué)生。當(dāng)然近些年，也試圖作些教學(xué)改革和創(chuàng)新，引入考察課數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程，介紹常用的數(shù)學(xué)軟件，數(shù)學(xué)課堂上引入了有趣的實(shí)例課件等演示、小組討論等，由于教學(xué)進(jìn)度、教學(xué)大綱及今后考研的要求，多是適可而止。關(guān)于數(shù)學(xué)課程知識的實(shí)際應(yīng)用及最新的知識拓展，一般憑老師的個人科研、教學(xué)修養(yǎng)。當(dāng)然在有限的課時內(nèi)，學(xué)生若是要以后要考研，扎實(shí)的高等數(shù)學(xué)知識和解題技巧是必須的，目前的數(shù)學(xué)教育模式比較適合。同時，固定選課模式優(yōu)勢：基本所有的學(xué)生可以達(dá)到設(shè)定的數(shù)學(xué)要求，掌握基本的數(shù)學(xué)概念和解題技巧能力。缺點(diǎn)：抽象的數(shù)學(xué)可能讓學(xué)生不感興趣，但不得不硬著頭皮通過統(tǒng)一考試；而對數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生不能選更多的高級數(shù)學(xué)課程。

4 借鑒國外教學(xué)方法

學(xué)習(xí)借鑒美國大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，摸索出適合我們大學(xué)特色的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教育體系，還有挺長的一段路程。

（1）由于兩國大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)課程設(shè)置不同，學(xué)生進(jìn)入大學(xué)時掌握數(shù)學(xué)知識情況不同，使得兩國大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的選課機(jī)制、學(xué)習(xí)機(jī)制、評價體系都有所不同，若要大幅度改革，估計也應(yīng)該有個思想解放、自上而下的過程。

（2）目前來說，至少可以改革我們的教材內(nèi)容。由強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格化，注重嚴(yán)密邏輯推理和解題技巧，轉(zhuǎn)向直觀化和形象化、應(yīng)用化?？紤]現(xiàn)代技術(shù)的不斷發(fā)展和大量計算機(jī)應(yīng)用軟件的產(chǎn)生，對傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容形成的巨大沖擊，形式上可以開拓網(wǎng)上信息化教材內(nèi)容。

（3）原有的師資要求，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度不變，可以改變的是固有的教學(xué)理念。美國數(shù)學(xué)老師善于將所教的數(shù)學(xué)知識與生活實(shí)際、現(xiàn)代科技結(jié)合。中國長期以來的教育現(xiàn)狀，中考、高考、大學(xué)統(tǒng)考體制，多數(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)教師也源于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育理念，偏愛教理論方法和解題技巧，應(yīng)試性較強(qiáng)。一些有科研背景的老師相對知道掌握數(shù)學(xué)知識的部分應(yīng)用背景，那些科研全面的同時又愿意在教學(xué)上下工夫的老師常常被學(xué)生認(rèn)為是優(yōu)秀的老師，但確是很少。

（4）教學(xué)方式，傳統(tǒng)和改革的教學(xué)方式可以相互靠攏，形式上，手寫黑板與多媒體、老師單向授課與學(xué)生獨(dú)立思考、中文與英文教材等，按照數(shù)學(xué)課程特色設(shè)計合適的教學(xué)方式和模式。

（5）學(xué)習(xí)借鑒建立類似美國大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中心、學(xué)生數(shù)學(xué)社團(tuán)等組織機(jī)構(gòu)。要求我們的大學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有足夠的主動性、組織能力和自控能力等。

參考文獻(xiàn)

[1] 路易斯·M·伏利德勒，愛德華·F·沃爾夫.美國微積分教學(xué)改革的最新進(jìn)展[J].高等數(shù)學(xué)研究，2012，15（1）：1-5.

[2] 路易斯·伏利德勒，柴俊，張晶.美國的微積分教學(xué)：1940—2004[J].高等數(shù)學(xué)研究，2005，8（3）：6-11，15.

[3] S.L.Ganter，Changing Calculus，Mathematical Association of America Notes ，Washington DC，2001.

[4] R.G.Douglas，Editor，Toward a lean and Lively Calculus.The Mathematical Association of America Notes，Washington，DC，1986.

[5] H. Anton， Calculus with Analytic Geometry， 3rd edition， John Wiley & Sons，New York， NY，1988.

[6] L.A.Steen，Editor，Calculus for a New Century：A Pump，Not a Filter，The Mathematical Association of America Notes #8，Washington DC，1988.

[7] G.B.Thomas，Calculus and Analytic Geometry，4th Edition， AddisonWesley，Reading，MA（1968）

[8] G.B.Thomas，Calculus and Analytic Geometry，Classic Edition.（Reprint of 1953 Edition）， AddisonWesley，Reading，MA，1983.

[9] 張榮，過榴曉，徐振源.從對比中更好地把握微積分的教學(xué)改革[J].高等數(shù)學(xué)研究，201，14（1）：110-113.

[10] 張榮，過榴曉，美國微積分教材的應(yīng)用性和啟發(fā)性賞析[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（6）：203-206.

[11] 曹春正，朱曉欣，朱連華.統(tǒng)計學(xué)實(shí)踐教學(xué)質(zhì)量評估體系建立研究[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2013（29）：103-106.