尹杰茜，黃水平

（寧波大學(xué)，浙江寧波 315211）

迂回位相型計算全息圖和修正離軸參考光計算全息圖的對比討論

尹杰茜，黃水平

（寧波大學(xué)，浙江寧波 315211）

使用Matlab語言得到了迂回位相全息圖和博奇型全息圖，由傅里葉逆變換得到再現(xiàn)像。闡述了兩種計算全息圖各自的特點，對再現(xiàn)像的質(zhì)量、數(shù)量、大小、程序運行速度作出對比討論。迂回位相計算全息圖有便于記錄、方便傳遞的特點。利用博奇編碼得到的修正離軸參考光計算全息圖有高質(zhì)量的再現(xiàn)像，而且計算速度也比較快，對于復(fù)雜的二維圖像，可以考慮利用這種編碼方法進行計算全息。

計算全息；迂回位相；博奇編碼；Matlab

全息技術(shù)作為一種新的成像技術(shù)近年來得到迅速的發(fā)展，計算機制全息圖不需要實物的存在，同時還能通過計算機實現(xiàn)像的再現(xiàn)［1-2］。計算全息圖主要包括迂回位相型計算全息圖和修正離軸參考光計算全息圖，這兩類全息圖由不同的編碼方式得到［3］。前者直接編碼光波的復(fù)振幅，用透明孔的大小和位置分別記錄振幅和相位，透過率非0即1；后者通過計算機加偏置分量使復(fù)振幅變?yōu)榉菑?fù)函數(shù)，用灰度標(biāo)志透過率大小。通過對比這兩種方法，可以看出它們各自的特點和優(yōu)勢，還可以進一步優(yōu)化精簡程序，提高程序運行速度和再現(xiàn)像的質(zhì)量。

1　兩種編碼方式的相關(guān)原理

1.1迂回位相型編碼

編碼的目的是為了記錄相應(yīng)復(fù)振幅的全部信息［4-5］，計算全息圖的編碼過程可以通過下面的式子來描述:

全息函數(shù)h（x，y）是輸入的復(fù)值函數(shù)f（x，y）通過相應(yīng)的編碼C得到的。對復(fù)值函數(shù)的編碼方法一般有兩種:（1）用兩個非負的實值函數(shù)來表示，比如對函數(shù)的振幅和相位分別進行編碼；（2）仿照傳統(tǒng)光學(xué)全息圖的方法對需要記錄的復(fù)值函數(shù)加離軸參考波使之變?yōu)閷嵵捣菑?fù)函數(shù)，目的是為了避免對相位編碼。

迂回位相全息圖直接對物光波進行編碼，利用不規(guī)則光柵的衍射原理記錄物光波的振幅和相位。

當(dāng)一束光垂直入射到柵距不變的光柵時，光柵的相鄰兩條狹縫的第K級衍射方向光程差:

它的位相是相等的。但如果某處的柵距變?yōu)椋╠+Δ），光程差變?yōu)?

當(dāng)一束光非垂直入射時，也可以得到相似的結(jié)論。

假設(shè)一束光以入射角α0照射到不規(guī)則光柵上，同時假設(shè)第M級衍射角為αM，當(dāng)光柵間距為d時，相鄰光柵的光程差為:

柵距有一錯位量Δ時，即變?yōu)閐+Δ，在此處的衍射光波光程差為:

附加相移為:

羅曼將其稱為迂回位相，利用這種思想，可以用編碼單元中的透明孔洞的大小記錄振幅、中心位置記錄相位。

假設(shè)抽樣單元中，矩形孔的高度和位置分別為lmn、pmn，迂回位相全息圖由一系列位置不同的矩形孔組成，每個抽樣單元的透過率為:

δu，δv代表抽樣單元的長與寬。

則整個全息圖的透過率函數(shù)可以表示為:

經(jīng)過逆傅里葉變換后有:

可以選擇變參數(shù)lmn，pmn和常數(shù)W，x0，使得像面上的復(fù)數(shù)波前h（x，y）等于所需要的物波。

迂回位相編碼透過率非0即1，在記錄時也沒有用參考光波或加偏置分量，這是與博奇編碼的不同之處。

1.2博奇編碼

博奇編碼的計算全息圖是模仿光學(xué)離軸全息圖的方法，用加參考光波和直流偏置分量的方式使要記錄的復(fù)函數(shù)變成實的非負函數(shù)［6］，用灰度標(biāo)志透過率大小。光學(xué)離軸全息圖的透過率函數(shù)為物波復(fù)振幅加上參考光波復(fù)振幅之和的平方:

展開后的透射率函數(shù):

注:物波復(fù)振幅f（x，y）=A（x，y）exp（jφ（x，y）），參考光波復(fù)振幅R（x，y）=Rexp（j2παx）。

從全息照相理論出發(fā)，可以得到光學(xué)離軸全息圖的空間頻域分布；由抽樣性定理，可以得到對（11）式h（x，y）抽樣間距的大小在x和y方向上分別需要滿足:

Bx、By分別是函數(shù)h（x，y）在二維方向上的最高頻率。

但是（11）式中，第三項包含了振幅和位相的全部信息，前兩項為偏置分量，其中第二項即自相關(guān)項的存在增加了帶寬，從而導(dǎo)致了抽樣點數(shù)的增加（這是由抽樣性定理決定的）。其實，第二項在由再現(xiàn)波得到再現(xiàn)像時是不需要的，可以用一個常數(shù)來代替前兩項（通過加直流偏置來實現(xiàn)）。那么，得到的新的全息函數(shù)為:

這樣，抽樣間距的條件就可以放寬為:

這樣做的好處:減少了自相關(guān)項從而可以減少抽樣數(shù)目。也有利于減小編碼單元的大小，再現(xiàn)像時可以減少重現(xiàn)象，得到大而清晰的再現(xiàn)像。同時，由（15）式可知，得到的再現(xiàn)像的噪聲分量只是中間的平面波的分量，可以降低背景噪聲的存在。

2　兩種方法的計算機模擬與對比討論

2.1迂回位相型全息圖

讀入的圖像是jpg格式的128?128像素的圖像，用imread語句讀入的圖像有相應(yīng)的灰度，要用語句A=n（:，:，1）＜=200將其轉(zhuǎn)換為非0即1的矩陣然后再對其進行處理。抽樣的數(shù)目為128?128，也就是一個像素為一個抽樣點；然后對矩陣進行傅立葉變換fft2（）和移頻fftshift（）操作，并對其取模abs（）和相位angle（）；用迂回位相的編碼方法對振幅和相位進行編碼，編碼單元的大小取28，不能取的太小，否則最后得不到正確的在現(xiàn)象，對“寧波大學(xué)”四個漢字進行全息，迂回位相編碼的結(jié)果如圖1所示；得到迂回位相編碼的結(jié)果后，對其進行逆傅立葉變換ifft2（）和頻譜移動fftshift（）就可以得到正確的再現(xiàn)像，得到再現(xiàn)像時移頻的目的是將低頻成分移到中心，防止再現(xiàn)像分散在四周，在制作全息圖時如果不移頻，得到的全息圖會有所差異但不會對再現(xiàn)像造成影響（對于博奇編碼時的移頻道理也是一樣），再現(xiàn)像如圖2所示。

圖1　迂回位相編碼方法對“寧波大學(xué)”計算全息的編碼結(jié)果（部分）

圖2　迂回位相編碼方法對“寧波大學(xué)”計算全息的再現(xiàn)像（部分）

2.2修正離軸參考光全息圖

由博奇編碼得到修正離軸參考光全息圖，讀入的圖像是jpg格式512?512像素的圖片，設(shè)置的抽樣矩陣的大小為1024?1024，這里相當(dāng)于只用了一個矩陣的四分之一，這樣做的目的是為了防止在現(xiàn)象時出現(xiàn)重疊；為了提高精度和在現(xiàn)象的質(zhì)量，可以乘以一個隨機相位因子A.?exp（j ?2?pi?rand（N，N））；編碼的時候，編碼單元可以取得小一些，目的是得到大而少的再現(xiàn)像（下面一組圖像中編碼單元取值為1），用博奇編碼的編碼方法對“寧波大學(xué)”四個漢字進行全息得到的編碼結(jié)果如圖3所示；通過逆傅立葉變換和頻譜移動可以再現(xiàn)光場得到再現(xiàn)象，見圖4，這里注意需要乘以一個常數(shù)（本文程序中取1000）以提高再現(xiàn)像的亮度，否則是看不到再現(xiàn)像的。

圖3　博奇編碼方法對“寧波大學(xué)”計算全息的編碼結(jié)果

圖4　博奇編碼方法對“寧波大學(xué)”計算全息的再現(xiàn)像

3　相關(guān)分析及兩種計算全息圖的對比

3.1有關(guān)編碼單元和再現(xiàn)像的個數(shù)

從實驗編程中可以看出，對于兩種編碼方式，編碼單元的大小與再現(xiàn)像的個數(shù)成正比。當(dāng)博奇編碼中編碼單元大小取2的時候可以得到代八個再現(xiàn)像。為了得到一個大且清晰的再現(xiàn)像，所以往往并不需要那么多的像。更何況，編碼單元大，像越多，像的尺寸越小，這并不是我們所希望的。

對于迂回位相編碼，編碼單元不能取的太小，否則會導(dǎo)致抽樣數(shù)目少而違背抽樣性定理。對于復(fù)雜（像素高）的圖片，編碼單元的大小會取的很大。對于迂回位相計算全息，64?64的圖像一般取編碼單元大小為10左右，此時成像較為清晰；而128?128像素圖片，編碼單元為10就得不到正確的再現(xiàn)像了。128?128像素的編碼單元取28時，再現(xiàn)像的個數(shù)約有100個，每個像也是很小的。迂回位相編碼的抽樣點數(shù)與編碼單元的大小會相互制約，對兩者進行合適的選擇很重要，這會影響到再現(xiàn)像的質(zhì)量。而對于博奇編碼，編碼單元取1時，得到的像依然是清晰而不失真的。

迂回位相法得到的像的成像質(zhì)量也沒有博奇編碼得到的再現(xiàn)像的質(zhì)量高，被全息圖片的質(zhì)量（像素）是一個因素，再者就是博奇編碼所帶來的的背景噪聲比較少，“全息圖再現(xiàn)時的噪聲分量只是中間平面波的分量”［3］。

圖5和圖6分別是博奇編碼編碼單元取2時“寧波大學(xué)”再現(xiàn)像（全部像）和迂回位相編碼編碼單元取13時“寧”再現(xiàn)像（部分像），從這里可以看出，博奇編碼得到的全息圖再現(xiàn)像的質(zhì)量高。

圖5　博奇編碼得到的再現(xiàn)像

圖6　迂回位相編碼得到的再現(xiàn)像

3.2有關(guān)程序運行效率

全息同一張像素為128?128的圖片，迂回位相法的程序需要的時間為2.042 s；博奇編碼的程序需要的時間為0.450 s。同時，博奇編碼中用常數(shù)代替自相關(guān)項，將頻率域中的自相關(guān)成分去掉了，從而可以使抽樣的數(shù)目減少為原先的25%［7］，這也有利于提高程序的速度。

博奇編碼程序處理的速度比較快，可以用這種編碼方式對一些比較復(fù)雜的圖案全息。對一副512?512像素的寧波大學(xué)校徽的圖片，博奇編碼從讀如圖片到得到再現(xiàn)像的總時間為3.197 s，得到再現(xiàn)像的質(zhì)量也是比較高的，再現(xiàn)像的結(jié)果如圖7所示。

圖7　用博奇編碼方法對圖片計算全息得到的再現(xiàn)像

4　結(jié) 論

從兩種全息圖的相關(guān)原理出發(fā)，用兩種方法制作了計算全息圖，在進行逆傅立葉變換后，兩種全息圖都可以得到正確的再現(xiàn)像，并且兩種方法各具特點。通過博奇編碼，我們得到了高質(zhì)量的再現(xiàn)像，但并不代表迂回位相計算全息圖處處不及修正離軸參考光計算全息圖。迂回位相編碼透射率非0即1這使全息圖在復(fù)制或是傳遞中不易失真，在制成底片的時候?qū)橘|(zhì)的要求也不會太高，本文是數(shù)字再現(xiàn)像沒有涉及到底片的介質(zhì)問題。同時也可以對迂回位相編碼進行一定的改進，以達到減少重像、提高像的質(zhì)量的目的［8-10］。博奇編碼通過加修正離軸參考光，去掉頻域自相關(guān)成分，降低了全息圖的帶寬要求，程序運行的速度和數(shù)字再現(xiàn)像的質(zhì)量是令人滿意的?？梢钥紤]利用這種編碼方法，并通過進一步優(yōu)化程序，得到更高質(zhì)量的再現(xiàn)像。

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A Comparative Discussion of Calculation Hologram with Detour Phase and Modified Off-axis Reference Beam

YIN Jie-xi，HUANG Shui-ping
（Ningbo University，Zhejiang Ningbo 315211）

It got the detour phase hologram and Boqi hologram using the Matlab language，and got reconstructed image by Fourier transformation.The characteristics of two computing holograms were elaborated，and the quality，quantity，size，program running speed of the reconstructed image were made a comparison. Computing hologram with Detour phase is easy to record and convenient delivery.Boqi coding are used to get the modified off-axis reference beam as computing hologram has a high quality reconstructed image，and computing speed is faster.The complex two-dimensional images which can consider using this encoding method to calculate the holographic.

computer generated hologram（CGH）；detour phase；Boqi coding；Matlab

O4-39

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.02.003

1007-2934（2015）02-0006-05

2014-11-02

浙江省高校實驗室工作研究項目（Y201310）