王志南

教學中常常有這樣的現象：某一類型的題目講了多遍，也練過多次，可是學生還是反復地出錯。此時，大多數教師的應對方法是精講精練，讓學生在實戰(zhàn)中積累解題經驗。然而，即便如此，部分學生仍不能從本質上理解題目的內涵，掌握解題的方法和策略。深入分析上述現象，學生之所以出錯，是因為他們沒有真正理解數學問題的內涵，未能從本質上分析數學問題。那么，教師如何引導學生讓知識和方法“生根”，讓“數學思維的腳印”踏得更深呢？

其實，在解決許多陌生或復雜的問題時，人們往往不急于尋找解決問題的方法和路徑，而是向后退一退，回到問題情境的初始狀態(tài)，這樣就更容易發(fā)現和理解問題的本質，尋獲解決問題的突破點。

一、 動手操作，親歷實踐中尋獲數學規(guī)律

在五年級上冊的期末測試中，有這樣一道題：王大爺用12米長的柵欄靠墻圍成一個長方形羊圈（如圖1），如果每條邊的長都取整米數，一共有多少種不同的圍法？所圍的長方形面積最大是多少？

從測試數據的分析來看，參加測試的所有學生中，本題得滿分的占總人數的32.1%，全錯的占總人數的48.3%。而錯誤的原因在于，許多學生未注意到條件中的“一面靠墻”，直接將12米當成長方形周長，除以2后列舉長和寬。事實上，這道習題曾在課后練習和單元測試卷中都出現過，這樣看來，做過兩次后學生再次遇到仍未能正確地分析和解答，說明這些同學并沒有真正理解問題情境的含義，未能真正掌握解決問題的方法。

羅杰斯說：“真正能夠影響一個人的行為的知識，只能是他自己親身經歷并加以同化的知識，凡是可以教給別人的結果性知識相對來說都用處不大?！蹦敲?，如何引領學生回到原點，從本質上理解問題情境，進而避免認知上的偏差和失誤呢？筆者在展開“圍籬笆問題”的教學時，為了讓學生真正理解問題情境，設計了讓學生“用火柴棒圍長方形”的操作活動，先讓學生用12根火柴棒圍長方形，發(fā)現圍長方形時要先求出長和寬的和，再依次列舉。在教學“一面靠墻圍長方形”時，再次讓學生用火柴棒擺，并引導學生思考和比較：①一面靠墻圍籬笆，先要確定哪條邊？為什么？②共有幾種圍法，你是怎樣有序地圍的？③比較“直接用籬笆圍長方形”和“一面靠墻圍長方形”，你覺得在解題思路上有怎樣的不同？通過操作、思考、比較和交流，學生發(fā)現：“一面靠墻圍長方形”必須先確定“需要圍兩條邊的其中一條”，從1米想起，依次列舉。如果先確定“只需要一條邊”的那條邊，另一邊就會出現小數，列舉起來不方便。兩題的不同之處在于，前者12米是長方形的周長，而后者12米是一條邊加另兩邊的長度和。

顯然，基于學生動手實踐的數學學習，讓學生對“如何圍長方形”有了更豐富的活動經驗和更深入的理解。同時，值得一提的是，我們要避免讓操作活動淪為“表層的動手操作”，而應引導學生在操作中展開數學思考、比較和發(fā)現，獲得“用籬笆圍長方形”的活動經驗，在活動中感悟和體驗，進而尋獲深刻的、富有意義的內在規(guī)律。

二、 構畫草圖，數形結合中理解數學本質

畫圖作為學生數學學習的基本策略，不僅可以幫助學生理解題意，解決問題，還可以借助畫圖，回到問題情境的初始狀態(tài)，讓學生在數與形的結合中直抵數學問題情境的“內核”，洞察數學本質。而在數學教學中，許多教師往往習慣于引導學生進行抽象的數學思考，而忽視畫圖這一基本策略的存在，如果這樣，也就不難理解為什么有的學生面對陌生問題情境時會束手無策了。如學習“公倍數和公因數”后，學生遇到如下的題目，內心世界就開始糾結萬分，無從下手了。

把一張長24厘米、寬18厘米的長方形紙剪成邊長是整厘米且同樣大小的正方形紙沒有剩余。最多可以剪多少個，最少呢？

學生之所以難以找到解題的突破口，在于學生在解決“公倍數與公因數”的實際問題時，習慣于從題目中的“最大”或“最小”來確定要找的是最大公因數還是最小公倍數，而此題中，同一問題情境中既要求“最多剪多少個”，又要求“最少剪多少個”，學生就感到為難了。

與題目中抽象數量關系的理解相比，構畫草圖有其獨特的優(yōu)越性，以“數學圖像”勾勒出“智力圖像”，讓思維不再抽象，而是具體可視。教學中，我們不妨引導學生放慢思維的腳步，根據題意構畫草圖（圖2），結合草圖來思考小正方形的邊長與長方形的長、寬分別有怎樣的關系？也就是長方形長與寬的公因數;進而再來思考：最多可以剪多少個，選怎樣的公因數？ 最少剪多少個，選怎樣的公因數？

事實上，畫圖作為一種基本的數學分析方法，教師應重視學生畫圖習慣的養(yǎng)成和內化，要使之成為學生分析問題時自發(fā)的意識和習慣。蘇教版教材四年級下冊也特意安排了“畫圖策略”的教學，引導學生用畫線段圖、平面圖等方法理解題意、解決問題。然而，學生在面對難以理解的問題時，往往沒有自覺構畫草圖的意識，或者覺得無從畫起。顯然，這與教師的教學行為有關，學生習慣于在題目要求畫圖時才畫圖，不要求畫圖就不畫圖。因而，教師更需加強對學生具體的畫圖方法的指導和實踐，引導學生在運用畫圖策略解決具體問題的過程中，逐漸養(yǎng)成自發(fā)的畫圖習慣和意識。

三、 尋根究源，簡約建構中提煉數學思想

著名數學教育家米山國藏說：“我們走向社會后， 能夠留在我們腦海深處的是數學的思維、數學的方法以及數學的思想?！币蚨跀祵W教學中，教師要善于結合具體內容的教學滲透數學思想方法，使學生更好地理解和掌握相內容，更好地感受數學的精神和精髓，學會用數學的眼光看世界，學會數學地思維。而在實際教學中，教師仍習慣于就事論事，難以擺脫具體問題情境的束縛，缺乏以數學思想方法統(tǒng)領教學的基本理念。如在教學“間隔規(guī)律”時，許多教師往往只注重“找”規(guī)律，即出示情境圖讓學生先認識情境圖中的一一間隔現象（夾子與手帕、兔子與蘑菇等），并讓學生在表格中填寫相關物品的個數，探究發(fā)現 “兩端物體相同時，兩端物體會比中間物體多1個”“兩端物體不同時，兩種物體一樣多”的規(guī)律。

顯然，這樣的探究是膚淺的。教師未能從間隔規(guī)律中挖掘其蘊含的數學思想方法（一一對應思想），導致教學中的“看圖說話”，規(guī)律探究未能發(fā)揮其應有的教學價值。特級教師周衛(wèi)東在教學本課時，首先讓學生觀察兩組圖形的排列，在比較中感受并體會了什么是“一一間隔”現象;接著讓學生“創(chuàng)造”一個“一一間隔”的排列，并開展“站隊”游戲，讓男生女生按性別“一一間隔”站好隊;游戲過后，周老師對同學們提出了更高的要求，把不同的數據進行整理、分類，從而體會“一一間隔”的兩種情況：一一對應，兩種圖形一樣多;一一對應后還多出一個。這樣，通過挖掘間隔規(guī)律中的一一對應思想，讓學生進行意義建構，獲得對規(guī)律本質的深入而透徹的理解。

在小學數學教材中，蘊含數學思想的教學內容還有很多，如假設策略中的數學模型思想，平均數、中位數中所蘊含的統(tǒng)計思想，正反比例關系圖像中的數形結合思想等。回到原點，以數學思想來統(tǒng)領數學教學活動的開展，可以促進學生對數學本質的理解，對數學知識進行簡約構建，進而獲得有利于自身全面發(fā)展的數學素養(yǎng)。

四、 原型再現，釋疑解惑中感悟數學方法

在“公因數和公倍數”的課后練習中，有這樣一道題：

小華的爸爸上5天班休息一天，媽媽上3天班休息一天。如果小華的爸爸、媽媽3月10日同時在家休息，那么下一次同時在家休息是幾月幾日？

學生在解答此題時，絕大多數學生能直接求出5和3的最小公倍數15，然后用3月10日加15天得到3月25日。顯然，學生并沒有真正理解題目的含義，而如果直接告訴學生“爸爸上5天班休息一天”就是“每6天休息一次”，學生還是會感到難以理解，即使接受教師的看法也只是“被動地接受”，并非真正地理解其中的數理關系。

那么，怎樣讓學生真正地理解“爸爸上5天班休息一天”的含義呢？筆者啟發(fā)學生：你們知道 “爸爸上5天班休息一天”到底是什么意思嗎？可以借助什么來幫助我們理解呢？學生說這個問題和日歷有關，于是畫出3月的日歷，再在日歷上把爸爸、媽媽休息的日子分別找出來，問題就迎刃而解了。（如圖3）

教師在學生面對復雜疑難問題糾結、茫然時，不妨退一退，回到問題情境的初始狀態(tài)，這樣學生就更容易清晰地認識問題的本來面目，獲得最為原始但又最為深刻的認識和理解。當然，我們不能僅僅滿足于解決問題，還應對問題解決的過程作進一步的思考：你現在理解了“爸爸上5天班休息一天” “媽媽上3天班休息一天”這兩句話了嗎？經過的天數還可以怎樣求得呢？回到原點，同時在問題的思考中走向深刻，學生的數學學習能力得以提升，對數學方法的掌握也更為牢固。

【責任編輯：陳國慶】