王騰飛 蘭朋 陸念力

(哈爾濱工業(yè)大學 機電學院，黑龍江 哈爾濱150001)

大臂長、大起重量一直是起重機的發(fā)展趨勢，為此常常通過拉桿或柔性繩索的牽引來提高臂架結(jié)構(gòu)的剛度及穩(wěn)定性，此時臂架變?yōu)橄伊夯旌辖Y(jié)構(gòu)，穩(wěn)定性分析復雜.許多學者采用微分方程法、能量法及有限元法對張弦梁、桅桿及預應力撐柱等弦梁混合結(jié)構(gòu)做了研究［1-7］，而針對大型起重機常采用的柔性繩索牽拉下的起重臂架的相關研究較少. 拉桿的牽引力導致起重臂在起升平面外失穩(wěn)時同時承受軸向壓力及側(cè)向力，使之成為非保向力問題，從而大大增加了臂架穩(wěn)定性分析的難度. 起重臂多為起升平面內(nèi)交兩端鉸接、起升平面外懸臂結(jié)構(gòu)，這種形式?jīng)Q定了起重臂失穩(wěn)常先發(fā)生于起升平面外. 劉士明等［8］采用微分方程法對牽繩作用下的多節(jié)伸縮臂進行了平面外穩(wěn)定性分析. 針對拉桿牽引下的塔機水平臂臂架，有些學者采用考慮軸力效應的轉(zhuǎn)角位移法［9］進行研究，文獻［10］則將等效彈性支座的概念引入微分方程中進行起重臂穩(wěn)定分析，蘭朋［11］進一步結(jié)合等效支座法采用計及二階效應的精確有限元法對起重臂平面外穩(wěn)定性做了研究，得出了有益的結(jié)論.但這些研究中均未考慮拉桿固支點的側(cè)向柔性，且對于雙拉桿起重臂，也未給出失穩(wěn)特征方程的解析式.而工程實際中，拉桿常常固結(jié)在塔機塔帽或者人字架頂部，相比于起重臂，拉桿固支點側(cè)向支撐剛度較弱，起重臂發(fā)生平面外失穩(wěn)時，拉桿固支點會有一定的側(cè)向位移.為此，有必要對計及拉桿固支點側(cè)向柔性時起重臂的穩(wěn)定性進行研究.

1 雙拉桿起重臂力學分析模型

雙拉桿牽引下的起重臂格構(gòu)式模型及等效后的實腹式模型如圖1 所示，記起重臂各段長度為li，各拉桿長度為Si，i =1，2. 其中，拉桿吊點及臂節(jié)鉸接點與起重臂形心軸的偏心對臂架穩(wěn)定性影響很小［12］，起重臂實腹式等效時直接將吊點及鉸接點移至起重臂形心軸.起重臂的平面外穩(wěn)定性為一類穩(wěn)定問題，容易驗證起升平面內(nèi)的荷載僅影響臂架軸力及彎矩的分配，對平面外穩(wěn)定性無影響［13］. 故后續(xù)推導中，可將起重臂自重忽略.

圖1 雙拉桿起重臂力學分析模型Fig.1 Analysis model of the crane jib with double rods

2 雙拉桿起重臂平面外失穩(wěn)特征方程

計及固支點側(cè)向柔性，臂架發(fā)生平面外失穩(wěn)時，拉桿固支點產(chǎn)生側(cè)向位移δ0，此時起重臂平面外失穩(wěn)形態(tài)如圖2 所示. 其中，兩拉桿吊點側(cè)向位移為δi，非保向力拉桿拉力為Fi(i=1，2).

圖2 計及固支點側(cè)向柔性時起重臂失穩(wěn)形態(tài)Fig.2 Buckling mode of crane jib considering the flexibility of the rod fixed joint

分別以吊臂根部鉸接點及拉桿吊點為原點，以吊臂軸向為x 軸方向，建立吊臂段坐標系，如圖3 所示.

圖3 雙拉桿起重臂平面外穩(wěn)定性分析Fig.3 Out-of-plane stability analysis of the crane jib with double rods

記兩拉桿在x 軸方向投影為ai，為后續(xù)推導統(tǒng)一，記拉桿固支點投影距吊臂根部鉸接點水平距離為a0=l0，則拉桿力Fi的軸向分力Ni及側(cè)向分力Fiy為

由于拉桿產(chǎn)生的側(cè)向分力Fiy可用拉桿吊點及拉桿固支點處的側(cè)向位移線性表示，故可將其視作彈性力，采用文獻［10］提出的等效彈性支座法推導.記各吊點處等效側(cè)向剛度為ki=Ni/ai，由式(1)可得

引入固支點側(cè)向剛度k0表征塔帽對拉桿的側(cè)向約束，則固支點受力平衡方程為

聯(lián)立方程(2)與(3)，消去固支點側(cè)向位移δ0，拉桿側(cè)向力Fiy由拉桿吊點側(cè)向位移δi線性表達如下:

設各段吊臂z 軸慣性矩為Ii，彈性模量為E，列寫變形微分方程如下:

需要注意的是0≤xi≤li，將拉桿側(cè)向力Fiy表達式(4)代入式(5)，化簡后得

式中，Pi為兩吊臂段的軸力，P1=N1+N2，P2=N2.為便于實際工程應用，引入無量綱固支點側(cè)向剛度系數(shù)ξ，將固支點側(cè)向剛度k0與吊臂段1 等長的懸臂梁端部側(cè)向剛度關聯(lián)，即記 中 間 量=Pi/(EIi)，則微分方程通解為

利用邊界條件及變形協(xié)調(diào)方程可將撓曲方程中未知量Ai、Bi寫為吊點位移δi的線性表達式，即［AiBi］T=Ri·［δ1δ2］T，其中Ri為轉(zhuǎn)換矩陣.

引入無量綱量軸力系數(shù)εi=ωili，兩吊臂段軸力則可表示為

當?shù)醣鄹窟吔鐥l件x1=0 時，y1=y′1=0，代入吊臂段1 撓曲方程，得到

吊臂段1 與吊臂段2 在吊點1 處變形協(xié)調(diào)，即x2=0，x1=l1時，y2=y1，y′2=y′1，代入吊臂段撓曲方程，得到

當邊界條件x2=0 時，y2=δ1;當x2=l2時，y2=δ2.從而得到關于吊點位移δi的線性方程組K·δ =0，其中系數(shù)矩陣K 具體表達式如下:

若起重臂面外失穩(wěn)形態(tài)存在，即拉桿吊點側(cè)向位移δi存在非零解，則須有系數(shù)矩陣行列式det(K)=0，故起重臂平面外失穩(wěn)特征方程det(K)=0. 記拉桿軸向分力比值=N1/N2，則失穩(wěn)特征方程化簡后表達如下:

式(12)即為計及固支點側(cè)向柔性時雙拉桿起重臂平面外失穩(wěn)特征方程.該方程為關于軸力P1=N1+N2及P2=N2的超越方程，而特定幅度下拉桿力Fi及其軸向分力Ni是確定的，相應中間量ωi及εi也確定，失穩(wěn)特征方程實質(zhì)上為單變量方程，所有各個變量均與吊重Q 關聯(lián). 某特定幅度下，拉桿軸向分力比值=N1/N2已知，代入方程(12)即可求得各段起重臂對應的臨界軸力從而確定吊臂系統(tǒng)臨界吊重Qcr.為方便驗證文中穩(wěn)定解析求解方法，取無量綱量計算長度系數(shù)μ，記各段起重臂的計算長度系數(shù)為μi，即Pi，cr=2EIi/，則有μi=/εi.

3 起重臂平面外失穩(wěn)特征方程的若干特殊狀況討論

3.1 固支點側(cè)向完全嵌固時

當拉桿固支點側(cè)向完全嵌固時，k0→∞，即ξ→∞，穩(wěn)定判據(jù)方程(12)退化為

失穩(wěn)特征方程退化為C1=0，即

式(14)即為拉桿固支點側(cè)向完全嵌固時雙拉桿起重臂平面外失穩(wěn)特征方程，與文獻［12］所得失穩(wěn)特征方程一致.

3.2 固支點無側(cè)向剛度時

當拉桿固支點無側(cè)向剛度時，k0=0(即ξ =0)，臂架的穩(wěn)定性分析模型如圖4 所示，臂架平面外穩(wěn)定退化為一端固支一端自由有中間壓力作用的軸壓柱穩(wěn)定.

圖4 固支點無側(cè)向剛度時穩(wěn)定性分析Fig.4 Stability analysis with zero lateral stiffness for the rod fixed joint

當固支點無側(cè)向剛度時，拉桿側(cè)向分力Fiy=0，此時拉桿相應的等效側(cè)向剛度ki=0.由于計及固支點側(cè)向柔性的失穩(wěn)特征方程(即式(12))是在側(cè)向剛度ki≠0 的基礎上推導得出，故固支點無側(cè)向剛度時的失穩(wěn)特征方程不能從式(12)直接退化得出.此時，起重臂微分方程退化為

引入邊界條件及變形協(xié)調(diào)后，相應的轉(zhuǎn)換矩陣退化為

由吊臂段2 邊界條件列寫關于吊點側(cè)向位移δi的線性方程組，得系數(shù)矩陣為

令系數(shù)矩陣行列式det(K)=0，得到固支點無側(cè)向剛度時穩(wěn)定判據(jù)方程退化如下:

式(18)與文獻［14］結(jié)果一致.

3.3 單拉桿等截面起重臂

起重臂單拉桿牽引且等截面時，記I1=I2=I，不妨撤去拉桿1，則N1=0，ω1=ω2=ω，=N1/N2=0，P2=P.計及拉桿固支點側(cè)向柔性時雙拉桿起重臂平面外失穩(wěn)特征方程式退化為

式(21)即為計及固支點側(cè)向柔性時單拉桿起重臂面外失穩(wěn)特征方程退化形式.值得注意的是，ξ*→∞(即固支點側(cè)向完全嵌固)時，式(21)又可退化為不計固支點側(cè)向柔性時荷重通過一定點軸壓柱的穩(wěn)定判據(jù)方程，與文獻［15］結(jié)果一致.

4 固支點側(cè)向剛度對起重臂穩(wěn)定性的影響

取QTZ400 雙拉桿塔式起重機水平起重臂進行分析，驗算文中失穩(wěn)特征方程(12). 將格構(gòu)式起重臂等效為實腹式起重臂，雙拉桿起重臂結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖5 所示.

圖5 雙拉桿起重臂結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.5 Structure parameters of the crane jib with double rods

起重臂拉桿布置尺寸為l1=24.2 m，l2=30.0 m，l3=19.8 m，拉桿固支點位置尺寸為l0=1.61 m，h =8.588 m，取起重臂等截面，參數(shù)為I = 7.408 ×10－3m4.將吊重放置在拉桿2 吊點處，求取各段吊臂失穩(wěn)臨界軸力對應計算長度系數(shù)μi.在ANSYS 內(nèi)建模分析驗證文中解析求解方法，其中起重臂采用BEAM44 梁單元，拉桿采用僅受拉的LINK10 桿單元建模，固支點側(cè)向柔性采用COMBIN14 彈簧單元模擬.取不同拉桿固支點側(cè)向彈簧剛度求取μi，文中解析法結(jié)果與ANSYS 數(shù)值結(jié)果對比如表1 所示.

表1 μ1，μ2 的文中解析結(jié)果與ANSYS 結(jié)果比較Table 1 Comparison between the analytical solution and the ANSYS solution of μ1，μ2

由表1 可知，文中結(jié)果與ANSYS 結(jié)果完全相同，失穩(wěn)特征方程的正確性得到驗證.隨著固支點側(cè)向剛度系數(shù)ξ 的增大，計算長度系數(shù)μi不斷減小，趨近于固支點完全剛性時的長度系數(shù).

由于兩吊臂段軸力Pi間存在固定比例關系，兩吊臂段計算長度系數(shù)μi等效且可相互轉(zhuǎn)化，不妨取吊臂段1 失穩(wěn)臨界力探討固支點側(cè)向剛度對臂架穩(wěn)定性的影響.記ξ =0 時，即拉桿固支點無側(cè)向剛度時，吊臂段1 失穩(wěn)臨界力為Pcr0，此時吊臂在平面外退化為具有中間壓力作用的懸臂軸壓柱，由退化式(18)可得. 為顯示柔性拉桿的牽引對臂架穩(wěn)定性的影響，取固支點側(cè)向剛度系數(shù)ξ=0 ～100，引入失穩(wěn)臨界力比值Pcr/Pcr0，繪制失穩(wěn)臨界力比值Pcr/Pcr0與側(cè)向剛度系數(shù)ξ 的關系曲線，如圖6 所示.

圖6 失穩(wěn)臨界力比值與固支點側(cè)向剛度系數(shù)關系Fig.6 Relation between critical load ratio and the lateral stiffness coefficient

由圖6 可知，隨著固支點側(cè)向剛度系數(shù)ξ 的增大，失穩(wěn)臨界力Pcr不斷增大. ξ 較小時失穩(wěn)臨界力Pcr增長較快.ξ 由0 增至20 時，起重臂的失穩(wěn)臨界力Pcr增大近2.5 倍，隨后Pcr增長放緩，ξ ＞50 后失穩(wěn)臨界力此值Pcr/Pcr0趨于4. 由此可知，固支點側(cè)向剛度較弱時，適度提高固支點側(cè)向剛度可大大改善起重臂結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性.由圖6 還可以看出，文中算例即使計及固支點側(cè)向彈性，拉桿的牽引也將起重臂的穩(wěn)定承載能力提高了2 倍多，固支點側(cè)向完全剛性時，起重臂穩(wěn)定承載能力提高了3 倍. 由此可見，柔性拉桿的牽引對臂架穩(wěn)定性的改善效果明顯.

5 結(jié)語

文中對計及拉桿固支點側(cè)向柔性時雙拉桿起重臂的平面外穩(wěn)定性進行了研究.首先，建立了計及拉桿固支點側(cè)向柔性的起重臂平面外穩(wěn)定性分析模型，推導了起重臂的平面外失穩(wěn)判據(jù)方程解析式，所得解析結(jié)果與有限元數(shù)值計算結(jié)果吻合.然后，給出了拉桿固支點側(cè)向剛度兩種極限情況下臂架失穩(wěn)特征方程的退化形式，以及撤去一根拉桿后失穩(wěn)判據(jù)方程由雙拉桿起重臂向單拉桿起重臂的退化，表明了文中失穩(wěn)特征方程的通用性.最后，研究了拉桿固支點側(cè)向剛度對起重臂穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)固支點側(cè)向剛度較小時，適當增大固支點側(cè)向剛度可大大改善起重臂的穩(wěn)定性，固支點側(cè)向剛度增大到一定程度后，其對起重臂穩(wěn)定性影響趨于平穩(wěn).

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