張 娜，王秀蓮

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

基于Ornstein-Uhlenback類模型的最優(yōu)分紅

張 娜，王秀蓮

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

首先，基于Ornstein-Uhlenback類模型獲得了其邊界期望折現(xiàn)分紅總額滿足的二階微分方程；然后，根據(jù)初始資金的不同，求出相應(yīng)分紅總額滿足的顯示表示；最后，確定了最優(yōu)分紅情況下的分紅邊界.

Ornstein-Uhlenback類模型；期望折現(xiàn)分紅；最優(yōu)分紅

保險(xiǎn)公司的分紅是指保險(xiǎn)公司將實(shí)際經(jīng)營生產(chǎn)的盈余，按一定比例向保單持有人進(jìn)行分配.最優(yōu)分紅策略是指在公司破產(chǎn)之前使期望折現(xiàn)分紅額達(dá)到最大的策略.關(guān)于分紅問題的研究有很多[1-6].文獻(xiàn)[2]得出了控制擴(kuò)散模型下的最優(yōu)分紅為邊界分紅；文獻(xiàn)[3]研究了古典概率模型下，隨機(jī)觀察時(shí)間滿足Erlang（n）分布的最優(yōu)分紅問題；文獻(xiàn)[4]研究了模型U（t）=x+μt+σB（t）的實(shí)際性破產(chǎn)和隨機(jī)觀察時(shí)間滿足指數(shù)分布的最優(yōu)分紅.考慮到投資產(chǎn)生的利息會(huì)對(duì)保險(xiǎn)公司的分紅產(chǎn)生一定的影響，本研究考慮盈余帶利息的Ornstein-Uhlenback類模型在邊界分紅下的最優(yōu)分紅問題.

1 模型與預(yù)備知識(shí)

盈余過程{U（t），t≥0}可表示為

其中：u=U（0）≥0為保險(xiǎn)公司的初始資本金；常數(shù)c≥0為單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收取量；α為保險(xiǎn)公司現(xiàn)有資金產(chǎn)生的利率；σ為擴(kuò)散系數(shù)；{B（t），t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，即B（t）～N（0，t）.

該模型可以表示為微分形式：

當(dāng)保險(xiǎn)公司盈余為負(fù)值時(shí)，公司不一定破產(chǎn)，因此，本研究用破產(chǎn)率函數(shù)來描述負(fù)盈余的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)程度，設(shè)破產(chǎn)率函數(shù)為ω（x）≥0，x≤0.一般情況下，ω（x）是一個(gè)非增函數(shù)，即盈余x越小，保險(xiǎn)公司越容易破產(chǎn).dt時(shí)間內(nèi)保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)概率為ω（x）dt+ o（dt）.假設(shè)ω（x）與其他的隨機(jī)變量是獨(dú)立的.為了最大限度使保險(xiǎn)公司盈利，考慮保險(xiǎn)公司僅在隨機(jī)觀察時(shí)刻分紅.設(shè)觀察時(shí)刻是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，服從Poisson分布.所以，觀察分紅的等待時(shí)間是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量[2]，且它們服從指數(shù)分布，均值為1/γ.因此，dt時(shí)間內(nèi)保險(xiǎn)公司分紅的概率為

其中：A、B為常數(shù)；

2 邊界分紅策略

給定參數(shù)b≥0.如果某一時(shí)刻保險(xiǎn)公司的盈余大于b并觀測到分紅，則將超出部分作為分紅分給公司股東.設(shè)δ＞0為紅利折現(xiàn)因子；T為保險(xiǎn)公司的實(shí)質(zhì)性破產(chǎn)時(shí)刻；D為保險(xiǎn)公司在時(shí)間[0，T]內(nèi)的分紅總量；V（x，b）為初始資本金為x時(shí)D的貼現(xiàn)期望值，即

本研究得到V（x，b）滿足以下微分方程：

其中：V（x，b）與V′（x，b）是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)，并滿足V（-∞，b）=0，當(dāng)x→∞時(shí)，V（x，b）線性有界.

方程（2）～（4）的推導(dǎo)過程如下：

當(dāng)0＜x＜b時(shí)，由于U（t）是關(guān)于t的連續(xù)函數(shù)，所以可以選取充分小的時(shí)間dt，使U（t）在（0，dt）時(shí)間段內(nèi)的值不超出（0，b）的范圍.由此有

所以有

將式（6）和式（7）代入式（5），等式兩邊同除以dt，并令dt→0，即可得到方程（3）.

當(dāng)x＞b時(shí)，對(duì)超出b的部分，若進(jìn)行觀察，則分紅，否則不分紅.所以有

類似方程（3）的計(jì)算過程可得方程（4）.

當(dāng)x＜0時(shí)，若破產(chǎn)，則不分紅，否則分紅.由未破產(chǎn)的概率1-ω（x）dt，可得

同樣，類似前述方法，可得方程（2）.

3 V（x，b）的計(jì)算

由于x＞0時(shí)，ω（x）=0，所以方程（2）與方程（3）是一致的.方程（4）對(duì)應(yīng)的齊次方程為方程（3），所以首先求解方程（2）.

3.1 ω（x）為常函數(shù)的情況

當(dāng)ω（x）=a時(shí)，由方程（2）得

令t=-z2/2，f（z）=g（t），代入上式得Kummer方程

由引理得此方程的解為

其中A1、B1∈R.由此得

由于V（x，b）在x=0連續(xù)，故可設(shè)V（0，b）=B1.

3.2 ω（x）為線性函數(shù)的情況

當(dāng)ω（x）=-λx，x＜0時(shí)，有

令z=σ-2α-1（c+αx-λσ2α-1）2，f（z）=g（x），代入上式得

則此Kummer方程的解為

其中A2、B2∈R，則有

根據(jù)V（x，b）在x=0和x=b的連續(xù)性，A2、B2可用V（0，b）與V（b，b）表示.

3.3 當(dāng)0＜x≤b時(shí)V（x，b）的計(jì)算

當(dāng)0＜x≤ b時(shí)，V（x，b）滿足方程（3），由于V（x，b）是關(guān)于x和b的二元函數(shù)，且V″（x，b）、V′（x，b）與V（x，b）的系數(shù)中均不含有b，故設(shè)V（x，b）= φ（b）h（x），由方程（3）得h（x）滿足

σ2h″（x）/2+（c+αx）h′（x）-δh（x）=0 x≥0（11）且h（x）和h′（x）連續(xù).

在方程（2）的解中，令a=0，得方程（11）的解為

因?yàn)閔（0）與h′（0）在x=0處連續(xù)，所以可用h（0）與h′（0）表示A2、B2.由上式計(jì)算得

因此A2、B2的表達(dá)式為

3.4 當(dāng)x＞b時(shí)V（x，b）的計(jì)算

當(dāng)x＞b時(shí)，V（x，b）滿足方程（4），其對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的解為

而方程（4）的一個(gè)特解為

所以，方程（4）的通解為

由x→∞時(shí)V（x，b）線性有界，得A3=0.即

由于V（x，b）在x=b處連續(xù)，將x=b代入，得

又因?yàn)閂（b，b）=φ（b）h（b），對(duì)V（x，b）關(guān)于x求導(dǎo)，并令x=b，有

所以

4 最優(yōu)分紅邊界的確定

若V（x，b*）=，則稱b*為最優(yōu)分紅邊界.使V（x，b）最大，即使φ（b）最大.設(shè)b*＞0，令φ（b）的導(dǎo)數(shù)為0.計(jì)算得其中：

故b*滿足GI-FH=0.

[1]王永茂，祁曉玉.基于經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅和最優(yōu)注資[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2014，46（2）：37-40.

[2]ALBRECHER H，CHEUNG E C，THONHAUSER K.Randomized observation periods for the compound Poisson risk model：dividends[J]. ASTIN Bulletin，2011，41（2）：645-672.

[3] ASMUSSEN S，TAKSAR M.Controlled diffusion models for optimal dividend pay-out[J].Insurance：Mathematics and Economics，1997，20（1）：1-15.

[4]ALBERCHER H，GERBER H U，SHIU E S W.The optimal dividend barrier in the Gamma-Omega model[J].European Actuarial Journal，2011，1（1）：43-56.

[5] 鄧麗，譚激揚(yáng).復(fù)合二項(xiàng)對(duì)偶模型的最優(yōu)分紅問題[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2014，31（4）：102-106.

[6]項(xiàng)明寅，危佳欽.具有隨機(jī)保費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅策略[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2011，27（1）：39-47.

（責(zé)任編校 馬新光）

Optimal dividend barrier in Ornstein-Uhlenback type model

ZHANG Na，WANG Xiulian
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

Based on Ornstein-Uhlenback type model，the differential equations of the expected discounted dividends until bankruptcy under a barrier strategy is obtained.In term of the different initial surplus of companies，the explicit expressions of the expected discounted dividends are arrived.Subsequently，the optimal barrier is determined.

Ornstein-Uhlenback type model；expected discounted dividends；optimal dividend barrier

1671-1114（2015）04-0001-04

O211.67

A

2015-03-11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11401436）；天津師范大學(xué)博士基金資助項(xiàng)目（52XB1204）.

張 娜（1990—），女，碩士研究生.

王秀蓮（1965—），女，副教授，主要從事隨機(jī)過程在金融保險(xiǎn)中應(yīng)用方面的研究.