梁 華，陳文兵，羅金權(quán)，唐元生*

（1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002；2.淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 淮安223300）

p元m序列的三值互相關(guān)分布

梁 華1，2，陳文兵1，羅金權(quán)1，唐元生1*

（1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002；2.淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 淮安223300）

設(shè)m，k是正整數(shù)，e=（m，k）且m/e，k/e均為奇數(shù)，p是滿足pe≡1（mod4）的奇素數(shù)，d=（pm+1）·（pk+1）/4.確定了指數(shù)和的值分布，并給出周期為pm-1的p元m序列｛st｝及其采樣序列｛sdt｝之間的互相關(guān)函數(shù)的值分布.

m序列；互相關(guān)性；指數(shù)和；二次型

具有低相關(guān)性的序列在CDMA通信系統(tǒng)中有重要的應(yīng)用.多年來，周期為pm-1的p元m序列｛st｝及其采樣序列｛sdt｝之間的互相關(guān)性得到了廣泛關(guān)注［1-5］.序列的互相關(guān)性的值分布可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)指數(shù)和的值分布.對于滿足p≡3（mod4）的奇素數(shù)p，奇數(shù)n及 d1=1，d2=（pn+1）/（p+1）+（pn-1）/2，Xia等［6］給出了指數(shù)和S（α，β）的值分布.對于同樣條件的奇素數(shù)p與奇數(shù)n，Choi等［7］研究了d1=1，d2=（pn+1）/（pk+1）+（pn-1）/2且k|n情形下指數(shù)和S（α，β）的值分布，并給出構(gòu)造的新序列集的互相關(guān)值的上界.對滿足m/（m，k）是奇數(shù)，k/（m，k）是偶數(shù)的正整數(shù)m，k及滿足pm≡1（mod4）的奇素數(shù)p，Liang等［8］研究了d1=（pm+ 1）（pk+1）/4，d2=1情形下指數(shù)和S（α，β）的值分布，并給出相應(yīng)的應(yīng)用.在本文中，筆者擬利用有限域上二次型理論，在文獻(xiàn)［8］的基礎(chǔ)上，對滿足k/（m，k）是奇數(shù)的指數(shù)和作進(jìn)一步探討，進(jìn)而研究周期為pm-1的p元m序列｛st｝及其采樣序列｛sdt｝之間的互相關(guān)性，并給出互相關(guān)函數(shù)的值分布.

1　預(yù)備知識

設(shè)m，k是正整數(shù)，e=（m，k）且m/e，k/e均為奇數(shù)；p 是滿足pe≡1（mod4）的奇素數(shù)，q0=pe，q=pm=qs0，其中s=m/e；GF（pi）表示含有pi個元素的有限域，GF（pi）*=GF（pi）＼｛0｝；對于i|j，表示GF（pj）到GF（pi）的跡映射；g是GF（pm）的一個本原元.記d=（pm+1）（pk+1）/4，對于周期為pm-1的p 元m 序列｛st｝，其中之間的互相關(guān)函數(shù)定義為

其中δ=gτ（0≤τ≤q-2），由Cd（τ）定義知，互相關(guān)分布｛Cd（τ）|0≤τ≤q-2｝可由S（-1，β）（β∈GF（q）*）的值分布得到.

設(shè)λ是GF（q0）中的非平方元，由m/e，k/e均為奇數(shù)及pe≡1（mod4）知，λ也是GF（q）中的非平方元且λd=λ.當(dāng)x跑遍GF（q）*中所有元素時，x2，λx2分別跑遍GF（q）*中所有平方元和非平方元各2次，于是

2　主要結(jié)果

［1］陳文兵，唐元生，羅金權(quán).p元m序列與其采樣序列的互相關(guān)性［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，17（4）：12-15.

［2］TRACHTENBERY H M.On the cross-correlation functions of maximal linear recurring sequences［D］.Los Angeles，CA：Univ Southern California，1970.

［3］HELLSETH T.Some results about the cross-correlation function between two maximal linear sequences［J］. Discr Math，1976，16（3）：209-232.

［4］DOBBERTIN H，F(xiàn)ELKE P，HELLESETH T.Niho type cross correlation functions via Dickson polynomials and Kloosterman sums［J］.IEEE Trans Inf Theory，2006，52（2）：613-627.

［5］LUO Jinquan，HELLESETH T，KHOLOSHA A.Two nonbinary sequences with six-valued cross correlation［C］//2011 Fifth International Workshop on Signal Design and its Applications in Communications.Guilin：IEEE，2011：44-47.

［6］XIA Yongbo，ZENG Xiangyong，HU Lei.Further crosscorrelation properties of sequences with decimation factor［J］.Appl Algebra Eng Commun Comput，2010，21（5）：329-342.

［7］CHOI S T，KIM Y S，NO J S.On the cross-correlation of a p-ary m-sequence and its decimated sequences by［J］.IEICE T Commun，2013，96（9）：2190-2197.

［8］LIANG Hua，TANG Yuansheng.The cross correlation distribution of a p-ary m-sequence of period pm-1 and its decimated sequences by d=（pk+1）（pm+1）/4［J］.Finite Fields Appl，2015，31：137-161.

［9］LIDL R，NIEDERREITHER H.Finite fields［M］.Boston：Addison-Wesley，1983：278-289.

［10］LUO Jinquan，F(xiàn)ENG Keqin.On the weight distribution of two classes of cyclic codes［J］.IEEE Trans Inf Theory，2008，54（5）：5332-5344.

p-ary m-sequences with three-valued cross-correlation

LIANG Hua1，2，CHEN Wenbing1，LUO Jinquan1，TANG Yuansheng1*
（1.Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China；2.Sch of Math Sci，Huaiyin Norm Univ，Huai’an 223300，China）

Let m，k be two positive integers with e=（m，k），m/e and k/e are odd，p be an odd prime with pe≡1（mod 4），d=（pm+1）（pk+1）/4.The value distribution of the exponential sumis determined，and the cross-correlation between a p-ary m-sequence｛s｝of

m-sequence；cross-correlation；exponential sum；quadratic form

O157.4

A

1007-824X（2015）02-0015-03

（責(zé)任編輯 何青玉）

2014-12-26.*聯(lián)系人，E-mail：ystang@yzu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目（61379004）.

梁華，陳文兵，羅金權(quán)，等.p元m序列的三值互相關(guān)分布［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2015，18（2）：15-17，25.

tperiod pm-1 and its decimated sequence｛sdt｝is given.