劉興鵬，陳佳慧，李立斌

（揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇 揚州225002）

劉興鵬，陳佳慧，李立斌*

（揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇 揚州225002）

利用整環(huán)的單位與Pell方程解的關系，給出了同底的非平方自然數(shù)n對應的整環(huán)的單位群及其亞生成元之間的關系.

整環(huán)；單位群；Pell方程

設I為一個有單位元1環(huán)，非零元ε∈I稱為I的單位，若ε是I中的乘法可逆元，即?ε′∈I使得εε′=1.容易驗證集合U（I）=｛ε∈I|ε是I的單位｝關于I的乘法構成一個群，稱此群為I的單位群.目前，對于單位群結構的研究多見于矩陣環(huán)［1］、群環(huán)［2-4］、結合代數(shù)［5-6］等.例如，Khan等［3］106給出了單位群U（FS4）的性質，Halasi［7］描述了Dn代數(shù)單位群的一些特征，屈寅春等［8］證明了單位元群是素數(shù)階循環(huán)群直和的剩余類環(huán)，Davis等［9］給出了有限單群是單位群的條件.本文主要根據(jù)數(shù)論和近世代數(shù)基本理論，利用整環(huán)中的單位與Pell方程解的關系對整環(huán)單位群的結構進行研究.

1　單位的充要條件

其中n為非平方自然數(shù).

定理1［10］中的單位的充要條件是x，y滿足方程x2-ny2=1或x2-ny2= -1.

2　單位群的結構

定義2 Pell方程（1）（2）中滿足x＞0，y＞0的解稱為正解.

由文獻［11］可知，存在方程（1）或（2）的正解（x1，y1），使得方程x2-ny2=±1的任意解（x，y）可由

確定.于是，方程x2-ny2=±1的解完全由正解（x1，y1）所確定，則稱此正解為最小正解，從而得出下面的定理.

3　單位群間的關系

［1］JANEZ S.Lifting units in clean rings［J］.J Algebra，2013，381（1）：200-208.

［2］HERTWECK M，H?FERT C R，KIMMERLE W.Finite groups of units and their composition factors in the integral group rings of the groups PSL（2，q）［J］.J Group Theory，2009，12（6）：873-882.

［3］KHAN M，SHARMA R K，SRIVASTAVA J B.The unit group of FS4［J］.Acta Math Hungar，2008，118（1/2）：105-113.

［4］KIMMERLE W.Unit groups of integral group rings：old and new［J］.Jahresber Dtsch Math-Ver，2013，115（2）：101-112.

［5］TANG Gaohua，WEI Yangjiang，LI Yuanlin，et al.Unit groups of group algebras of some small groups［J］. Czech Math J，2014，64（1）：149-157.

［6］GILDEA J.Units of group algebras of non-abelian groups of order 16 and exponent 4 over F F2k［J］.Results Math，2012，61（3/4）：245-254.

［7］HALASI Z.On the characters of the unit group of DN-algebras［J］.J Algebra，2006，302（2）：678-685.

［8］屈寅春，楊一超，李立斌.單位元群是素數(shù)階循環(huán)群直和的剩余類環(huán)［J］.揚州大學學報：自然科學版，2010，13（3）：1-4.

［9］DAVIS C，OCCHIPINTI T.Which finite simple groups are unit groups［J］.J Pure Appl Algebra，2014，218（4）：743-744.

［11］潘成洞，潘成彪.初等數(shù)論［M］.北京：北京大學出版社，2005：355-360.

The structure of unit group U（z［］）

LIU Xingpeng，CHEN Jiahui，LI Libin*
（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

By using the relationship between the unit group of domain z［］and the solution of Pell equation，the author considers some structures of unit groups of domain z［］under the framework of the quasi-generators，where n has the same-based non-square natural numbers.

domain；unit group；Pell equation

O153.3；O154

A

1007-824X（2015）02-0005-03

（責任編輯 林 子）

2014-04-15.*聯(lián)系人，E-mail：lbli@yzu.edu.cn.

高等學校博士點基金資助項目（20123250110005）；全國大學生科技創(chuàng)新基金資助項目（201311117029Z）.

劉興鵬，陳佳慧，李立斌.單位群U（z［］）的結構［J］.揚州大學學報：自然科學版，2015，18（2）：5-7，11.