徐保根，謝 偉，萬(wàn)義和，湯四龍，龔 輝，丁學(xué)科

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一種基于廣義特征向量的改進(jìn)ESPRIT測(cè)向算法

徐保根1，謝 偉2，萬(wàn)義和1，湯四龍1，龔 輝1，丁學(xué)科1

(1. 同方電子科技有限公司 江西九江 332007; 2. 電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院 成都 611731)

基于信號(hào)子空間的ESPRIT算法不需要進(jìn)行譜峰搜索，但是估計(jì)方差大于MUSIC算法。該文提出了一種基于廣義特征向量的ESPRIT算法，利用信號(hào)子空間旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系矩陣的廣義特征向量估計(jì)信號(hào)波達(dá)方向，得到了比基于廣義特征值算法更準(zhǔn)確的方向估計(jì)結(jié)果。該算法充分利用了信號(hào)子空間的旋轉(zhuǎn)不變特性，通過(guò)利用信號(hào)子空間與陣列流形的關(guān)系進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)，實(shí)驗(yàn)證明該算法能夠在保持小計(jì)算量的優(yōu)勢(shì)下達(dá)到與MUSIC算法相近的性能。

波達(dá)方向; 廣義特征向量; 最小二乘; 陣列流形

陣列信號(hào)處理廣泛地應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、無(wú)線(xiàn)通信、地震學(xué)等領(lǐng)域，波達(dá)方向估計(jì)(空間譜估計(jì))作為陣列信號(hào)處理中的一個(gè)重要研究方向，近幾十年來(lái)吸引了大批學(xué)者進(jìn)行研究，以最大似然算法(ML)[1]為代表的子空間擬合類(lèi)算法估計(jì)精度最高，但該算法需要求解一個(gè)多維非線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題，運(yùn)算量相當(dāng)大，不利于工程應(yīng)用。

子空間類(lèi)算法中MUSIC算法[2]以分辨力強(qiáng)、穩(wěn)定性好以及在一定條件下能夠逼近克拉美-羅界[7]而得到了很大的重視，但是需要譜峰搜索。而作為MUSIC算法的孿生算法，ESPRIT算法[3]應(yīng)用信號(hào)子空間的旋轉(zhuǎn)不變特性得到波達(dá)方向估計(jì)的閉式解，避免了計(jì)算量大的問(wèn)題。但是ESPRIT算法僅利用到信號(hào)子空間旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系矩陣的廣義特征值，而由于噪聲的影響導(dǎo)致自相關(guān)矩陣估計(jì)存在誤差，這對(duì)特征值的估計(jì)造成了波動(dòng)[4]。

針對(duì)傳統(tǒng)ESPRIT算法估計(jì)方差大的問(wèn)題，本文利用波達(dá)方向與廣義特征值向量的關(guān)系進(jìn)行求解，通過(guò)關(guān)系矩陣與陣列流形的關(guān)系，進(jìn)行信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)。該方法計(jì)算量低，可以得到多個(gè)估計(jì)值，將其平均以達(dá)到對(duì)波動(dòng)抑制的效果，最終達(dá)到與MUSIC算法逼近的估計(jì)性能。

1 信號(hào)模型

(2)

(4)

2 旋轉(zhuǎn)不變特性

ESPRIT算法最基本的假設(shè)是存在兩個(gè)完全相同的兩個(gè)子陣，針對(duì)本文信號(hào)模型可選取陣列的前個(gè)陣元為子陣1，后個(gè)陣元為子陣2，兩個(gè)子陣接收的數(shù)據(jù)分別為和：

由陣列流形的范德蒙特性易得到陣列流形旋轉(zhuǎn)不變性關(guān)系：

(6)

在信號(hào)不相關(guān)的假設(shè)下可知，陣列流形與自相關(guān)矩陣的信號(hào)子空間具有相同的值域。因此存在一個(gè)唯一的非奇異矩陣使得下式成立：

(8)

(10)

3 基于特征向量的ESPRIT算法

3.1 基于廣義特征向量的ESPRIT算法

然后，由陣列流形的范德蒙特性有：

(16)

3.2 廣義特征向量矩陣的求解

廣義特征向量的求解可以采用QZ分解[8]。在式(10)中給出了信號(hào)子空間旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系矩陣同陣列流形旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系矩陣的關(guān)系：，從而可以將求解廣義特征向量和廣義特征值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解，并通過(guò)的特征分解得到特征向量和特征值[12]。

(18)

(20)

迭代求解算法包括STLS算法[10]、SLS算法[5]和CTLS算法[6]等。但這類(lèi)算法借助高斯迭代或逆迭代求解大大增加了運(yùn)算量，因此對(duì)這類(lèi)算法不做考慮。

3.3 算法流程及分析

根據(jù)上述分析可以得到基于廣義特征向量的波達(dá)方向估計(jì)算法流程如下：

2) 對(duì)自相關(guān)矩陣進(jìn)行奇異值分解，通過(guò)提取大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量劃分信號(hào)子空間，如式(8)所示；

4) 對(duì)式(18)或式(20)進(jìn)行特征值分解或者利用QZ分解求解廣義特征值分解，得到廣義特征向量矩陣估計(jì)；

6) 利用式(16)對(duì)波達(dá)方向進(jìn)行估計(jì)。

基于廣義特征向量的ESPRIT算法具有傳統(tǒng)ESPRIT算法計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)，增加的計(jì)算量集中體現(xiàn)在式(14)及式(16)的上，僅僅增加了次乘法運(yùn)算及次加法運(yùn)算。不考慮ESPRIT算法與MUSIC算法都存在的計(jì)算過(guò)程，MUSIC算法譜峰搜索需要計(jì)算量為，為網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)。而以QZ算法為例，需要[8]，加上增加的計(jì)算量仍然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于MUSIC算法(一般有)。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

為了討論基于廣義特征向量的ESPRIT算法的性能，在同一環(huán)境下分別采用基于譜峰搜索的MUSIC算法、基于廣義特征值的ESPRIT算法以及基于廣義特征向量的ESPRIT算法進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)的3個(gè)實(shí)驗(yàn)。

仿真條件為8個(gè)陣元組成的均勻線(xiàn)陣，陣元間隔為1/2個(gè)波長(zhǎng)，噪聲均為高斯白噪聲。為了討論在不同條件下的性能，每個(gè)試驗(yàn)都重復(fù)進(jìn)行了500次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)一：信噪比的影響

實(shí)驗(yàn)設(shè)置3個(gè)非相關(guān)的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶高斯信號(hào)源分別從-20.1°、1°及29.2°入射到陣列。每次實(shí)驗(yàn)快拍數(shù)均取20。為了討論信噪比對(duì)算法估計(jì)的影響，信噪比取值范圍為-5 dB到20 dB，每隔3 dB取一個(gè)值，針對(duì)每個(gè)信噪比設(shè)置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。結(jié)果如圖1所示。

圖1 均方根誤差隨信噪比變化曲線(xiàn)

實(shí)驗(yàn)二：快拍數(shù)的影響

信號(hào)源個(gè)數(shù)以及來(lái)波方向設(shè)置如實(shí)驗(yàn)一。快拍數(shù)取值范圍為10～100，每隔5取一個(gè)值。針對(duì)每個(gè)設(shè)置的快拍數(shù)分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。信噪比均設(shè)置為10 dB。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

實(shí)驗(yàn)三：多目標(biāo)估計(jì)效果

設(shè)置信噪比固定為10 dB，快拍數(shù)為20。為了考慮估計(jì)目標(biāo)個(gè)數(shù)對(duì)算法性能的影響，分別進(jìn)行了7次實(shí)驗(yàn)。第()次實(shí)驗(yàn)分別取[-50.35°,-35.75°,-19.6°,-4.2°,10.41°,24.3°,43.8°]中的前個(gè)值為入射信號(hào)的角度，入射信號(hào)均為非相關(guān)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖2 均方根誤差隨快拍數(shù)變化曲線(xiàn)

圖3 均方根誤差隨信號(hào)個(gè)數(shù)變化曲線(xiàn)

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

從3個(gè)實(shí)驗(yàn)看出，基于廣義特征值分解的ESPRIT算法不管在任何情況下估計(jì)性能均優(yōu)于基于特征值的ESPRIT算法，特別在信噪比小或快拍數(shù)小的情況下，基于廣義特征向量的ESPRIT算法與MUSIC算法的均方根誤差曲線(xiàn)接近重合。

為了度量基于廣義特征向量的ESPRIT算法對(duì)基于廣義特征值的ESPRIT算法的改進(jìn)程度，引入改進(jìn)率概念：

綜合3次試驗(yàn)的結(jié)果，在不同信噪比、快拍數(shù)下，基于廣義特征向量的ESPRIT的平均改進(jìn)率達(dá)到了18%。在不同信源個(gè)數(shù)下的改進(jìn)率分別為[15% 12% 10% 8% 5% 2% 0]。

5 結(jié)束語(yǔ)

旋轉(zhuǎn)不變矩陣特征值含有波達(dá)方向信息，但是利用該信息估計(jì)波達(dá)方向誤差較大。本文在ESPRIT算法框架下提出利用廣義特征向量對(duì)波達(dá)方向進(jìn)行估計(jì)。首先建立驅(qū)動(dòng)矢量與廣義特征向量的關(guān)系；然后利用陣列位置及信號(hào)波長(zhǎng)的先驗(yàn)信息反演出波達(dá)方向，提高了ESPRIT算法的估計(jì)精度。

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編 輯 張 俊

An Improved ESPRIT Algorithm Based on Generalized Eigenvectors

XU Bao-gen1, XIE Wei2, WAN Yi-he1, TANG Si-long1, GONG Hui1, and DING Xue-ke1

(1. TongFang Electronic Science and Technology Co. Ltd. Jiujiang Jiangxi 332007; 2. School of Electronic Engineering, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731)

Estimation of signal parameters via rotational invariance techniques (ESPRIT) algorithm does not need spectral peak searching, but the estimated variance is greater than the multiple signal classification (MUSIC) algorithm. This paper proposes a generalized eigenvector-based ESPRIT algorithm, which makes full use of generalized eigenvectors of rotation invariant relationship matrix and obtains a better performance when compared with traditional ESPRIT algorithm. The experimental results show that the proposed algorithm can achieve the similar performance of the MUSIC algorithm while keeping a low computational complexity.

direction of arrival; generalized eigenvector; least squares approximations; matrix manifold

TN911

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2015.02.007

2013-04-01；

2015-01-13

國(guó)家自然科學(xué)基金(61401069)

徐保根(1965-)，男，高級(jí)工程師，主要從事陣列信號(hào)處理方面的研究.