王春陽(yáng)，劉雪蓮

（長(zhǎng)春理工大學(xué)，電子信息工程學(xué)院，長(zhǎng)春　130022）

分?jǐn)?shù)階Fourier變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用研究

王春陽(yáng)，劉雪蓮

（長(zhǎng)春理工大學(xué)，電子信息工程學(xué)院，長(zhǎng)春130022）

本文綜述了分?jǐn)?shù)階Fourier變換的定義、數(shù)值化實(shí)現(xiàn)方法及其應(yīng)用。重點(diǎn)比較了三種數(shù)值化實(shí)現(xiàn)方法的優(yōu)缺點(diǎn)，詳細(xì)闡釋了離散采樣型數(shù)值化方法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。此外，本文對(duì)分?jǐn)?shù)階Fourier變換在數(shù)字水印、信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)和生理信號(hào)去噪等信號(hào)處理中的應(yīng)用做了概述，系統(tǒng)闡釋其算法原理與處理過(guò)程。最后，總結(jié)了分?jǐn)?shù)階Fourier變換在時(shí)變、非平穩(wěn)等復(fù)雜信號(hào)處理中表現(xiàn)出的優(yōu)勢(shì)，并展望了今后的研究發(fā)展方向。

分?jǐn)?shù)階Fourier變換（FrFT）；數(shù)值化實(shí)現(xiàn)；數(shù)字水??；信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)；生理信號(hào)去噪

分?jǐn)?shù)階Fourier變換（Fractional Fourier Transform，F(xiàn)rFT）因其具有許多傳統(tǒng)Fourier變換不具備的性質(zhì)受到眾多研究人員的關(guān)注，在很多科學(xué)研究和工程技術(shù)領(lǐng)域均有應(yīng)用，如量子力學(xué)［1-4］、光學(xué)系統(tǒng)和光信號(hào)處理［5，6］、光圖像處理［7-9］等。FrFT之所以首先在光信號(hào)處理中得到了應(yīng)用，是因?yàn)楣鈱W(xué)實(shí)現(xiàn)相對(duì)比較容易，而直到20世紀(jì)90年代中期，由于提出了多種分?jǐn)?shù)階Fourier變換的離散化方法及其快速實(shí)現(xiàn)算法，才使得FrFT真正在電信號(hào)處理領(lǐng)域中體現(xiàn)出其應(yīng)用價(jià)值［10-12］。

FrFT作為一種新的信號(hào)分析工具，在信號(hào)處理領(lǐng)域中具有非常廣泛的應(yīng)用前景。近幾年，新的研究成果也不斷涌現(xiàn)。從處理方法的角度來(lái)分析，目前國(guó)內(nèi)外對(duì)FrFT的應(yīng)用研究主要圍繞以下幾種思想：

（1）利用FrFT的聚焦性。直接將傳統(tǒng)Fourier變換的某些理論和應(yīng)用推廣到分?jǐn)?shù)階Fourier變換域。傳統(tǒng)的Fourier變換通常用于平穩(wěn)信號(hào)的分析與處理，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)、時(shí)變信號(hào)的分析處理能力則失效，而FrFT對(duì)該類(lèi)信號(hào)表現(xiàn)出良好的分析能力。傳統(tǒng)Fourier變換可以理解為信號(hào)在一組完備正交的正弦基上的展開(kāi)，因此正弦信號(hào)的Fourier變換是一個(gè)沖激函數(shù)；FrFT則可以理解為信號(hào)是在一組正交的Chirp基上的展開(kāi)，相應(yīng)地，Chirp信號(hào)在某個(gè)特定階次的FrFT也是一個(gè)沖激函數(shù)，我們稱(chēng)其為聚焦性。聚焦性對(duì)分析和處理Chirp類(lèi)信號(hào)是十分有利的，其直接應(yīng)用就是對(duì)Chirp信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)。正是由于Chirp信號(hào)廣泛應(yīng)用于通信、聲納、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中，尤其是現(xiàn)代雷達(dá)系統(tǒng)，因此基于FrFT的分析與處理算法被用于雷達(dá)信號(hào)處理中的多目標(biāo)檢測(cè)與跟蹤、SAR與ISAR成像、運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì)等技術(shù)中［13-17］。

（2）利用FrFT的時(shí)頻旋轉(zhuǎn)特性。一個(gè)信號(hào)的FrFT的Wigner分布是原信號(hào)Wigner分布的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)形式。FrFT的這種時(shí)頻旋轉(zhuǎn)特性對(duì)于分析與處理非平穩(wěn)信號(hào)是十分有利的。在實(shí)際工程應(yīng)用中，有用信號(hào)的提取與噪聲的抑制是一項(xiàng)十分重要的課題。傳統(tǒng)濾波方法一般只限于頻域加窗或遮隔處理，但是當(dāng)信號(hào)與噪聲之間存在較強(qiáng)的時(shí)頻耦合時(shí)，傳統(tǒng)的濾波器難以有效實(shí)現(xiàn)信噪分離。此時(shí)，利用FrFT將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)到合適的角度，在新的分?jǐn)?shù)階Fourier變換域上解除信號(hào)與噪聲之間的耦合，可實(shí)現(xiàn)噪聲的完全濾除和信號(hào)的無(wú)失真恢復(fù)。這就是分?jǐn)?shù)階Fourier域?yàn)V波的基本原理［18-22］。

（3）利用FrFT與短時(shí)Fourier變換、小波變換、Wigner分布、Radon-Wigner變換等時(shí)頻分析工具的內(nèi)在聯(lián)系，改進(jìn)了一些非平穩(wěn)信號(hào)的處理方法，并進(jìn)一步擴(kuò)展了FrFT的應(yīng)用領(lǐng)域。如Radon-Wigner變換經(jīng)常用于分析各種時(shí)變信號(hào)，而FrFT與Radon-Wigner變換之間的關(guān)系表明：信號(hào)FrFT后的模平方恰好是該方向上的Radon-Wigner變換。基于這一關(guān)系，Radon-Wigner變換的許多研究成果均可以直接應(yīng)用到FrFT中。此外，在某些場(chǎng)合，用FrFT來(lái)替代其他的時(shí)頻變換還可以帶來(lái)一些優(yōu)勢(shì)，如FrFT可以借助FFT實(shí)現(xiàn)，計(jì)算方法較為簡(jiǎn)便；另一方面，F(xiàn)rFT是一種一維線(xiàn)性變換，在多分量信號(hào)情況下，可以有效地避免交叉項(xiàng)的干擾［18，23］。

本文從分?jǐn)?shù)階Fourier變換的定義、離散化方法及其應(yīng)用三個(gè)層面對(duì)分?jǐn)?shù)階Fourier變換的理論體系進(jìn)行闡述。具體內(nèi)容如下：首先，介紹了分?jǐn)?shù)階Fourier變換的定義；然后，闡述了分?jǐn)?shù)階Fourier變換的離散化算法，對(duì)各種離散化方法進(jìn)行了對(duì)比，重點(diǎn)分析了離散采樣型分?jǐn)?shù)階Fourier變換的計(jì)算方式；其次介紹了分?jǐn)?shù)階Fourier變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用，包括數(shù)字水印、信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)、生理信號(hào)去噪；最后，對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)，對(duì)今后的研究方向進(jìn)行了展望。

1　分?jǐn)?shù)階Fourier變換定義

分?jǐn)?shù)階Fourier變換又稱(chēng)為角度Fourier變換（AFT）或者旋轉(zhuǎn)Fourier變換（RFT），其函數(shù)x（t）的FrFT定義如下［24］：

根據(jù)式（1）和式（2），F(xiàn)rFT的定義式改寫(xiě)為：

2　分?jǐn)?shù)階Fourier變換離散化

FrFT自誕生以來(lái)，憑借自身的優(yōu)勢(shì)和廣闊的應(yīng)用潛力在各個(gè)領(lǐng)域中受到廣泛的關(guān)注，如同快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）大力推動(dòng)了Fourier變換理論飛速發(fā)展一樣，為了在實(shí)際工程中能夠?qū)崿F(xiàn)分?jǐn)?shù)階Fourier算子、濾波器、相關(guān)器以及其他系統(tǒng)的應(yīng)用，需要對(duì)FrFT進(jìn)行數(shù)值化實(shí)現(xiàn)［24，25］。為了便于計(jì)算機(jī)處理，必須對(duì)輸入信號(hào)和FrFT的核函數(shù)進(jìn)行離散化處理，從FrFT的基本定義可看出其離散化計(jì)算比DFT復(fù)雜的多，因此，一種高效精確的FrFT離散化和快速算法是工程應(yīng)用中急需解決的問(wèn)題。

為了確保離散化分?jǐn)?shù)階Fourier變換（DFRFT）在基本概念上的縝密性，每個(gè)真正“嚴(yán)格”的形式都需符合以下性質(zhì)［26-30］：（1）旋轉(zhuǎn)相加性；（2）酉性；（3）當(dāng)變換階次為1時(shí)，退化為DFT；（4）變換階次的連續(xù)性；（5）近似連續(xù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換；（6）具有快速算法；（7）有閉合表達(dá)式。國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出的許多離散方法中沒(méi)有一種方法能夠同時(shí)滿(mǎn)足上述所有要求。目前，主要有三種比較可行的離散化方法［31-33］：離散釆樣型、特征分解型、線(xiàn)性加權(quán)型。表1給出了這三種DFRFT的對(duì)比結(jié)果。

表1　三種DFRFT的對(duì)比結(jié)果

目前已有的各種DFRFT算法中，離散采樣型DFRFT與連續(xù)變換近似，其精度較高、計(jì)算復(fù)雜度低、運(yùn)算量小并有閉合形式的表達(dá)式，因此廣泛應(yīng)用于分?jǐn)?shù)域非均勻釆樣與重構(gòu)、chirp信號(hào)檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)、分?jǐn)?shù)域?yàn)V波等研究領(lǐng)域中，是目前應(yīng)用最廣的數(shù)值計(jì)算方法之一。

該算法是由Ozaktas提出［34］，又被稱(chēng)作分解法。由式（1）定義的連續(xù)FrFT出發(fā)，先將復(fù)雜的積分表達(dá)式進(jìn)行分解，簡(jiǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算，再通過(guò)離散化，最后得到其離散卷積的表達(dá)式，該離散卷積即可用FFT計(jì)算，因此本文主要介紹采樣型方法的實(shí)現(xiàn)。

另外，需要特別強(qiáng)調(diào)的是，必須對(duì)信號(hào)進(jìn)行量綱歸一化［35］處理后才能對(duì)其進(jìn)行FrFT數(shù)值計(jì)算，這一特殊技巧在離散化過(guò)程中起到了非常重要的作用。

量綱歸一化具體過(guò)程如下：

其中T表示信號(hào)的時(shí)寬，F(xiàn)表示信號(hào)的帶寬。則量綱歸一化坐標(biāo)為：

量綱歸一化后的信號(hào)可以進(jìn)行采樣型DFRFT，具體步驟如下［36］：

步驟2：g（t）與chirp信號(hào)exp（jπt2cscφ）做卷積，即

DFRFT可以借助FFT實(shí)現(xiàn)，其流程圖如圖1所示。

圖1　a階FrFT流程圖

3　FrFT在信號(hào)處理中的應(yīng)用

3.1數(shù)字水印

近幾年，隨著互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，越來(lái)越多的數(shù)字信息在網(wǎng)上被傳送和發(fā)布，相應(yīng)地，信息竊取、信息詐騙等違法活動(dòng)也日益猖獗。因此，信息安全領(lǐng)域迫切需要一種保密技術(shù)，可以有效地對(duì)數(shù)字信息進(jìn)行保護(hù)，數(shù)字水印技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生。

傳統(tǒng)數(shù)字水印方法可以分為空間域和變換域兩種水印算法，其中變換域方法較為常用，如離散余弦變換、離散傅里葉變換、離散小波變換等。這些方法加入水印后，當(dāng)圖像進(jìn)行幾何變形、旋轉(zhuǎn)、噪聲干擾、圖像壓縮和剪切等操作時(shí)，水印信息容易丟失，因此算法的魯棒性不高。2001年，Djurovic等人［37］首次將FrFT應(yīng)用于數(shù)字水印，這種水印算法靈活性更高，其后又出現(xiàn)了一些改進(jìn)算法［38-40］，進(jìn)一步增強(qiáng)了數(shù)字水印的魯棒性。

3.1.1水印嵌入

首先，對(duì)大小為M×N的載體圖像I進(jìn)行分塊，記作Ii，i=1，2，3…，對(duì)每塊圖像進(jìn)行變換階次為（a1，a2）的二維FrFT，此階次作為數(shù)字水印的密鑰，變換后得到Ii的FrFT系數(shù)矩陣，將其按降序排列，記為變換系數(shù)Si，i=1，2，3…。

然后，產(chǎn)生一組偽隨機(jī)序列R，對(duì)待嵌入的水印圖像信息W（i，j）進(jìn)行加密，加密后的水印信息記作Wˉ（i，j），其中=W+R。

其中，Sj∈Si，σ表示水印嵌入的強(qiáng)度。

最后，將嵌入水印后的變換系數(shù)Sw重新排列為矩陣，并對(duì)其進(jìn)行二維FrFT，其中變換階次為（-a1，-a2），得到的含水印的圖像記作Iw。水印嵌入過(guò)程如圖2所示。

3.1.2水印提取

水印提取與水印嵌入的過(guò)程正好相反，他們互為逆過(guò)程。對(duì)于存在疑問(wèn)的圖像檢測(cè)其中是否含有水印信息的過(guò)程，稱(chēng)為水印提取。首先對(duì)待檢測(cè)圖像Iw進(jìn)行分塊，然后分別對(duì)其進(jìn)行（a1，a2）階的二維FrFT，選擇原始水印的嵌入位置，利用原始圖像信息提取疊加信息W*：

最后將疊加信號(hào)中的偽隨機(jī)序列R去除，得到水印信息W：

水印提取過(guò)程如圖3所示。

3.2信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)

圖2　水印嵌入過(guò)程示意圖

圖3　水印提取過(guò)程示意圖

由于分?jǐn)?shù)階Fourier變換可以解釋為Chirp基分解，因此分?jǐn)?shù)階Fourier變換特別適合于處理Chirp類(lèi)信號(hào)。在雷達(dá)、聲納等通信系統(tǒng)中常用的信號(hào)就是線(xiàn)性調(diào)頻（Chirp）信號(hào)，由于它在FrFT域中不同的階次呈現(xiàn)出不同的能量聚集性，如圖4所示，通過(guò)這一特性在FrFT域中進(jìn)行峰值二維搜索，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)Chirp信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)。

圖4　FrFT的能量聚集性

目前，對(duì)Chirp信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)的大多數(shù)研究［41-45］均是基于這一思想，系統(tǒng)框圖如圖5所示。

圖5　Chirp信號(hào)參數(shù)估計(jì)系統(tǒng)框圖

設(shè)x（t）為待檢測(cè)的LMF信號(hào)，即

其中，f0表示信號(hào)的初始頻率，k表示信號(hào)的調(diào)頻率，n（t）表示高斯噪聲。

通過(guò)量綱歸一化后對(duì)其進(jìn)行FrFT，得到其二維分布圖，如圖6所示。

圖6　FrFT的二維分布圖

通過(guò)以上計(jì)算，可完成對(duì)Chirp信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)，在高斯噪聲背景下較低信噪比時(shí)，該方法仍然表現(xiàn)出十分好的檢測(cè)效果。

3.3生理信號(hào)去噪

生理信號(hào)屬于非平穩(wěn)的低頻微弱信號(hào)，具有長(zhǎng)相關(guān)特性，且與干擾信號(hào)存在較強(qiáng)的時(shí)頻耦合，如腦電信號(hào)［46，47］，心電信號(hào)［48］，肌電信號(hào)［49］等，這類(lèi)隨機(jī)信號(hào)的波形和相位一方面受采集方式和環(huán)境的影響，另一方面，不同的采集對(duì)象所表現(xiàn)出的生理信號(hào)波形的特征也是不同的。

一般情況下，我們無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)當(dāng)前實(shí)現(xiàn)中的隨機(jī)信號(hào)在某一刻的取值，但是，隨機(jī)信號(hào)一般服從確定的概率分布和聯(lián)合概率分布。以心電信號(hào)為例，信號(hào)的取值具有確定的概率分布和概率密度函數(shù)。另外，經(jīng)過(guò)多次實(shí)際觀察與統(tǒng)計(jì)，可以明確掌握心電信號(hào)具有哪些確定的統(tǒng)計(jì)特征量，這些統(tǒng)計(jì)特征量能夠反映信號(hào)的許多性質(zhì)，這些性質(zhì)正是評(píng)價(jià)心血管疾病，特別是心臟功能的重要依據(jù)。在生理信號(hào)中，一個(gè)噪聲點(diǎn)可能會(huì)導(dǎo)致某些疾病的誤判，因此，為了獲得清晰準(zhǔn)確的生理信號(hào)波形，提高分析和診斷的精確性，必須對(duì)信號(hào)進(jìn)行一定的分析和處理，使數(shù)據(jù)曲線(xiàn)更平滑，特征點(diǎn)更突出。

如果信號(hào)與噪聲在時(shí)間軸上的投影不存在重疊（如圖7（a）所示），那么可以在時(shí)域中采用合適的濾波器濾除噪聲；如果信號(hào)與噪聲在頻率軸投影不存在重疊（如圖7（b）所示），那么可以通過(guò)合適的濾波器在頻域中濾掉此時(shí)的干擾；但是當(dāng)信號(hào)和干擾噪聲在時(shí)域和頻域中的投影均存在重疊，即存在時(shí)頻耦合（如圖7（c）所示），此時(shí)不可能只通過(guò)時(shí)域或頻域?yàn)V波完全濾除噪聲。但是，分?jǐn)?shù)階Fourier變換可以將坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)到某一角度，解除時(shí)頻耦合，最大程度地濾除噪聲。也就是說(shuō)，在某個(gè)角度的分?jǐn)?shù)階Fourier域能夠得到更好的信號(hào)與噪聲分離效果。不僅如此，時(shí)域和頻域還可以看作是特殊情況下的分?jǐn)?shù)階Fourier變換域，當(dāng)變換階次a=0時(shí)，對(duì)應(yīng)時(shí)域，當(dāng)變換階次a=1時(shí)，對(duì)應(yīng)頻域，如圖7所示。

因此，可以利用在分?jǐn)?shù)階Fourier域中信號(hào)和噪聲分離的特點(diǎn)對(duì)生理信號(hào)進(jìn)行FrFT，找到使信號(hào)與噪聲分離時(shí)的最佳旋轉(zhuǎn)角度，在此分?jǐn)?shù)階Fourier域中進(jìn)行濾波，然后再對(duì)其進(jìn)行分?jǐn)?shù)階Fourier逆變換，最后得到去噪信號(hào)，具體算法如圖8所示。

圖7　信號(hào)與噪聲的時(shí)頻分布圖

圖8　去噪算法框圖

通過(guò)上述的分析，該算法的具體步驟如下［50］：

（1）根據(jù)FrFT的對(duì)稱(chēng)性，變換階次a∈［0，2），求輸入信號(hào)x（n）的FrFT；

（2）對(duì)變換后的信號(hào)進(jìn)行二維搜索，找到最佳變換階次a′；

（3）計(jì)算信號(hào)x（n）在階次為a′時(shí)的FrFT；

（4）在最佳分?jǐn)?shù)階Fourier變換域中進(jìn)行濾波；

（5）對(duì)濾波后的信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階Fourier逆變換，即-a′階FrFT，得到時(shí)域輸出信號(hào)y（n）。

4　結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)近年來(lái)分?jǐn)?shù)階Fourier變換在數(shù)字水印、信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)以及生理信號(hào)處理中的研究成果進(jìn)行了總結(jié)，對(duì)分?jǐn)?shù)階Fourier變換的理論體系做了系統(tǒng)的闡述。從分?jǐn)?shù)階Fourier變換域與時(shí)域、頻域之間的關(guān)系可以看出，分?jǐn)?shù)階Fourier變換實(shí)質(zhì)上是一種統(tǒng)一的時(shí)頻變換，能夠同時(shí)反映出信號(hào)在時(shí)域、頻域的信息。通過(guò)本文介紹的幾種分?jǐn)?shù)階Fourier變換在信號(hào)處理領(lǐng)域中的應(yīng)用可以發(fā)現(xiàn)，它適于處理如Chirp類(lèi)的非平穩(wěn)信號(hào)，而且因?yàn)槎嗔艘粋€(gè)變換階次的自由參量，所以分?jǐn)?shù)階Fourier變換在某些條件下往往能夠得到傳統(tǒng)時(shí)頻分布或Fourier變換所得不到的效果，由于其具有比較成熟的快速離散化算法，在得到更好效果的同時(shí)并不需要付出太多的計(jì)算代價(jià)，因此具有十分廣闊的工程應(yīng)用前景。

至今為止，有關(guān)分?jǐn)?shù)階Fourier變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用研究已經(jīng)取得了豐碩成果，但是仍然存在許多理論和工程上的問(wèn)題需要解決。如在數(shù)字水印中，分?jǐn)?shù)階Fourier變換體現(xiàn)出較為理想的魯棒性，因此應(yīng)將分?jǐn)?shù)階Fourier變換推廣到圖像邊緣檢測(cè)、圖像增強(qiáng)、模式識(shí)別等領(lǐng)域，拓寬其在圖像處理中的應(yīng)用范圍，提高圖像處理的質(zhì)量；在Chirp信號(hào)的參數(shù)估計(jì)方面，在高斯噪聲背景下FrFT表現(xiàn)出良好的估計(jì)效果，然而如何處理更加復(fù)雜的噪聲，如非均勻噪聲、有色噪聲、非高斯噪聲等情況，都是未來(lái)的研究和發(fā)展方向；在處理如生理信號(hào)這類(lèi)非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，通過(guò)分?jǐn)?shù)階Fourier變換可以將信號(hào)與噪聲進(jìn)行分離，但是非平穩(wěn)信號(hào)是一個(gè)龐大而復(fù)雜的研究領(lǐng)域，不僅需要先進(jìn)的理論支持，還涉及到多個(gè)交叉學(xué)科，在這一領(lǐng)域仍有很多問(wèn)題有待進(jìn)一步研究。因此不僅要拓寬分?jǐn)?shù)階Fourier變換在信號(hào)處理領(lǐng)域中的應(yīng)用，如在聲信號(hào)、通信信號(hào)、生物醫(yī)學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方面的應(yīng)用，還應(yīng)對(duì)其加以改進(jìn)，與其他的信號(hào)處理技術(shù)相結(jié)合，形成優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的新技術(shù)，為解決非高斯、非平穩(wěn)、非因果等“非”的問(wèn)題提出解決方案。

［1］Namias V.The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics［J］.IMA JournalofAppliedMathematics，1980，25（3）：241-265.

［2］MendlovicD，OzaktasHM.FractionalFourier transformsandtheiropticalimplementation：I［J］. JOSA A，1993，10（9）：1875-1881.

［3］OzaktasHM，MendlovicD.FractionalFouriertransforms and their optical implementation.II［J］. JOSA A，1993，10（12）：2522-2531.

［4］Cai L Z，Wang Y Q.Optical implementation of scale invariant fractional Fourier transform of continuously variable orders with a two-lens system［J］. Optics&Laser Technology，2002，34（3）：249-252.

［5］Bernardo L M，Soares O D D.Fractional Fourier transforms and optical systems［J］.Optics Communications，1994，110（5）：517-522.

［6］Ozaktas H M，Aytür O.Fractional Fourier domains ［J］.Signal Processing，1995，46（1）：119-124.

［7］Bernardo L M，Soares O D D.Fractional Fourier transforms and imaging［J］.JOSA A，1994，11（10）：2622-2626.

［8］ Lohmann A W.Image rotation，Wigner rotation，and the fractional Fourier transform［J］.JOSA A，1993，10（10）：2181-2186.

［9］ Liu S，Ren H，Zhang J，et al.Image-scaling problem in the optical fractional Fourier transform［J］. Applied optics，1997，36（23）：5671-5674.

［10］Saxena R，Singh K.Fractional Fourier transform：A novel tool for signal processing［J］.Journal of the Indian Institute of Science，2013，85（1）：11.

［11］ Ozaktas H M，Zalevsky Z，Kutay M A.The fractionalFouriertransform［M］.Wiley，Chichester，2001.

［12］Tao R，Deng B，Wang Y.Research progress of the fractional Fourier transform in signal processing ［J］.Science in China Series F，2006，49（1）：1-25.

［13］ 殷敬偉，惠俊英，蔡平等.基于分?jǐn)?shù)階 Fourier變換的水聲信道參數(shù)估計(jì)［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2007，29（10）：1624-1627.

［14］Wang Q，Pepin M，Beach R J，et al.SAR-based vibrationestimationusingthediscretefractional Fouriertransform［J］.GeoscienceandRemote Sensing，IEEETransactionson，2012，50（10）：4145-4156.

［15］ Guan J，Chen X L，Huang Y，et al.Adaptive fractional Fourier transform-based detection algorithm for moving target in heavy sea clutter［J］.IET Radar，Sonar&Navigation，2012，6（5）：389-401.

［16］Liu Y，Wang X S.The analysis of the effect for a micro-motion jamming to multi-aperture SAR/ GMTI base on fractional Fourier transform［J］.Dianzi Xuebao（Acta Electronica Sinica），2011，39（9）：2039-2045.

［17］Sun H B，Liu G S，Gu H，et al.Application of the fractional Fourier transform to moving target detection in airborne SAR［J］.Aerospace and Electronic Systems，IEEE Transactions on，2002，38（4）：1416-1424.

［18］Yu J，Liu K，Huang X，et al.A novel fractional Fourier domain filter design based on time-frequency image edge detection［C］.The Proceedings of the Second International Conference on Communications， SignalProcessing， andSystems. Springer International Publishing，2014：213-223.

［19］Ran T，Siyong Z，Yue W.Adaptive time-varying filter for linear FM signal in fractional Fourier domain［C］.6thIEEEInternationalConferenceon Signal Processing，2002，2：1425-1428.

［20］Elgamel S A，Soraghan J J.Enhanced monopulse radar tracking using filtering in fractional Fourier domain［C］.2010IEEEonRadarConference. 2010：247-250.

［21］Elgamel S A，Soraghan J J.Using EMD-FrFT filtering to mitigate very high power interference in chirp tracking radars［J］.Signal Processing Letters，IEEE，2011，18（4）：263-266.

［22］Zhai M Y.Seismic data denoising based on the fractional Fourier transformation［J］.Journal of Applied Geophysics，2014，109：62-70.

［23］ Han J，Wang Q，Qin K.The non-stationary signal oftime-frequencyanalysisbasedonfractional FouriertransformandWigner-Houghtransform ［M］.Mechatronics and Automatic Control Systems. Springer International Publishing，2014.

［24］Sejdi E，Djurovi I，Stankovi L J.Fractional Fourier transform as a signal processing tool：an overview of recent developments［J］.Signal Processing，2011，91（6）：1351-1369.

［25］Marinho F J，Bernardo L M.Numerical calculation offractionalFouriertransformswithasingle fast-Fourier-transformalgorithm［J］.JOSAA，1998，15（8）：2111-2116.

［26］Shi J，Sha X，Song X，et al.Generalized convolutiontheoremassociatedwithfractionalFourier transform［J］.Wireless Communications and Mobile Computing，2014，14（13）：1340-1351.

［27］AlmeidaLB.ThefractionalFouriertransform and time-frequency representations［J］.Signal Processing，IEEETransactionson，1994，42（11）：3084-3091.

［28］Almeida L B.Product and convolution theorems for the fractional Fourier transform［J］.Signal Processing Letters，IEEE，1997，4（1）：15-17.

［29］Pei S C，Ding J J.Closed-form discrete fractional and affine Fourier transforms［J］.Signal Processing，IEEE Transactions on，2000，48（5）：1338-1353.

［30］Candan C，Kutay M A，Ozaktas H M.The discrete fractional Fourier transform［J］.Signal Processing，IEEETransactionson，2000，48（5）：1329-1337.

［31］Pei S C，Yeh M H.Two dimensional discrete fractional Fourier transform［J］.Signal Processing，1998，67（1）：99-108.

［32］ Dickinson B W，Steiglitz K.Eigenvectors and functions of the discrete Fourier transform［J］.IEEE Transactions on Acoustics，Speech，and Signal Processing，1982，30（1）：25-31.

［33］ Pei S C，Yeh M H，Tseng C C.Discrete fractional Fourier transform based on orthogonal projections［J］.Signal Processing，IEEE Transactions on，1999，47（5）：1335-1348.

［34］ Ozaktas H M，Arikan O，Kutay M A，et al.Digital computation of the fractional Fourier transform［J］. IEEE Transactions on signal processing，1996，44 （9）：2141-2150.

［35］ 劉鋒，徐會(huì)法，陶然.分?jǐn)?shù)階Fourier變換中量綱歸一化因子的選取［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2011，33（2）：237-241.

［36］ 黃宇，劉鋒，王澤眾，等.基于周期FRFT的LFMCW信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)［J］.中國(guó)科學(xué)：信息科學(xué)，2014，4：007.

［37］ Djurovic I，Stankovic S，Pitas I.Digital watermarking in the fractional Fourier transformation domain ［J］.Journal of Network and Computer Applications，2001，24（2）：167-173.

［38］Yu F Q，Zhang Z K，Xu M H.A digital watermarkingalgorithmforimagebasedonfractional Fourier transform［C］.1ST IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications，2006：1-5.

［39］FengZ，XiaominM，ShouyiY.Multiple-chirp typed blind watermarking algorithm based on fractional Fourier transform［C］.Intelligent Signal Processing and Communication Systems，2005：141-144.

［40］Rawat S，Raman B.A blind watermarking algorithm based on fractional Fourier transform and visual cryptography［J］.Signal Processing，2012，92 （6）：1480-1491.

［41］ 徐會(huì)法，劉鋒，張?chǎng)?分?jǐn)?shù)階Fourier域強(qiáng)弱LFM信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)［J］.信號(hào)處理，2011，27（7）：1063-1068.

［42］ 唐江，趙擁軍，朱健東，等.基于FrFT的偽碼-線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法［J］.信號(hào)處理，2012，28（9）：1271-1277.

［43］ 朱健東，趙擁軍，唐江.線(xiàn)性調(diào)頻連續(xù)波信號(hào)的周期分?jǐn)?shù)階 Fourier變換檢測(cè)與估計(jì)［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2013，35（8）：1827-1833.

［44］ Liu F，Xu H F，Tao R，et al.Research on resolution between multi-component LFM signals in the fractional Fourier domain［J］.Science China Information Sciences，2012，55（6）：1301-1312.

［45］ Wang J Z，Su S Y，Chen Z P.Parameter estimation of chirp signal under low SNR［J］.Science China Information Sciences，2015，58（2）：1-13.

［46］Guerrero-MosqueraC，VerleysenM，VazquezA N.EEG feature selection using mutual information and support vector machine：A comparative analysis ［C］.2010 Annual International Conference of the IEEE on Engineering in Medicine and Biology Society（EMBC），2010：4946-4949.

［47］ Khalid M B，Rao N I，Rizwan-i-Haque I，et al.A BrainComputerInterface（BCI） usingfractional Fourier transform with time domain normalization and heuristic weight adjustment［C］.9th IEEE International Conference on.Signal Processing，2008：2734-2737.

［48］Krishna B T.Electrocardiogram signal and linear time-frequency transforms［J］.Journal of The Institution of Engineers（India）：Series B，2014，95 （4）：377-382.

［49］Delk K K，Gevirtz R，Hicks D A，et al.The effectsofbiofeedbackassistedbreathingretraining on lung functions in patients with cystic fibrosis ［J］.CHEST Journal，1994，105（1）：23-28.

［50］ 徐婷.分?jǐn)?shù)階Fourier變換在心電信號(hào)處理中的應(yīng)用研究［D］.西安工業(yè)大學(xué)，2012.

An Overview of Applied Research for Fractional Fourier Transform in Signal Processing

WANG Chunyang，LIU Xuelian
（School of Electronics and Information Engineering，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

In this paper，we provide an overview of the definition，digital realizations and applications of the Fractional Fourier transform.Specifically，the paper discusses various approaches for digital realizations of the FrFT and compares their advantages and disadvantages，and then，explains the implementation procedure of DFRFT through sampling of FrFT in detail.Furthermore，the paper introduces the applications of FrFT in digital watermarking signal detection and parameter estimation，physiological signal denoising，and illuminates systematically their algorithm principles and processing procedures.Finally，the paper summarizes the advantages of the fractional Fourier transform in non-stationary and time-varying complex signal processing，and looks ahead to the research and development directions in the future.

fractional Fourier transform（FrFT）；digital realizations；digital watermarking；signal detection and parameter estimation；physiological signal denoising

TN911

A

1672-9870（2015）05-0001-08

2015-10-12

王春陽(yáng)（1964-），女，博士，教授，E-mail：wangchunyang19@cust.edu.cn