楊英杰

（銅仁學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 銅仁 554300 ）

常見(jiàn)的數(shù)學(xué)解題思想

楊英杰

（銅仁學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 銅仁 554300 ）

常見(jiàn)的數(shù)學(xué)解題思想有四類(lèi)：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合。本文討論這四類(lèi)數(shù)學(xué)解題思想在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)。

函數(shù)與方程；化歸；分類(lèi)討論；數(shù)形結(jié)合

“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”是上世紀(jì) 80年代非常響亮的一句口號(hào)，這也充分說(shuō)明數(shù)理化在生活當(dāng)中的重要意義。而數(shù)理化當(dāng)中最難學(xué)好的是數(shù)學(xué)，很多學(xué)生，提到數(shù)學(xué)就頭疼。那么該如何學(xué)好數(shù)學(xué)呢？要想學(xué)好數(shù)學(xué)，就要掌握數(shù)學(xué)解題思想，思想掌握了，學(xué)好數(shù)學(xué)自然就輕松多了。本文重點(diǎn)探討四類(lèi)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)解題思想：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合，將這四類(lèi)數(shù)學(xué)解題思想逐一闡述，并結(jié)合例題進(jìn)行分析說(shuō)明。

1.函數(shù)與方程

函數(shù)與方程的思想即是通過(guò)對(duì)問(wèn)題中的各數(shù)量的依賴關(guān)系的分析，將問(wèn)題定性為函數(shù)問(wèn)題或方程問(wèn)題，然后通過(guò)對(duì)函數(shù)或方程的討論解決問(wèn)題［1］。下面結(jié)合例題進(jìn)行分析。

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，y1）、B點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，y2），x1，x2為方程（1）的兩根，那么（1）必為二次方程，所以2-k2≠0，且由韋達(dá)定理可知：

解得k=1，故直線AB的方程為：1yx=+。

本題是將所求量作為未知數(shù)置于相關(guān)量的依附中，從兩個(gè)不同的方面去研究目標(biāo)，建立等量關(guān)系，從而得到一個(gè)方程，進(jìn)而通過(guò)解方程求得未知數(shù)的值，有一定的技巧。

2.轉(zhuǎn)化與化歸

轉(zhuǎn)化與化歸思想在于將未知的、繁雜的問(wèn)題通過(guò)演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的、相對(duì)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，化繁為簡(jiǎn)，有利于求解［2］。常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法有：一般特殊化、等價(jià)轉(zhuǎn)化、復(fù)雜簡(jiǎn)單化、變量代換等。下面結(jié)合例題進(jìn)行分析。

本題采用變量代換使得問(wèn)題簡(jiǎn)化。在運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想時(shí)，重點(diǎn)與難點(diǎn)是輔助函數(shù)的選擇。輔助函數(shù)選擇適當(dāng)，問(wèn)題就迎刃而解；反之，會(huì)使計(jì)算更加繁瑣。所以選擇時(shí)要慎重，有時(shí)候要反復(fù)嘗試。

3.分類(lèi)討論

當(dāng)一個(gè)問(wèn)題因?yàn)槟撤N相應(yīng)的量或圖形的情況不同而有可能導(dǎo)致問(wèn)題的結(jié)論不同時(shí)，需要對(duì)這個(gè)相應(yīng)的量或圖形的各種情況進(jìn)行分類(lèi)討論。分類(lèi)討論是一種重要的解題方法，常常能起到簡(jiǎn)化問(wèn)題達(dá)成解決問(wèn)題的作用。解題過(guò)程實(shí)質(zhì)是一個(gè)變形過(guò)程，往往需要對(duì)問(wèn)題做一些假設(shè)，從而引起分類(lèi)討論［3］。

例3 求函數(shù)y=（k+1）x2+x-k與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：本題的題設(shè)是不唯一的，這樣的函數(shù)是什么函數(shù)？因此要進(jìn)行分類(lèi)討論，一類(lèi)是一次函數(shù)，一類(lèi)是二次函數(shù)。

（1）如果k=-1，則函數(shù)為一次函數(shù)，那么它與x軸唯一交點(diǎn)為 （-1，0）；

b. 當(dāng)Δ=0，解得k=-1/2時(shí)，因此有一個(gè)交點(diǎn)，為（-1，0）；

綜上所述，我們可知：

當(dāng)k=-1時(shí)，與x軸交點(diǎn)為（-1，0）；

當(dāng)k=-1/2時(shí)，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，為（-1，0）。

由上面例子可知，對(duì)于分類(lèi)討論問(wèn)題，審清題意是關(guān)鍵，如果不認(rèn)真審題，往往會(huì)出現(xiàn)漏解或者重復(fù)求解的情況。因此在做此類(lèi)型的題目時(shí)一定要審好題，考慮全面，把所有可能出現(xiàn)的情況一一羅列出來(lái)，分別討論，這樣才能做好此類(lèi)問(wèn)題。教師在講解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一定要求學(xué)生認(rèn)真審題，拒絕粗心大意，考慮所有情況，從而有效解題。

4.數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合就是既分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的代數(shù)意義，又揭示其幾何意義。幾何圖形更加直觀，更好理解，有利于求解；反過(guò)來(lái)，圖形的求解又依賴于代數(shù)來(lái)表述。因此，二者是相輔相成的關(guān)系［4］。

例4 如圖1所示，在四邊形ABCD中，ΔABD、ΔBCD 和 ΔABC的面積之比為3：4：1，點(diǎn)M、N分別在AC、CD上，且滿足AM：AC=CN： CD，且B、M、N三點(diǎn)共線。求證：M與N分別是AC和CD的中點(diǎn)。

圖1　例4示意圖

證明：在 KDCΔ的三邊（所在直線）CD、DK、KC被一直線分別截于點(diǎn)N、B、M，則由珻勒嶗（Menelaus）定理可得，

由于AM：AC=CN： CD ，則可以假設(shè)

又由于 ABDΔ，BCDΔ和 ABCΔ的面積之比為3：4：1，則

所以

本題通過(guò)珻勒嶗（Menelaus）定理把幾何題轉(zhuǎn)化為代數(shù)題，從而運(yùn)用代數(shù)方法解決問(wèn)題。

5.小結(jié)

本文探討了常見(jiàn)的四類(lèi)數(shù)學(xué)解題思想，并用例子加以說(shuō)明，從中我們可以看出數(shù)學(xué)解題思想在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用的一個(gè)梗概。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)將數(shù)學(xué)解題思想與整個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)的講解、傳授融為一體?！笆谌艘贼~(yú)，不如授人以漁”，教師在教學(xué)中不但要注重傳授學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，而且更重要的是注重傳授學(xué)生數(shù)學(xué)解題思想。通過(guò)對(duì)習(xí)題的講解使學(xué)生逐步掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)解題思想，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，使學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)。在這一過(guò)程中，教師應(yīng)提高自身的教學(xué)修養(yǎng)，提升教學(xué)理念，真正以“人”為本提高課堂效益與教學(xué)質(zhì)量。

［1］張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論［M］.第二版.北京：高等教育出版社，2009.

［2］呂鳳祥.中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2003.

［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版社，1991.

［4］張雄，李得虎.數(shù)學(xué)方法論與解題研究［M］.北京：高等教育出版社，2009.

On the Thinking of Solving the Mathematics Problems.

YANG Ying-jie
（School of Mathematics and Computer Science，Tongren University，Tongren，Guizhou 554300，China ）

Common mathematics problem-solving thoughts have four categories： function and equation，transformation and reduction，classification discussion，combination of number and shape. The paper discussed the four categories for application in study as to guide the students to learn mathematics well.

function and equations，transformation and reduction，classification discussion，combination of number and shape

G424

A

1673-9639 （2015） 04-0190-03

（責(zé)任編輯 毛志）（責(zé)任校對(duì) 徐松金）（英文編輯 田興斌）

2014-04-17

本文系貴州省科技廳項(xiàng)目（黔科合J字LKT［2012］24號(hào)），銅仁學(xué)院自然科學(xué)基金（TS10018）研究成果。

楊英杰（1982-），女，副教授，碩士，主要研究方向：最優(yōu)化方法、生物信息學(xué)、控制論。