莊科俊

（安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030 ）

一個定積分不等式的八種證明方法

莊科俊

（安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030 ）

對一個定積分不等式，通過八種證明方法闡明了定積分不等式證明中的一些方法及技巧。

定積分；不等式；積分中值定理；積分上限函數(shù)

1.引言

定積分不等式是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，對數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)的影響。定積分不等式的證明方法和技巧非常靈活和多樣，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷探索和總結(jié)。有不少文獻(xiàn)對一些特殊的定積分不等式的證明做出了探討［1-3］。本文針對哈爾濱工業(yè)大學(xué)2003年考研題中的一個定積分不等式的證明題，利用八種不同的方法進(jìn)行了證明，借此闡明定積分不等式證明中的常用方法及技巧。

2.定積分不等式的證明

問題：設(shè)f（x）在［0，1］上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：

下面利用不同的知識，構(gòu)建了八種不同的證明方法。

2.1.利用定積分定義

由于函數(shù)xf（x）與f（x）在［0，1］上都可積，所以可以選取等份分割T ：

根據(jù)f（x）的單調(diào)性，對充分大的n，則有

不論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，總有

令n→∞，根據(jù)定積分的定義不等式得證。

2.2.利用換元法

作變換t=x2，則

2.3.利用二重積分

從而得證。

2.4.利用函數(shù)單調(diào)性

2.5.利用微分中值定理

2.6.利用積分第一中值定理

2.7.利用推廣的積分第一中值定理

2.8.利用積分第二中值定理

利用積分第二中值定理的推論［4］，存在，使得

由函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增以及0＜ξ＜1，則

，可得

。證畢。

［1］殷劍峰.一些特殊積分不等式證明的探討［J］.蘭州文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2014：28（1）：23-26.

［2］海杰.一道積分不等式的四種證法［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2012，15（6）：46-47.

［3］蔣永鋒.關(guān)于積分不等式的幾種證明方法［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2012，15（6）：53-55.

［4］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）［M］.第四版.北京：高等教育出版社，2010.

（School of Statistics and Applied Mathematics，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu，Anhui 233030，China ）

Eight Proofs for an Integral Inequality

ZHUANG Ke-jun

In the paper，in order to prove an integral inequality，some common methods and techniques are illustrated by eight proofs for an integral inequality.

definite integral，inequality，integral mean value theorem，integral upper limit function

O172.2

A

1673-9639 （2015） 04-0188-02

（責(zé)任編輯 毛志）（責(zé)任校對 徐松金）（英文編輯 田興斌）

2014-08-15

本文系安徽財經(jīng)大學(xué)教學(xué)研究項目（acjyyb2014090）研究成果。

莊科?。?982-），男，江蘇金壇人，講師，碩士，主要從事微分方程的研究。