尹犟，周先雁，易偉建，陳伯望，段紹偉

?

基于改進(jìn)隨機(jī)地震動(dòng)模型的概率反應(yīng)譜

尹犟1，周先雁1，易偉建2，陳伯望1，段紹偉1

(1. 中南林業(yè)科技大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410004；2. 湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410082)

結(jié)合我國(guó)現(xiàn)行抗震規(guī)范(GB 50011—2010)，給出一種改進(jìn)隨機(jī)地震動(dòng)模型的相關(guān)參數(shù)。推導(dǎo)單自由度體系(SDOFS)彈性加速度需求的條件概率模型，進(jìn)而建立彈性SDOFS的概率加速度需求譜以及概率位移需求譜。在此基礎(chǔ)上，據(jù)強(qiáng)度折減系數(shù)與延性系數(shù)之間的關(guān)系，確定SDOFS非彈性位移需求的條件概率分布函數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用隨機(jī)振動(dòng)理論和概率方法，建立非彈性SDOFS在給定強(qiáng)度地震作用下及50 a設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)的概率位移需求譜。從美國(guó)太平洋地震工程研究中心收集大量實(shí)測(cè)地震記錄，基于大量SDOFS動(dòng)力時(shí)程分析的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，對(duì)本文方法所得的理論結(jié)果進(jìn)行Monte Carlo數(shù)值驗(yàn)證。研究結(jié)果表明：該理論方法準(zhǔn)確、合理，且計(jì)算效率高。

概率譜；非彈性位移；地震需求；條件概率分布；隨機(jī)地震動(dòng)模型

20世紀(jì)90年代美國(guó)學(xué)者首先提出了基于性能的抗震工程(performance-based seismic engineering, PBSE)這一全新理念，隨后各國(guó)學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研 究[1?2]。作為世界地震工程領(lǐng)域的權(quán)威機(jī)構(gòu)，美國(guó)太平洋地震工程研究中心(PEER)對(duì)PBSE理論進(jìn)行了系統(tǒng)研究后指出，由于結(jié)構(gòu)抗震領(lǐng)域存在眾多不確定因素(如地震強(qiáng)度、結(jié)構(gòu)反應(yīng)等)，PBSE理論應(yīng)以概率可靠度為基礎(chǔ)[3]。與傳統(tǒng)的抗震理念不同，PBSE理論非常重視結(jié)構(gòu)在強(qiáng)震下的非彈性位移需求即結(jié)構(gòu)的最大位移反應(yīng)。在這一背景下，近年來(lái)各種非彈性位移譜已成為世界地震工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[4?5]。Hatzigeorgiou[4]基于多組近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)地震記錄，定量地研究了地震層序?qū)巫杂啥润w系延性需求譜的影響。Athanassiadou等[6]根據(jù)震級(jí)、震中距以及峰值地面加速度，將大量采自希臘的實(shí)測(cè)地面運(yùn)動(dòng)記錄分為3組，驗(yàn)證了歐洲規(guī)范8中建議的彈性和非彈性位移設(shè)計(jì)譜，給出了位移設(shè)計(jì)譜修正系數(shù)的理論公式。呂西林等[7]研究了結(jié)構(gòu)強(qiáng)度水平、周期、場(chǎng)地類別及設(shè)計(jì)分組等因素對(duì)結(jié)構(gòu)延性需求的影響。Zhai等[8]研究了效應(yīng)對(duì)于等強(qiáng)度位移比譜的影響，發(fā)現(xiàn)效應(yīng)的影響會(huì)隨著延性系數(shù)的增大而越來(lái)越明顯。然而，上述研究大都未結(jié)合當(dāng)今PBSE理論的主流發(fā)展方向，即以概率可靠度理論為基礎(chǔ)。易偉建等[9]建立了結(jié)構(gòu)的隨機(jī)延性需求譜，但其研究主要基于大量雙線性單自由度體系的動(dòng)力時(shí)程分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果，無(wú)法與我國(guó)現(xiàn)行抗震規(guī)范GB 50011—2010(簡(jiǎn)稱“抗震規(guī)范”)中給出的設(shè)計(jì)譜完全匹配。薛樹(shù)則等[10]基于設(shè)計(jì)譜標(biāo)定了Clough隨機(jī)地震動(dòng)模型中的相關(guān)參數(shù)，但僅研究了隨機(jī)地震動(dòng)模型本身及其參數(shù)，并未給出建立概率地震需求譜的相關(guān)方法。為此，本文作者結(jié)合我國(guó)現(xiàn)行抗震規(guī)范，確定一種改進(jìn)隨機(jī)地震動(dòng)模型的相關(guān)參數(shù)，進(jìn)而基于隨機(jī)振動(dòng)理論和概率方法，推導(dǎo)結(jié)構(gòu)彈性及非彈性位移需求的條件概率分布函數(shù)，建立結(jié)構(gòu)彈性及非彈性位移需求的條件概率譜。Monte Carlo數(shù)值驗(yàn)證結(jié)果表明：采用理論方法建立的位移需求概率譜與時(shí)程分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果在0~6 s周期范圍內(nèi)吻合良好。

1 隨機(jī)地震動(dòng)模型的選擇

抗震規(guī)范給出的設(shè)計(jì)譜來(lái)自于大量實(shí)測(cè)地震記錄加速度反應(yīng)譜的統(tǒng)計(jì)平均。從理論上講，基于隨機(jī)方法建立的加速度均值譜應(yīng)與規(guī)范譜基本吻合。然而，研究[10?11]表明，基于經(jīng)典隨機(jī)地震動(dòng)模型生成的加速度均值譜與規(guī)范譜并不能保持很好一致。為此，尹犟等[11]對(duì)經(jīng)典隨機(jī)地震動(dòng)模型進(jìn)行了改進(jìn)，將譜適因子()的概念引入其自功率譜密度函數(shù)表達(dá)式，力求能夠在反應(yīng)譜的每個(gè)周期點(diǎn)處對(duì)自功率譜密度函數(shù)進(jìn)行調(diào)整，最終使按隨機(jī)方法生成的加速度均值譜和規(guī)范譜保持一致。為充分說(shuō)明改進(jìn)隨機(jī)地震動(dòng)模型與抗震規(guī)范的適應(yīng)性，本文列出部分基于改進(jìn)模型建立的加速度均值譜?建立方法[11?12]，并將其按地面加速度峰值PG進(jìn)行規(guī)則化處理，見(jiàn)圖1。為方便比較，圖1同時(shí)列出規(guī)則化規(guī)范譜以及基于歐進(jìn)萍等[13]建立的規(guī)則化加速度均值譜。

(a) Ⅱ類場(chǎng)地第2組(阻尼比為0.05)；(b) Ⅲ類場(chǎng)地第2 組(阻尼比0.02)

從圖1可見(jiàn)：由于引入了譜適因子()，基于改進(jìn)隨機(jī)地震動(dòng)模型[11]建立的規(guī)則化加速度均值譜與規(guī)范譜在0~6 s周期范圍內(nèi)較吻合。為使本文理論研究成果和現(xiàn)行抗震規(guī)范之間保持良好的適應(yīng)性，下面所推導(dǎo)的概率地震需求譜均建立在改進(jìn)隨機(jī)地震動(dòng)模型[12]的基礎(chǔ)之上，即

式中：1，1，1和1為與結(jié)構(gòu)特征周期有關(guān)的系數(shù)。的具體取值見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。

2 彈性地震需求的條件概率分布及條件概率譜

線彈性單自由度體系(SDOFS)在平穩(wěn)化地面加速度時(shí)程()作用下的運(yùn)動(dòng)方程為

由隨機(jī)振動(dòng)理論可知：

；

NG()=()SG() (8)

式中：NG()和SG(t)分別為非平穩(wěn)及平穩(wěn)地面加速度時(shí)間歷程；()為時(shí)間包絡(luò)函數(shù)，

s為衰減系數(shù)；1和2分別為地震動(dòng)平穩(wěn)段起始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間。上述參數(shù)與震級(jí)、震中距和場(chǎng)地條件相關(guān)，本文參照文獻(xiàn)[11]的建議取值。

由隨機(jī)振動(dòng)理論可知，NG()的方差和SG()的方差之間存在如下關(guān)系：

表1 改進(jìn)隨機(jī)地震動(dòng)模型的參數(shù)

由維納?辛欽關(guān)系可知，平穩(wěn)化地面加速度()與平穩(wěn)地面加速度SG()的方差分別為

綜合考慮式(11)及式(13)可得

將式(5)，(14)和(1)依次代入式(7)，并變換積分順序可得

式中：為積分系數(shù)。對(duì)于小阻尼線性體系，可參照文獻(xiàn)[14]中的方法近似計(jì)算，即

考慮到式(6)近似關(guān)系，并由隨機(jī)振動(dòng)理論可知：

由隨機(jī)極值理論[15]可知，線彈性SDOFS在平穩(wěn)化地震隨機(jī)激勵(lì)()作用下，其最大地震反應(yīng)的概率分布函數(shù)為

同理可知[14]，最大地震反應(yīng)的均值和方差分別為

在0~6 s周期范圍內(nèi)計(jì)算每個(gè)離散周期點(diǎn)T處的ae(T)或de(T)，并將計(jì)算結(jié)果連成曲線即為給定條件的地震作用下線彈性SDOFS加速度需求或位移需求的條件概率譜ae()和de()。圖2僅列出了PG=1 m/s2時(shí)的部分計(jì)算結(jié)果。

(a) Ⅰ1類場(chǎng)地第2組加速度需求(=0.05)；(b) Ⅰ1類場(chǎng)地第2組位移需求(=0.05)

超越概率：1—10%；2—50%；3—90%

圖2 線彈性單自由度體系加速度需求及位移需求的條件概率譜(PG=1 m/s2)

Fig. 2 Conditional probability spectra of acceleration and displacement demands for elastic SDOF system

3 非彈性位移需求條件概率譜

采用隨機(jī)方法建立線彈性體系位移需求的條件概率譜，它對(duì)于求解結(jié)構(gòu)在強(qiáng)震下的非彈性位移反應(yīng)能力很弱。為此，本文作者力求建立與我國(guó)現(xiàn)行抗震規(guī)范相匹配的非彈性位移需求條件概率譜。

參考規(guī)范要求制定表2所示阻尼比為5%的反應(yīng)譜特征周期g分類分區(qū)表。T根據(jù)Vidic等[15]建議的公式計(jì)算，即

式中：PG和PG分別為地面加速度和速度的峰值；系數(shù)a為加速度控制區(qū)段的譜加速度與峰值地面加速度之比；系數(shù)v為速度控制區(qū)段的譜速度與地面速度峰值之比，根據(jù)Vidic等[15]的研究成果，系數(shù)a和v可分別取為2.5和2.0。

從美國(guó)太平洋抗震研究中心的PEER強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫(kù)中收集大量實(shí)測(cè)地面運(yùn)動(dòng)加速度記錄，并將收集到的實(shí)測(cè)地面運(yùn)動(dòng)加速度記錄按表2進(jìn)行歸類，以便對(duì)按理論方法建立的概率譜進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。

表2 各類地面加速度記錄的數(shù)目及平均特征周期Tg

本節(jié)未逐一列出表2中每一條地震記錄的詳細(xì)信息，如地震名、站臺(tái)名、發(fā)震時(shí)間、地點(diǎn)、震中距、震源深度、峰值地面加速度、峰值地面速度等，具體見(jiàn)文獻(xiàn)[12]。

3.1 非彈性位移需求的條件概率模型

有阻尼非彈性單自由度體系(SDOFS)在地面加速度作用下的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：和分別為非彈性單自由度體系的質(zhì)量和阻尼；，和分別為體系的位移、速度和加速度；g()為地面加速度時(shí)程；()為恢復(fù)力函數(shù)。SDOFS的非彈性力恢復(fù)模型見(jiàn)圖3。

(a) 恢復(fù)力模型；(b) 恢復(fù)力模型歸一化

圖3 SDOFS的非彈性恢復(fù)力模型

Fig. 3 Non-elastic restoration of SDOF system

求解式(23)所示動(dòng)力方程可得SDOFS的非彈性位移需求dp及彈性地震力e。為使分析結(jié)果具有普遍意義，通常按照非彈性SDOFS的屈服位移y以及屈服強(qiáng)度y進(jìn)行歸一化處理，得到2個(gè)量綱為1的參數(shù)和，即

自20世紀(jì)70年代末以來(lái)，人們圍繞??關(guān)系進(jìn)行了研究，取得一系列研究成果[7,16?17]。Gillie等[16]基于145條近場(chǎng)地面運(yùn)動(dòng)記錄，分析了近場(chǎng)地震的“震級(jí)”、“前方向性”等因素對(duì)強(qiáng)度折減系數(shù)的影響，發(fā)現(xiàn)“前方向性”在周期=0.5~3 s的范圍內(nèi)對(duì)的影響較顯著。Hatzigeorgiou[17]以100條地面加速度記錄為輸入，基于8 400個(gè)單自由度體系的非彈性時(shí)程分析結(jié)果，建議了由強(qiáng)度折減系數(shù)確定單自由度體系延性需求的經(jīng)驗(yàn)公式。該公式可考慮結(jié)構(gòu)周期、場(chǎng)地條件、屈服后剛度以及黏性阻尼等因素的影響。呂西林等[7]基于641條地面加速度記錄的時(shí)程分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果，建議考慮場(chǎng)地類別和設(shè)計(jì)地震分組的??關(guān)系回歸公式。本文借鑒其研究成果，采用以下??關(guān)系：

式中：2為系數(shù)，；2和2為回歸系數(shù)，取值見(jiàn)文獻(xiàn)[7]。

由式(24)可知，結(jié)構(gòu)的非彈性位移需求dp等于其屈服位移y和延性系數(shù)的乘積，即：。由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)知識(shí)可知，SDOFS屈服位移和屈服加速度之間存在近似關(guān)系。將y表達(dá)式代入并聯(lián)立式(24)和(25)可得

若強(qiáng)度折減系數(shù)為常數(shù)，則在式(26)基礎(chǔ)上，可得SDOFS非彈性位移需求的概率分布函數(shù)：

3.2 給定強(qiáng)度(PG)下SDOFS非彈性位移需求的條件概率譜

若地震動(dòng)強(qiáng)度PG給定，則式(1)中的譜強(qiáng)度因子0為定值。聯(lián)立式(15)及式(19)即可確定ae的條件概率分布函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)式(27)或式(28)即可計(jì)算任意非彈性位移dp對(duì)應(yīng)的發(fā)生概率。式(27)適用于強(qiáng)度折減系數(shù)為常數(shù)的情況，而式(28)則適用于確定性的結(jié)構(gòu)(屈服強(qiáng)度y為定值)。

另一方面，對(duì)于給定的發(fā)生概率，亦可由式(27)或式(28)確定與之相應(yīng)的非彈性位移dp。在每個(gè)離散的周期點(diǎn)T處計(jì)算dp(T)，并將計(jì)算結(jié)果連成曲線，即為給定條件下SDOFS的概率非彈性位移需求譜。圖4所示為PG=1 m/s2、阻尼比為0.05時(shí)的計(jì)算結(jié)果。圖4(a)所示對(duì)應(yīng)于為常數(shù)的情況，見(jiàn)式(27)；圖4(b)所示對(duì)應(yīng)y為定值的情況，見(jiàn)式(28)。

為檢驗(yàn)上述理論方法的準(zhǔn)確性，采用表2中Ⅱ類場(chǎng)地第2組共52條實(shí)測(cè)加速度記錄對(duì)圖4(b)所示理論結(jié)果進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。具體方法如下：將所有加速度記錄統(tǒng)一縮放至PG=1 m/s2，以縮放后的每條記錄為輸入，對(duì)周期=0~6 s、阻尼比=0.05、屈服加速度y=0.3 m/s2的SDOFS進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析。在每個(gè)離散周期點(diǎn)T處對(duì)時(shí)程分析結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，計(jì)算某一超越概率對(duì)應(yīng)的非彈性位移需求dp(T)，并將dp(T)連成曲線即為所求，見(jiàn)圖4(b)。從圖4(b)可見(jiàn)：對(duì)于確定性的結(jié)構(gòu)，由理論方法建立的概率非彈性位移需求譜與時(shí)程分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果較吻合。由于圖4(a)對(duì)應(yīng)的情況并無(wú)實(shí)際工程意義，本文不進(jìn)行驗(yàn)證。

(a) Ⅱ類場(chǎng)地第2組(R為常數(shù))；(b) Ⅱ類場(chǎng)地第2組(Ay=0.3 m/s2) (其中，實(shí)線為理論計(jì)算結(jié)果，虛線為統(tǒng)計(jì)結(jié)果)

3.3 50 a設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)SDOFS非彈性位移需求的條件概率譜

SDOFS的彈性加速度需求ae()可分解為峰值地面加速度PG和1個(gè)動(dòng)力系數(shù)的乘積。在50 a設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)，PG和都是隨機(jī)變量。PG的隨機(jī)性來(lái)自于地震動(dòng)強(qiáng)度的不確定性，而的隨機(jī)性主要來(lái)自于地震動(dòng)特征(如頻譜、持時(shí)等)。地震工程學(xué)的一般觀點(diǎn)[14]認(rèn)為PG在設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)服從極值Ⅱ型分布：

式中：F()，C()，F(xiàn)和分別為隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)、超越概率、眾值和形狀系數(shù)。本文延用這一結(jié)論，并根據(jù)我國(guó)現(xiàn)行抗震規(guī)范中多遇、設(shè)防和罕遇(超越概率分別為63.2%，10.0%和2.0%~3.0%)三水準(zhǔn)設(shè)防地震對(duì)應(yīng)的PG，確定式(29)中的相關(guān)參數(shù)，見(jiàn)表3。

表3 地面運(yùn)動(dòng)加速度峰值A(chǔ)PG的概率模型參數(shù)

注：1=9.8 m/s2。

如前所述，PG和的隨機(jī)性分別來(lái)自完全不同的2個(gè)方面，不難判斷PG和是2個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，因此，ae在50 a設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)的期望(ae)和方差(ae)可由下式計(jì)算：

式中：(PG)和(PG)分別為峰值地面加速度PG的均值和方差，可根據(jù)PG的概率密度函數(shù)(極值II型)以及表3所示概率模型參數(shù)，運(yùn)用概率論方法確定，即

()為隨機(jī)變量的均值；()為隨機(jī)變量的方差；x()為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)；和分別為動(dòng)力放大系數(shù)的均值和方差，可令式(3)右邊的地面運(yùn)動(dòng)加速度()的峰值PG=1，然后根據(jù)式(20)計(jì)算。此時(shí)，需將式(20)右邊的平穩(wěn)化地震反應(yīng)方差取為平穩(wěn)化動(dòng)力系數(shù)方差。由隨機(jī)振動(dòng)理論可知，若令式(3)右邊的地面運(yùn)動(dòng)加速度()的峰值PG=1，則根據(jù)式(15)計(jì)算所得的平穩(wěn)化加速度方差即為。至此已完全確定式(30)和(31)右邊的相關(guān)參數(shù)，據(jù)此可計(jì)算50 a設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)SDOFS彈性加速度需求ae的均值和方差。在此基礎(chǔ)上，若進(jìn)一步明確ae的概率分布類型，即可完全確定其概率分布函數(shù)。研究表明[19?20]，確定性結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)的最大彈性地震作用服從極值Ⅱ型分布。對(duì)于質(zhì)量確定的彈性SDOFS，這實(shí)際上意味著其加速度需求ae服從極值Ⅱ型分布。本文對(duì)上述觀點(diǎn)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。具體方法如下：1) 根據(jù)不同的抗震設(shè)防烈度，按反函數(shù)法(極值Ⅱ型分布，參數(shù)見(jiàn)表3)對(duì)PG進(jìn)行 1 000次隨機(jī)抽樣；2)將表2中不同條件 (場(chǎng)地類別、設(shè)計(jì)分組)對(duì)應(yīng)的各組地震記錄逐一縮放至每個(gè)PG抽樣值，并以此為輸入對(duì)周期為0.1~6.0 s、阻尼為5%的SDOFS進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析；3) 分析完成后，在每個(gè)周期點(diǎn)T處對(duì)SDOFS的彈性加速度需求ae(T)進(jìn)行置信度為0.05的KS檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果表明：在絕大多數(shù)情況下，ae的確服從極值Ⅱ型分布，且其經(jīng)驗(yàn)概率密度函數(shù)與理論模型較吻合。這里僅將列出部分比較結(jié)果，見(jiàn)圖5。

(a) 7度設(shè)防，Ⅱ類場(chǎng)地，第2組(T=20.1 s)；(b) 8度設(shè)防，Ⅲ類場(chǎng)地，第2組(T=0.1 s)

至此已確定50 a設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)ae的條件概率模型，包括分布類型及參數(shù)。這樣，根據(jù)式(27)或式(28)所示概率函數(shù)即可計(jì)算任意非彈性位移需求dp對(duì)應(yīng)的發(fā)生概率。式(27)適用于強(qiáng)度折減系數(shù)為常數(shù)的情況，式(28)適用于確定性的結(jié)構(gòu)(屈服強(qiáng)度y為定值)。另一方面，對(duì)于給定的發(fā)生概率，也可由式(27)或式(28)確定與之相應(yīng)的dp。在每個(gè)離散的周期點(diǎn)T處計(jì)算dp(T)，并將計(jì)算結(jié)果連成曲線即為50 a設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)SDOFS非彈性位移需求的條件概率譜，其先決條件為抗震規(guī)范中給出的場(chǎng)地類型和設(shè)計(jì)地震分組。圖6所示為8度抗震設(shè)防、Ⅱ類場(chǎng)地、第2設(shè)計(jì)分組、阻尼比為0.05時(shí)的計(jì)算結(jié)果，其中，圖6(a)所示對(duì)應(yīng)的條件為常數(shù)強(qiáng)度折減系數(shù)，圖6(b)所示對(duì)應(yīng)的條件為定值屈服加速度y。

(a) 8度設(shè)防Ⅱ類場(chǎng)地第2組(R為常數(shù))；(b) 8度設(shè)防Ⅱ類場(chǎng)地第2組(Ay=0.3 m/s2) (其中，實(shí)線為理論計(jì)算結(jié)果，虛線為統(tǒng)計(jì)結(jié)果)

為檢驗(yàn)上述理論方法的準(zhǔn)確性，采用表2中Ⅱ類場(chǎng)地第2組實(shí)測(cè)加速度記錄對(duì)圖6(b)所示理論結(jié)果進(jìn)行Monte Carlo數(shù)值驗(yàn)證。具體方法如下：根據(jù)50 a設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)PG的概率分布函數(shù)(極值Ⅱ型)由反函數(shù)法生成一組PG抽樣數(shù)據(jù)，隨后將所選分組中每條地震記錄縮放至每個(gè)PG抽樣值。采用縮放后的地震記錄對(duì)周期=0.1~6.0 s、阻尼比=0.05、屈服加速度y=0.3 m/s2的SDOFS進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析，并在每個(gè)周期點(diǎn)T處對(duì)時(shí)程分析結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，進(jìn)而得到某一超越概率下非彈性位移需求的條件概率譜，見(jiàn)圖6(b)。顯然，在50 a設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)，超越概率分別為10%，50%和90%的SDOFS非彈性位移需求呈非對(duì)稱分布。由理論方法得到的條件概率譜合理地體現(xiàn)了這種偏態(tài)分布特征，且與時(shí)程分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果較吻合。

4 結(jié)論

1) 現(xiàn)行抗震規(guī)范中的設(shè)計(jì)譜取自大量實(shí)際加速度反應(yīng)譜的統(tǒng)計(jì)平均。從理論上講，采用隨機(jī)方法建立的均值譜應(yīng)與之基本吻合。本文將譜適因子引入隨機(jī)地震動(dòng)模型的自功率譜密度函數(shù)，以設(shè)計(jì)譜為均值意義上的基準(zhǔn)，標(biāo)定了改進(jìn)隨機(jī)地震動(dòng)模型中的相關(guān)參數(shù)，并以此為基礎(chǔ)確定了SDOFS彈性加速度需求的條件概率模型，進(jìn)而建立了彈性加速度需求的條件概率譜(其先決條件為抗震規(guī)范中給出的場(chǎng)地類別和設(shè)計(jì)地震分組)。

2) 從非彈性SDOFS強(qiáng)度折減系數(shù)和延性系數(shù)之間的關(guān)系(即??關(guān)系)出發(fā)，基于概率方法和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論，通過(guò)間接方法確定了SDOFS非彈性位移需求dp的概率分布函數(shù)。分2種情況建立了SDOFS在給定強(qiáng)度地震作用下，以及50 a設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)的非彈性位移需求條件概率譜(其先決條件為抗震規(guī)范中給出的場(chǎng)地類別和設(shè)計(jì)地震分組)。

3) 參照現(xiàn)行抗震規(guī)范中的相關(guān)規(guī)定，根據(jù)不同的場(chǎng)地類別和地震分組制定特征周期分區(qū)表。從美國(guó)太平洋抗震研究中心PEER的強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫(kù)中收集大量實(shí)測(cè)地面運(yùn)動(dòng)加速度記錄，并將其按照特征周期分區(qū)表歸類。以歸類后的實(shí)測(cè)記錄為輸入，對(duì)SDOFS彈性加速度需求ae進(jìn)行置信度為0.05的KS檢驗(yàn)，確定多數(shù)情況下ae服從極值Ⅱ型分布。

4) 以歸類后的實(shí)測(cè)地面運(yùn)動(dòng)加速度記錄為輸入，基于大量SDOFS動(dòng)力時(shí)程分析的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，采用Monte Carlo數(shù)值方法建立了SDOFS非彈性位移需求的條件概率譜(超越概率分別為10%，50%和90%)，并將其與本文理論方法所得的結(jié)果進(jìn)行比較。理論方法所需計(jì)算工作量遠(yuǎn)比Monte Carlo數(shù)值模擬的計(jì)算工作量小，但這2種方法的計(jì)算結(jié)果十分接近，本文理論方法準(zhǔn)確、合理且計(jì)算效率很高。

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Probability response spectrum based on improved stochastic model for earthquake ground motion

YIN Jiang1, ZHOU Xianyan1, YI Weijian2, CHEN Bowang1, DUAN Shaowei1

(1. College of Civil Engineering and Mechanics, Central South University of Forestry and Technology, Changsha 410004, China; 2. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

The parameters of an improved stochastic model for earthquake ground motion were determined according to current seismic code (GB 50011—2010),the conditional probability model of elastic acceleration demand was deduced for SDOF system, and the probability spectrum of displacement demand and acceleration demand were established. Considering the relationship between the strength reduction factorand the ductility factor, the conditional probability distribution function was derived for non-linear displacement demand of SDOF system. Then according to the random vibration theory and probabilistic methods, the probability displacement spectrum was established for inelastic SDOF system under given earthquake intensity or in 50 years design reference period. Using the ground motion records collected from U.S. Pacific Earthquake Engineering Research Center, dynamic time-history analyses of SDOF system were carried out, and the statistical results of time-history analyses were compared with the theoretical solutions to verify their accuracy. The results show that the theoretical method is accurate, reasonable, and the efficiency in computation is high.

probability spectrum; non-elastic displacement; seismic demand; conditional probability distribution; stochastic model for earthquake ground motion

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.05.041

TU311.3；TU375.4

A

1672?7207(2015)05?1876?10

2014?06?10；

2014?08?12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51178175，51274258)；湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(13JJ5027)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20124321120006)；長(zhǎng)沙市科技計(jì)劃項(xiàng)目(21597) (Projects(51178175, 51274258) supported by the National Science Foundation of China); (Project(13JJ5027) supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province; Project(20124321120006) supported by Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China; Project(21597) supported by Science and Technology Program of Changsha)

周先雁，教授，從事工程抗震研究；E-mail: yinjiang2013@outlook.com

(編輯 陳燦華)