葉立軍+施瑩瑩

數(shù)列，作為初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要銜接點(diǎn)，是歷年來高考和各級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的熱點(diǎn)及難點(diǎn)之一.它既具有函數(shù)特征，又能構(gòu)成獨(dú)特的遞推關(guān)系.

本文選取中國(guó)和美國(guó)的高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了比較，希望從中發(fā)現(xiàn)兩者在教材內(nèi)容上的編排和呈現(xiàn)方式等方面存在的差異，為我國(guó)高中教科書這部分內(nèi)容的設(shè)計(jì)和編寫提供參考，汲取美國(guó)教材中有效的、可操作性的經(jīng)驗(yàn).其中，在我國(guó)人教版數(shù)學(xué)必修5教材中，第二單元專門講解了關(guān)于“數(shù)列”的知識(shí)點(diǎn).與之相對(duì)應(yīng)的，在美國(guó)Mathematics L教材（下文簡(jiǎn)稱L教材）中，第二單元“equences and series”的內(nèi)容最為相近.因此本文選取了這兩本教材對(duì)應(yīng)的單元內(nèi)容進(jìn)行了比較.1兩種教材整體比較

為了更好地說明兩國(guó)教材在此部分內(nèi)容上的差異，我們將L教材第二單元的內(nèi)容，與我國(guó)人教版教材必修5第二單元的內(nèi)容，整體進(jìn)行了對(duì)比，得到表1.

表1兩國(guó)教材整體對(duì)比

[]中國(guó)[]美國(guó)[BD]名稱[]新課標(biāo)數(shù)學(xué)必修5[]Mathematics L[BDG10mm]

版本[]人民教育出版社[]pecialists in mathematics publishing[BDFG10mm]單元名稱[]數(shù)列[]equences and series

（數(shù)列和級(jí)數(shù)）[BDG6mm]上個(gè)單元[]解三角形[]Function（函數(shù)）[B]下個(gè)單元[]不等式[]Exponents（指數(shù)）[BDFG58.5mm，WK14mm，K66mmW]

單元大綱[][ZB（][Q*2]

1.數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法[][Q*2]

1.number patterns（數(shù)字規(guī)律）[BD][Q*2]

2.等差數(shù)列[][Q*2]

2.sequences of numbers（數(shù)列）[B]

[Q*2]

3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和[][Q*2]

3.arithmetic sequences（算術(shù)序列）[B]

[Q*2]

4.等比數(shù)列[][Q*2]

4.geometric sequences（幾何序列）[B]

[Q*2]

5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和[][Q*2]

5.series（級(jí)數(shù)）[BDG6mm][][Q*2]

6.sigma notations（∑符號(hào)）[BG）F]

由上表，我們可以發(fā)現(xiàn)在該單元中，中國(guó)人教版教材將數(shù)列分成了等差數(shù)列與等比數(shù)列兩大類進(jìn)行學(xué)習(xí)，而美國(guó)L教材則是從數(shù)列到級(jí)數(shù)進(jìn)行整體學(xué)習(xí).并且，在本單元的學(xué)習(xí)前后，兩本教材的內(nèi)容完全不同.L教材是通過對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，引出數(shù)列的規(guī)律.而在人教版教材中，數(shù)列則屬于獨(dú)立性的知識(shí)點(diǎn)，與前后單元并無直接聯(lián)系.2兩種教材數(shù)列內(nèi)容分析

2.1兩種教材知識(shí)內(nèi)容范圍及編排順序的比較

首先，根據(jù)以下規(guī)則建立比較模型：1）以“數(shù)列”知識(shí)點(diǎn)為中心，將兩種教材縱向展開，將高中教材與數(shù)列知識(shí)點(diǎn)相聯(lián)系的內(nèi)容一一呈現(xiàn)；2）根據(jù)賦值數(shù)據(jù)，對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行排序，最后將中心知識(shí)點(diǎn)（數(shù)列）對(duì)齊.

其實(shí)，數(shù)列作為一種離散函數(shù)，是一種重要的數(shù)學(xué)模型.

顯而易見的，根據(jù)上述比較我們可以發(fā)現(xiàn)，在人教版教材中，教材要求學(xué)生了解函數(shù)，并在完全理解函數(shù)的性質(zhì)及定理的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行對(duì)數(shù)列的學(xué)習(xí).它與函數(shù)相融合，將等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來，有助于學(xué)生加深對(duì)一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí).等差數(shù)列、等比數(shù)列又是一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的離散化.可從函數(shù)的觀點(diǎn)、模型的觀點(diǎn)、連續(xù)與離散的關(guān)系角度認(rèn)識(shí)數(shù)列，突出數(shù)列的本質(zhì).

而美國(guó)L教材在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)函數(shù)之后，緊接著就展開了對(duì)數(shù)列的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)有一個(gè)初步的了解，繼而從離散到連續(xù)深入學(xué)習(xí)一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等各種初等函數(shù)及其應(yīng)用.

2.2兩種教材知識(shí)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)方式比較

對(duì)兩版本教材“數(shù)列”章節(jié)的內(nèi)容呈現(xiàn)方式總體進(jìn)行概括，可以得到如下兩幅框架圖.

圖1中國(guó)人教版教材內(nèi)容呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖

圖2美國(guó)L教材內(nèi)容呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖

從框架圖中，我們?nèi)菀椎贸鲆韵聨c(diǎn)結(jié)論：

1）對(duì)于章節(jié)之前的引言：

在人教版教材中，它首先通過在生產(chǎn)、生活中常見的情景問題發(fā)現(xiàn)數(shù)列，從而來闡述數(shù)列的重要性，引起學(xué)生的關(guān)注，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的熱情.再以數(shù)學(xué)史中古希臘畢達(dá)哥拉斯的數(shù)學(xué)故事作為導(dǎo)入，引出數(shù)列章節(jié)的學(xué)習(xí).

而L教材則缺少這一個(gè)環(huán)節(jié)，直接通過對(duì)一組數(shù)字規(guī)律的觀察進(jìn)入對(duì)其知識(shí)點(diǎn)定義的敘述.

2）在該章節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中：

人教版教材分為正文、例題、習(xí)題、閱讀與思考、作業(yè)題五個(gè)部分，其中通過正文與例題的結(jié)合將每個(gè)章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)一一闡述，讓學(xué)生通過思考例題中的問題，得出結(jié)論，掌握其知識(shí)點(diǎn).在每節(jié)知識(shí)點(diǎn)全部敘述完之后，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都有對(duì)應(yīng)的1～2道習(xí)題對(duì)其進(jìn)行鞏固.

而L教材的內(nèi)容順序稍有不同.它沒有將一節(jié)所有知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題練習(xí)整合到每小節(jié)之后，而是在每個(gè)知識(shí)點(diǎn)敘述之后，緊接著例題，給出練習(xí)讓同學(xué)進(jìn)行鞏固.并且它的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)習(xí)題量較多，題目之間難度循序漸進(jìn).讓學(xué)生在練習(xí)中，思考與發(fā)現(xiàn)更深入的性質(zhì).

3）學(xué)習(xí)完章節(jié)之后的內(nèi)容：

兩個(gè)版本教材均有其閱讀材料讓學(xué)生進(jìn)行自主性拓展學(xué)習(xí)，但是在材料內(nèi)容的選取上還是有所不同.L教材更加側(cè)重信息技術(shù)的使用，將信息技術(shù)的知識(shí)大量包含在其中.3例題與練習(xí)題的比較與分析

首先，將例題與練習(xí)題的難度給予以下界定規(guī)則[1]：

1）水平1：?jiǎn)吸c(diǎn)結(jié)構(gòu).學(xué)習(xí)者只需利用單個(gè)素材就可以解決的問題，無所謂理解.

如：根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式填表：

n123……n

an71115…51…3+4n

2）

水平2：多點(diǎn)結(jié)構(gòu).學(xué)習(xí)者需要聯(lián)系多個(gè)孤立的素材解決問題，但尚未形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

如：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=an-1+2，寫出它的前5項(xiàng).

3）水平3：關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).學(xué)習(xí)者需聯(lián)想多個(gè)事件，并把這些事件聯(lián)系起來.

如：已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和n=14n2+23n+3，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

4）水平4：拓展抽象水平.學(xué)習(xí)者回答問題時(shí)需要進(jìn)行抽象概括，且問題結(jié)論具有開放性，使得問題本身的意義得到拓展.

如：某地為了保持水土資源，實(shí)行退耕還林，如果2000年退耕8萬(wàn)公頃，以后每年比上一年增加10%，那么2005年需退耕多少公頃？（結(jié)果保留到個(gè)位）

其次，根據(jù)上述規(guī)則，將兩國(guó)教材中的各個(gè)例題與練習(xí)題進(jìn)行歸類，得到下表數(shù)據(jù).

顯而易見的，L教材例題及練習(xí)題數(shù)量將近中國(guó)教材的一倍，且題目難度相對(duì)集中在水平1，其他各個(gè)水平基本分布均勻，較有層次性，題目的設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)，讓學(xué)生從易到難有所過渡.而人教版教材題目難度相對(duì)集中在水平3，而水平1的題目基本沒有，其題目難度水平總體要求較高，這樣的分布可能會(huì)使部分成績(jī)較差學(xué)生無法適應(yīng).

最后，按照學(xué)生解答問題時(shí)需要聯(lián)系的相關(guān)知識(shí)，可以把例題與練習(xí)題的類型進(jìn)一步進(jìn)行分類.得出統(tǒng)計(jì)表格如下所示.

總題數(shù)11258

注：部分題目基于以上分類有交叉

根據(jù)表中對(duì)兩國(guó)教材的例題與習(xí)題分類的結(jié)果可見，美國(guó)教材更加重視對(duì)本節(jié)知識(shí)的專項(xiàng)訓(xùn)練，題目?jī)?nèi)容呈螺旋上升狀態(tài)，旨在加強(qiáng)鞏固學(xué)生對(duì)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況.而中國(guó)教材的題目聯(lián)系實(shí)際生活的比例較大，融會(huì)貫通，更加重視數(shù)列在生活中的應(yīng)用.4結(jié)論

4.1兩種版本教材的目標(biāo)體系不同

兩種教材都是從尋找一組數(shù)字的規(guī)律入手，引出對(duì)數(shù)列的學(xué)習(xí).但是兩者給出了不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)與內(nèi)容的延展方向.在人教版教材中，它將數(shù)列分類為等差數(shù)列與等比數(shù)列讓學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，從通項(xiàng)公式到求和公式的應(yīng)用，熟練掌握各類數(shù)列的求解與應(yīng)用.在L教材中，它沒有對(duì)數(shù)列進(jìn)行分類，而是從總體入手讓學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，并從數(shù)列拓展到對(duì)級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí).

4.2兩種版本教材對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)要求不同

人教版教材要求學(xué)生熟練掌握函數(shù)知識(shí)之后再進(jìn)行對(duì)數(shù)列的學(xué)習(xí)，其要求指出所有學(xué)生應(yīng)該達(dá)到的基本水平.L教材在學(xué)生初步學(xué)習(xí)函數(shù)后就接觸數(shù)列，提前對(duì)函數(shù)知識(shí)有所了解，其要求指出該水平學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)的最大可能性.

4.3兩種版本教材內(nèi)容對(duì)學(xué)生指導(dǎo)程度不同

人教版教材希望通過每道例題讓學(xué)生對(duì)其進(jìn)行思考，從而總結(jié)出相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn).而L教材則是先將知識(shí)點(diǎn)加以陳述，再讓學(xué)生通過例題加以深化.并且在兩種教材中，顯而易見的，L教材中提供了大量豐富的數(shù)列例題、學(xué)生鞏固練習(xí)題和拓展練習(xí).它希望學(xué)生能夠通過難度循序漸進(jìn)的練習(xí)題，自主思考對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，從而深化知識(shí)內(nèi)容.

參考文獻(xiàn)

[1]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社.2003.

[2]賈曉華.中美高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)比較研究[D].甘肅：西北師范大學(xué)，200906.

[3]張奠宙.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].江西教育出版社.1997.P12.

[4]陳昌平，《數(shù)學(xué)教育比較與研究》，上海，華東師范大學(xué)出版社，2000年12.

[5]新課標(biāo)數(shù)學(xué)必修5.人民教育出版社.2010.

[6]Mathematics L. pecialists in mathematics publishing.2010.

[7]朱行建.OLO評(píng)價(jià)：一種試題難度預(yù)估的新方法[J]. 教學(xué)與管理，2010（9）.