韓慶玨，劉少軍

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深海履帶車的路徑跟蹤控制算法

韓慶玨，劉少軍

(中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，深海礦產(chǎn)資源開發(fā)利用技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

建立深海履帶車運(yùn)動(dòng)學(xué)和路徑偏差模型，并針對(duì)履帶車在工作環(huán)境中出現(xiàn)的路徑偏差問(wèn)題提出一種新的路徑跟蹤算法?；诼膸к嚨男凶邉?dòng)力約束，路徑跟蹤算法中引入線速度和角速度中間變量，避免了由于履帶車驅(qū)動(dòng)輪角速度突然變化所導(dǎo)致的系統(tǒng)失穩(wěn)。同時(shí)，為提高系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，算法中增加與PID控制類似的比例環(huán)節(jié)，利用李雅普諾夫法證明控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并對(duì)深海采礦2種典型期望工作路徑的路徑跟蹤進(jìn)行仿真。研究結(jié)果表明：所提出的新的路徑跟蹤算法具有良好的快速性和穩(wěn)定性，能夠滿足深海采礦履帶車的行走控制要求，保證履帶車良好的行走性能。

深海；履帶車；路徑跟蹤；算法

對(duì)于深海6 km多金屬結(jié)核及鈷結(jié)殼采礦領(lǐng)域而言，世界各國(guó)相繼研制出包含海底履帶式采礦車的深海采礦系統(tǒng)[1]。近年來(lái)，深海履帶車系統(tǒng)作為整個(gè)深海采礦系統(tǒng)的核心之一成為各國(guó)研究的熱點(diǎn)。由于受到海底極其稀軟底質(zhì)特點(diǎn)以及海底洋流等環(huán)境因素的影響，深海履帶式采礦車的行走控制較困難。為使采礦車能準(zhǔn)確按照預(yù)定開采路徑進(jìn)行海底作業(yè)，采用合理高效的路徑跟蹤控制算法顯得尤為關(guān)鍵。Herber 等[2]對(duì)非線性移動(dòng)機(jī)器人的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。Endo等[3]利用測(cè)距法對(duì)小型履帶車輛進(jìn)行路徑跟蹤控制研究；Keiji等[4]在考慮打滑的情況下利用陀螺儀提高了測(cè)距法路徑跟蹤控制的準(zhǔn)確性；Zhou等[5]利用非線參數(shù)估計(jì)法提出了基于濾波器的跟蹤算法。徐俊艷等[6]提出了雙曲正切特征曲線路徑跟蹤算法，并用李雅普諾夫方法證明了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。但是，這些研究主要針對(duì)運(yùn)動(dòng)環(huán)境相對(duì)簡(jiǎn)單的陸用車輛。深海履帶式采礦車行走的環(huán)境極其復(fù)雜，由于受到海底稀軟底質(zhì)以及海底洋流的影響，其動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究的熱點(diǎn)。Schulte等[7]通過(guò)理論分析和大量實(shí)驗(yàn)對(duì)深海履帶式采礦車動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究。Yeu等[8]設(shè)計(jì)了PID和增強(qiáng)型PD路徑跟蹤控制器，并通過(guò)對(duì)2種控制效果的仿真對(duì)比，對(duì)軟底質(zhì)環(huán)境下履帶車的路徑跟蹤控制進(jìn)行了研究；之后，Yeu等[9?10]又提出向量跟蹤以及LOS視線路徑跟蹤控制算法，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的可行性。Wang等[11]利用模糊控制理論，提出了連續(xù)狀態(tài)反饋的有限時(shí)間深海采礦車路徑跟蹤控制算法。李力等[12]建立了深海履帶式采礦車液壓動(dòng)力系統(tǒng)模型，利用模糊算法對(duì)其運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了控制。Dai等[13]綜合考慮了軟底質(zhì)及洋流的影響，提出了PID算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)海底履帶車的路徑跟蹤控制。然而，上述研究將深海稀軟底質(zhì)作為影響路徑跟蹤控制的重要因素，但忽略了采礦車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)自身固有的動(dòng)力約束對(duì)路徑跟蹤問(wèn)題的影響。本文作者在深海履帶車運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，提出一種新的路徑跟蹤算法。算法中引入中間線速度和角速度變量以滿足履帶車輛實(shí)際驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力約束。通過(guò)對(duì)2種典型的采礦路徑的仿真分析，得到了比較好的控制效果。

1 深海履帶車運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

深海履帶車的行走裝置是由左、右2條履帶構(gòu)成，其行走動(dòng)力由履帶驅(qū)動(dòng)輪提供。通過(guò)調(diào)整左、右履帶驅(qū)動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速可以實(shí)現(xiàn)履帶車直行和轉(zhuǎn)彎過(guò)程。考慮到深海履帶車的行走環(huán)境，其自由度變化較少，固履帶車可以簡(jiǎn)化為1個(gè)二維的車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。在全局坐標(biāo)系中，選取固定在履帶車上的坐標(biāo)系統(tǒng)來(lái)對(duì)履帶車的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行描述，如圖1所示。

圖1 履帶車運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

圖中：點(diǎn)為履帶車運(yùn)動(dòng)瞬心；為履帶車質(zhì)量中心；為履帶車左右履帶的中心距；為側(cè)向打滑角；C履帶車的方向角；C為履帶車的角速度；i和o分別為內(nèi)、外側(cè)履帶的線速度。在不考慮縱向打滑的情況下，

式中：為履帶轉(zhuǎn)動(dòng)半徑；i和o分別為內(nèi)、外側(cè)履帶驅(qū)動(dòng)輪角速度。由此，可以得到履帶車的線速度和角速度為：

由圖1中的幾何關(guān)系可知

對(duì)于執(zhí)行深海采礦作業(yè)的履帶車，由于其行走速度較小(約0.5 m/s)，同時(shí)其所受的側(cè)向摩擦力很大，因此，假定在履帶車轉(zhuǎn)彎過(guò)程中由向心力引起的側(cè)向打滑率為0，即圖中=0°。則履帶車的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

2 深海履帶車路徑偏差模型

對(duì)于深海采礦，為了提高開采效率，在履帶車進(jìn)行開采作業(yè)前其開采路徑已經(jīng)基本確定。但在實(shí)際采礦過(guò)程中，由于布放偏差、海底軟底質(zhì)產(chǎn)生打滑、海底洋流以及與履帶車車相連的軟管等作用的影響，深海履帶車在作業(yè)過(guò)程中與期望開采路徑將會(huì)存在一定偏差，其路徑偏差模型可用圖2表示。圖2中：為預(yù)定路徑；d(d，d，d)為履帶車期望位置坐標(biāo)；C(C，C，C)為履帶車當(dāng)前位置坐標(biāo)。定義履帶車e為當(dāng)前位置與期望位置的偏差，則e可以通過(guò)下式計(jì)算得到：

圖2 履帶車路徑偏差模型

同時(shí)可以得到路徑偏差的導(dǎo)數(shù)為

路徑跟蹤控制問(wèn)題就是使履帶車系統(tǒng)在任意初始位置誤差下，確定履帶車的輸入控制和使得(e，e，e)T有界且lim→∞||(e，e，e)T||=0。

3 履帶車行走動(dòng)力約束

深海履帶車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由于自身動(dòng)力系統(tǒng)性能條件的約束，履帶驅(qū)動(dòng)輪的角速度不能隨意調(diào)整。在控制履帶車進(jìn)行路徑跟蹤過(guò)程中，應(yīng)該盡量避免驅(qū)動(dòng)輪角速度突然變化情況的發(fā)生，否則會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的機(jī)械沖擊或履帶嚴(yán)重打滑，這些都不利于履帶車的系統(tǒng)穩(wěn)定。

設(shè)履帶車驅(qū)動(dòng)輪角加速度的最大值為max，則履帶車行走動(dòng)力約束條件為

同時(shí)，由式(1)~(3)可得

將式(11)中2個(gè)式子相加并取導(dǎo)可得

式中：C和C分別為驅(qū)動(dòng)輪的線加速度和角加速度。由式(12)可以看出：驅(qū)動(dòng)輪的角加速度和線加速度約束條件耦合在一起，將最大角加速度平分可以得到獨(dú)立的角加速度和線加速度約束條件為：

4 路徑跟蹤算法

由履帶車動(dòng)力約束條件可知，所設(shè)計(jì)的路徑跟蹤算法不能使履帶驅(qū)動(dòng)輪角加速度超出其最大值；同時(shí)，為了保證履帶車系統(tǒng)的穩(wěn)定性，驅(qū)動(dòng)輪的角速度也不應(yīng)有突然變化。為了滿足上述2個(gè)條件，在算法中引入驅(qū)動(dòng)輪線速度和角速度判斷中間變量j和j：

式中：1，2，3和4為控制系數(shù)，均為正值；sgn()為符號(hào)函數(shù)。在一定的采樣周期Δ內(nèi)，可以將線速度和角速度中間變量轉(zhuǎn)換為加速度中間變量，即

由于式(16)中的加速度參考值是基于動(dòng)力約束的，所以，將此參考值與集礦機(jī)最大線加速度和角加速度進(jìn)行比較，取較小值作為最終履帶車路徑跟蹤控制輸入，得到路徑跟蹤控制算法為：

在采樣周期Δ內(nèi)，對(duì)履帶車驅(qū)動(dòng)輪的線速度和角速度進(jìn)行離散化可以得到路徑跟蹤的控制方程為

此路徑跟蹤算法的思想來(lái)源于傳統(tǒng)的PID控制。傳統(tǒng)PID控制中，比例環(huán)節(jié)對(duì)于系統(tǒng)響應(yīng)的快速性有所改善，所以應(yīng)予以保留；另外，履帶車的動(dòng)力約束與路徑偏差有關(guān)，所以，在中間變量中引入max|e|和max|e|。

5 算法穩(wěn)定性證明

深海履帶車路徑跟蹤控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性要求履帶車無(wú)論以任何位置為初始條件，系統(tǒng)最終都能跟蹤到期望路徑上，即系統(tǒng)具有收斂性。選取李雅普諾夫函數(shù)

對(duì)上式取導(dǎo)得

由式(15)可知：

其中：d為履帶車期望位置處的線加速度。將式(21)和(22)代入式(20)得

因?yàn)?和2均為正值，，且當(dāng)時(shí)，。所以，當(dāng)時(shí)，，即系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。對(duì)于深海履帶車方向角的系統(tǒng)穩(wěn)定性可以利用同樣的方法得以 證明。

6 路徑跟蹤仿真

6.1 深海采礦預(yù)定路徑

對(duì)于深海采礦領(lǐng)域，目前國(guó)際上普遍提出的深海采集路徑為“S”型路徑。為了保證履帶車海底作業(yè)過(guò)程安全、高效與環(huán)保，韓慶玨等[14]提出了2種新的采集路徑，如圖3所示。

(a) 路徑a；(b) 路徑b

此2種采集路徑(a和b)描述如下。采集路徑a示意圖見圖4。圖4中=21.8 m。履帶車按采集路徑a行走時(shí)，需要進(jìn)行4次調(diào)速，如圖4中曲線①~④所示。第1次調(diào)速使履帶車由直線行駛轉(zhuǎn)變?yōu)榛【€行駛。履帶車轉(zhuǎn)向行駛角度=55.97°后進(jìn)行第2次調(diào)速，在轉(zhuǎn)向行駛角度=291.94°時(shí)進(jìn)行第3次調(diào)速。再進(jìn)行轉(zhuǎn)向行駛角度=55.97°后進(jìn)行第4次調(diào)速，最終沿直線行駛。履帶車經(jīng)過(guò)此4次調(diào)速后，保證2條直線行駛軌跡間距等于履帶車的寬度 5.2 m。采集路徑b見圖5。

圖4 采集路徑a示意圖

圖5 采集路徑b示意圖

對(duì)于采集路徑b，履帶車經(jīng)歷3次調(diào)速，其中，2次轉(zhuǎn)向行駛角分別為=83.15°，=263.15°，圓弧軌跡半徑=21.8 m，2條直線軌跡間距=5.2 m。

6.2 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所提出的路徑跟蹤算法的有效性，分別對(duì)2種采集路徑進(jìn)行仿真，仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真環(huán)境參數(shù)

2種采集路徑的起始位置為(0?0?0)。為了使仿真更具一般性，跟蹤采集路徑a的仿真中，設(shè)定履帶車的初始位置為(0，?5，0)，屬于小偏差路徑跟蹤；而跟蹤采集路徑b的仿真中，初始位置偏差設(shè)定為(?10，?10，0)，屬于大偏差路徑跟蹤。

圖6(a)所示為履帶車實(shí)際行走路線與預(yù)定路線仿真對(duì)比圖。從圖6(a)可以看出：仿真開始時(shí)履帶車初始位置偏差為5 m；履帶車自啟動(dòng)后，逐漸朝預(yù)定路徑方向和位置靠近，水平方向約行走10 m后行駛在期望路徑上，此后履帶車實(shí)際行走路徑始終與預(yù)定路徑吻合，說(shuō)明路徑跟蹤效果良好。

圖6(b)~(d)所示分別為路徑跟蹤過(guò)程中履帶車橫向、縱向以及方向角偏差曲線。從圖6(b)可以看出：履帶車啟動(dòng)時(shí)橫向位置偏差為0，隨后偏差出現(xiàn)波動(dòng)，這是履帶車跟蹤過(guò)程中不斷調(diào)整行走速度所致；10 s后橫向位置偏差穩(wěn)定在0處，說(shuō)明控制算法在橫向位置具有良好的快速性和穩(wěn)定性。

圖6(c)所示為縱向偏差曲線。從圖6(c)可以看出：履帶車啟動(dòng)時(shí)縱向偏差為5 m，隨后偏差迅速減??；經(jīng)過(guò)10 s左右，縱向偏差穩(wěn)定在0處，說(shuō)明此時(shí)履帶車已沿預(yù)定路徑行走；但在200~265 s以及480~510 s期間，縱向偏差存在一定波動(dòng)，波動(dòng)范圍為±0.2 m。這是由于此時(shí)履帶車處于轉(zhuǎn)彎調(diào)速階段，速度的改變導(dǎo)致跟蹤誤差再次出現(xiàn)。由于偏差波動(dòng)范圍較小，在誤差允許范圍內(nèi)，故可以接受。

圖6(d)所示為方向角偏差曲線，其變化規(guī)律與縱向偏差一致。同樣在200~265 s以及480~510 s期間，由于履帶車轉(zhuǎn)彎調(diào)速，方向角偏差出現(xiàn)波動(dòng)，波動(dòng)范圍為±0.1 rad，在誤差允許范圍內(nèi)，可以接受。

(a) 履帶車跟蹤預(yù)定路徑仿真圖；(b) 橫向偏差曲線；(c) 縱向偏差曲線； (d) 方向角偏差曲線

綜合以上對(duì)路徑跟蹤過(guò)程橫向、縱向以及方向角偏差的分析可知：在采集路徑a情況下，所提出的控制策略可以滿足履帶車路徑跟蹤要求，控制算法具有良好穩(wěn)定性。

圖7(a)所示為履帶車實(shí)際行走路線與預(yù)定路線仿真對(duì)比圖。從圖7(a)可以看出：仿真開始時(shí)履帶車初始位置橫向、縱向偏差均為10 m，屬于大偏差范圍；履帶車自啟動(dòng)后，迅速朝預(yù)定路徑方向和位置靠近，水平方向約行走25 m后行駛在期望路徑上，此后履帶車實(shí)際行走路徑始終與預(yù)定路徑吻合，說(shuō)明路徑跟蹤效果良好。

圖7(b)~(d)所示為路徑跟蹤過(guò)程中履帶車橫向、縱向以及方向角偏差曲線。從圖7(b)可以看出：履帶車啟動(dòng)時(shí)橫向位置偏差為10 m，隨后偏差迅速減??；約經(jīng)過(guò)10 s后，偏差減小并穩(wěn)定在0處。

圖7(c)所示為縱向偏差曲線。圖7(c)可以看出：履帶車啟動(dòng)時(shí)縱向偏差為10 m，隨后偏差迅速減小并出現(xiàn)一定波動(dòng)。其原因是在大偏差情況下為保證路徑跟蹤的快速性，履帶車調(diào)速。偏差經(jīng)過(guò)15 s后減小并穩(wěn)定在0處。

圖7(d)所示為方向角偏差曲線。從圖7(d)可見：其初始偏差為0°，隨后突然增大后迅速減小，大約在15 s附近減小并穩(wěn)定在0°處。這說(shuō)明履帶車啟動(dòng)時(shí)與預(yù)定路徑方向一致。隨著路徑跟蹤過(guò)程履帶車轉(zhuǎn)彎，導(dǎo)致方向角偏差增大。同時(shí)方向角偏差在200~400 s，偏差為0.1 rad；在400~460 s，偏差為?0.1 rad。這說(shuō)明在采集路徑(b)的轉(zhuǎn)彎過(guò)程，履帶車方向角偏差存在一定誤差，由于誤差屬可接受范圍，故整體方向角偏差控制效果良好。

(a) 履帶車跟蹤預(yù)定路徑仿真圖；(b) 橫向偏差曲線；(c) 縱向偏差曲線；(d) 方向角偏差曲線

綜合以上對(duì)采集路徑b時(shí)路徑跟蹤過(guò)程橫向、縱向以及方向角偏差的分析可知：所提出的控制策略可以滿足履帶車路徑跟蹤要求，控制算法具有良好穩(wěn) 定性。

綜合以上仿真結(jié)果可知：對(duì)于深海采礦不同期望采集路徑，本文所提出的路徑跟蹤算法能使履帶車快速有效地跟蹤期望采集路徑，跟蹤過(guò)程雖有波動(dòng)，但仍在可接受范圍內(nèi)。故算法能夠滿足深海采礦履帶車的行走控制要求，保證了履帶車良好的行走性能。

7 結(jié)論

1) 建立了完整的深海履帶車運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和路徑偏差模型，并提出了履帶車動(dòng)力約束條件，為深海履帶車路徑跟蹤提供了依據(jù)。

2) 基于深海履帶車動(dòng)力約束條件，提出一種新的路徑跟蹤控制算法，算法中引入速度中間變量，保證了系統(tǒng)的動(dòng)力要求。運(yùn)用李雅普諾夫方法證明了算法的穩(wěn)定性。

3) 針對(duì)深海采礦2種不同期望采集路徑，對(duì)路徑跟蹤控制進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果滿足路徑跟蹤控制要求，保證了深海履帶車行走的準(zhǔn)確性。

下一步將著重于路徑跟蹤控制實(shí)驗(yàn)研究。

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Path tracking control algorithm of the deep sea tracked vehicle

HAN Qingjue, LIU Shaojun

(National Key Laboratory of Development and Utilization of Deep-Sea Mineral Resource,School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

The kinematic and position error model of the deep sea tracked vehicle was established, and a new path tracking control algorithm was proposed to solve the path error problem of tracked vehicle during working. Based on the dynamic constraints, two intermediate variables were introduced in the control algorithm to avoid the systematic instability due to abrupt change in angular velocity of the vehicle sprocket. To improve the response time of the system, a proportional element was introduced in the algorithm. Meanwhile, the stability of the control system was proved using Lyapunov method, and a series of simulations of tracking two typical deep sea mining desired paths were carried out. The results show that the suggested algorithm is valid and can meet the control requirement; therefore, the walking performance of the tracked vehicle is ensured.

deep sea; tracked vehicle; path tracking; algorithm

TP242

A

1672?7207(2015)02?0472?07

2014?03?10；

2014?05?21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51074179)；國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)項(xiàng)目(2012AA091201)(Project (51074179) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (2012AA091201) supported by National High Technology Research and Development Program of China (863 Program))

韓慶玨，博士研究生，從事海底履帶采礦車行走控制研究；E-mail：qingjuehan@yahoo.com.cn

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.02.014

(編輯 陳燦華)