馬合保， 趙利彬（閩江學院數(shù)學系，福建 福州 350108）

仿射非線性廣義系統(tǒng)的保性能控制①

馬合保， 趙利彬
（閩江學院數(shù)學系，福建 福州 350108）

研究仿射非線性廣義系統(tǒng)的保性能控制問題.利用單位分解方法將仿射非線性廣義系統(tǒng)表示為具有模型誤差的有線性特征的廣義系統(tǒng)，基于廣義Lyapunov函數(shù)，給出仿射非線性廣義系統(tǒng)的狀態(tài)反饋保性能控制律的一種設計方法.

非線性廣義系統(tǒng)；保性能控制；單位分解；狀態(tài)反饋

0　引言

在控制理論中，線性系統(tǒng)的研究相對深入和成熟，而非線性系統(tǒng)中仍有許多問題尚未解決.利用有效的近似方法把非線性系統(tǒng)轉化成有線性特征的系統(tǒng)，是處理非線性系統(tǒng)的分析與綜合問題的一條可行途徑.保性能控制是Chang和Peng于1972年提出的，其基本思想是對于受控系統(tǒng)設計一個控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且性能指標不超過給定的性能上界.文獻［1］利用單位分解方法把仿射非線性系統(tǒng)轉化為具有模型誤差的有線性特征的系統(tǒng)，研究了仿射非線性系統(tǒng)的保性能控制問題.非線性廣義系統(tǒng)在實際問題中有著廣泛的應用，由于非線性廣義系統(tǒng)結構的復雜性，迄今非線性廣義系統(tǒng)的研究成果相對較少.本文將文獻［1］的方法應用于仿射非線性廣義系統(tǒng)，給出仿射非線性廣義系統(tǒng)的保性能控制律的一種設計方法.

1　問題描述與預備知識

考慮如下可解的仿射非線性廣義系統(tǒng)

性能指標為

其中Q＞0，R＞0.

定義：對于系統(tǒng)（1）和性能指標（2），如果存在一個控制律u（t）和一個正數(shù)J*，使得在控制律u（t）作用下系統(tǒng)（1）相應的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且性能指標J≤J*，則稱J*為系統(tǒng)（1）的一個性能上界，u（t）為系統(tǒng)（1）的一個保性能控制律.

引理1［2］： 對連續(xù)函數(shù)h1（x），x∈X，任意εi＞0，i=1，2，…，r，存在一個X上的單位分解｛σj| j=1，2，…，q｝從屬于開覆蓋個實數(shù)，使得

引理2： 對任意的n維向量ζ，η∈Rn，任意δ＞0，有

證明：由

即可得所證不等式.

引理3［3］： R為正定矩陣的充分必要條件是存在可逆矩陣D，滿足R=DTD.

系統(tǒng)（1）的無控制（即u（t）≡0）系統(tǒng)為

引理4［4］： 設函數(shù)V（Ex（t））：［0，+∞）→［0，+∞）連續(xù)可微，滿足

3）V（Ex（t））沿系統(tǒng)（3）的狀態(tài)軌跡對的導數(shù)

其中α1，α2和α3為類函數(shù)，則系統(tǒng)（3）的平衡狀態(tài)x=0一致漸近穩(wěn)定.

3　主要結果

系統(tǒng)（1）可表示為［9］

其中eij（x），珋eil（x）是近似誤差

應用（5）式，有

結合上式和（6）式得

定理： 對于系統(tǒng)（4）和性能指標（2），如果存在正定矩陣P和矩陣Kα（α=1，2，…，N），標量δ ＞0珋δ＞0，使得

則狀態(tài)反饋控制律

是系統(tǒng)（4）的一個保性能控制律，相應的一個性能上界J*=xT（0）ETPEx（0）.

證明： 在狀態(tài)反饋控制律（7）作用下，系統(tǒng)（4）相應的閉環(huán)系統(tǒng)為

構造廣義 Lyapunov函數(shù) V（Ex（t）） = xTETPEx，沿系統(tǒng)（8）的狀態(tài)軌跡求V（Ex（t））對t的導數(shù)，得

由假設和引理2，對δ，珋δ＞0，可得

其中λmin（Q）＞0表示正定矩陣Q的最小特征值.

由引理4知，閉環(huán)系統(tǒng)（8）漸近穩(wěn)定.

由上面的證明知，

利用引理2和引理3，可得

結合（9）式和（10）式，得

上式兩端積分

于是，有

由定義，狀態(tài)反饋控制律（7）是系統(tǒng)（4）的一個保性能控制律，且性能上界

［1］Han D F，Shi L.Guaranteed Cost Control of Affine Nonlinear Systems via Partition of Unity Method［J］.Automatica，2013， 49（2）：660-666.

［2］Wang Y H，Han D F.Variable Structure Control for a Class of Nonlinear Systems Based on Partition of Unity［J］.Control and Decision，2006，21（8）：853-856.

［3］韓京清，何關鈺，許可康.線性系統(tǒng)理論代數(shù)基礎［M］.沈陽：遼寧科學技術出版社，1985.

［4］Wu H S，Mizukami K.Lyapunov Stability Theory and Robust Control of Uncertain Descriptor Systems［J］.Int.J.Systems Science，1995，26（10）：1981-1991.

［5］Khalil H K.Nonlinear systems［M］.3rd ed.Upper Saddle River，NJ：Prentice Hall，2002.

Guaranteed Cost Control for Affine Nonlinear Descriptor Systems

MA He-bao， ZHAO Li-bin
（Department of Mathematics，Minjiang University.Fuzhou，350108，China）

This paper is concerned with the problem of guaranteed cost control for affine nonlinear descriptor systems.Using partition of unity method，the affine nonlinear descriptor system is represented as a linearlike descriptor system with modeling error.In terms of generalized Lyapunov functions，the design method of desired state feedback guaranteed cost control laws of the considered systems is provided.

nonlinear descriptor systems；guaranteed cost control；partition of unity；state feedback

O231

A

1008-1402（2015）06-0827-03

2015-10-21

馬合保（1963-），男，河南安陽人，閩江學院數(shù)學系副教授.