孫文斐， 張建軍（鄭州城市職業(yè)學(xué)院，河南 鄭州 452370）

含u'的二階非線性完全邊值問題①

孫文斐， 張建軍
（鄭州城市職業(yè)學(xué)院，河南 鄭州 452370）

基于邊值問題的上下解，利用單調(diào)迭代方法，對二階非線性完全邊值問題含的情況進行討論，得出了二階非線性完全邊值問題的解的存在性.

上下解；單調(diào)迭代方；全連續(xù)算子；Arzela-Ascoli定理

0　引言

非線性泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)有廣泛引用價值的研究方向.它的研究成果廣泛應(yīng)用于各種非線性微分方程、積分方程和其他各種類型的方程以及計算數(shù)學(xué)、最優(yōu)化理論、控制理論、動力系統(tǒng)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)等許多領(lǐng)域.

邊值問題是目前分析數(shù)學(xué)中最為活躍的領(lǐng)域之一.其中n階邊值問題，許多科學(xué)家用非線性泛函分析中的拓撲度理論、臨界點理論、半序方法、上下解方法、不動點理論、迭合度理論、單調(diào)迭代方法等理論和方法，對此問題進行了深入研究.

本文考慮中含的二階非線性完全邊值問題

利用上下解方法同時假f定關(guān)于常數(shù)M＞0，N ＞0滿足條件

1　二階非線性完全邊值問題

其中f（t，u（t），u'（t））：［0，1］×R×R→R為連續(xù)函數(shù).

定義1若α（t）∈C2［0，1］，滿足

則稱其為邊值問題（3）～（4）的下解.若上式中的不等號取反向，則稱α（t）為（3）～（4）的上解.

引理1設(shè)u∈C2（I），N，M為常數(shù)N＞0，M ＜0，且N2+4M＞0

定義2在α≤β，α'≤β'的情況下討論單調(diào)迭代方法.關(guān)于函數(shù)f（t，u，x）作如下假設(shè)（H），

定理： 若二階邊值問題（3）～（4）存在下解α及上解β滿足連續(xù)，滿足假設(shè)（H），則分別u0=α，β以為初始項用線性迭代方程

做迭代序列αn及βn有

證明： 對?η∈C'（I）考慮線性邊值問題

由引理1知，方程（5）存在唯一解，記為u=

Qη，那么

其中c11（0），c21（0）是由方程組（5）解得的常數(shù).下面可證Q：C'（O）→C'（I）為全連續(xù)算子，要證Q：C'（I）→C'（I）為全連續(xù)算子只需證是Q緊的，并且Q是連續(xù)算子.

先證Q是緊的，即需證當(dāng)S是C'（I）有界集，Q（S）是列緊的，由Arzela-Ascoli定理知之需證Q（S）一致有界且Q'（S）等度連續(xù).

證明： 先來證Q（S）一致有界.由Qη（t）的表達式可得

那么由f（t，η（t），η'（t）），η（t），η'（t）在［0，1］上連續(xù)和 Qη（t），（Qη）'（t）表達式易得 Qη（t），（Qη）'（t）在［0，1］上一致有界，所以Q（S）中諸函數(shù)一致有界.

Q'（S）的等度連續(xù)性可以由（Qη）'（t）的表達式容易得證.

總上所述Q：C'（I）→C'（I）為全連續(xù)算子，易見u為邊值問題（3）～（4）的解的充要條件是：u 為Q的不動點.令

則α，β∈D易見D為C'（I）中的有界非空凸閉集，下分3部分完成定理證明.

（1）證明Q（D）?D

任取η∈D，令u=Qη，由Q，α，D的定義及（H）有

由引理1知u（t）≥α（t），u'（t）≥α'（t），用β -u代替u-α可得：u≤β，u'≤β'，因此u∈D，于是Q（D）?D.

按Q的定義及假設(shè)（H）有

由引理3知u2≥u1，u2'≥u1'.

（3）取α0=α，β0=β，做迭代序列

按Q的定義｛αn｝，｛βn｝為按線性迭代方程（5）所做的序列，按證明（1），（2）有

令n→∞，有

［1］郭大鈞，孫經(jīng)先.抽象空間常微分方程［M］.濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2002.

［2］郭大鈞.非線性泛函分析［M］.濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

［3］張恭慶，林源渠.北京：北京大學(xué)出版社，2010.

［4］Cabada A.The Method of Lower and Upper Solutions for Second，Third，F(xiàn)ourth and Higher Order Boundary Value Problems JMath AnalAppl，1994，185：302-320.

With u'of Second-order Nonlinear BoundaryValue Problem Completely

SUN Wen-fei， ZHANG Jian-jun

（City University of Zhengzhou，Henan zhengzhou，452370，China）

In this paper，based on the boundary value problem of upper and lower solutions，using the monotone iterative method，the second order nonlinear complete boundary value problem with was discussed，and the existence of the solution for the second order nonlinear complete boundary value problem was obtained.

Monotone interative；Upper and lower solutions；Complete continuous；Arzela-Ascoli theorem

O177.91

A

1008-1402（2015）06-0804-03

2015-09-22

孫文斐（1986-），男，河南鄭州人，鄭州城市職業(yè)學(xué)院碩士研究生.