李寶麟， 張元德（.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

測度微分方程對參數(shù)的連續(xù)依賴性①

李寶麟1， 張元德2
（1.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

測度微分方程可以轉(zhuǎn)化為廣義常微分方程，通過廣義常微分方程對參數(shù)的連續(xù)依賴性證明測度微分方程解對參數(shù)的連續(xù)依賴性定理.

廣義常微分方程；測度微分方程；Kurzweil積分；連續(xù)依賴性

0　引言

文獻［1］中，J.Kurzweil在1957年首次提出了廣義常微分方程，推廣了Riemann積分和Lebesgue積分，廣義常微分方程包括多種形式，比如，脈沖滯后泛函微分方程［2］，時間軸上的動力微分方程［3］，測度微分方程［2］等.

在適當(dāng)?shù)臈l件下，廣義常微分方程解對參數(shù)有連續(xù)依賴性，這篇文章的主要目的是得到測度微分方程解關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性定理.

具有以下形式的方程稱為測度微分方程：

其中Dx，Du表示函數(shù)x和u的分布導(dǎo)數(shù).f：G→Rn，

g：G→Rn，其中G=B×［a，b］，B是一個開集，令

（C1）f（x，·）在區(qū)間［a，b］上Lebesgue可測，且存在一個Lebesgue可測函數(shù)m：［a，b］→R使得對（x，s）∈B×［a，b］有＜+∞和‖f（x，s）‖≤m（s）成立.

（C2）存在Lebesgue可測函數(shù)l：［a，b］→R使得對所有的（x，s），（y，s）∈B珔×［a，b］有＜+∞和‖f（x，s）-f（y，s）‖≤l（s）ω（‖xy‖）成立.屬于C（B×［a，b］，μ，ω）且滿足以下條件：

（H1）g（x，·）關(guān)于測度μ是可測的，且存在一個u-可測函數(shù)m：［a，b］→R使得對所有的（x，s）∈珔B× ［a，b］，有

（H2）存在一個u-可測函數(shù)l：［a，b］→R使得對任意的（x，s），（y，s），有成立.其中ω：［0，+∞）→R為連續(xù)遞增函數(shù)且ω（0）=0.

為了方便討論，和文獻［2］中討論Carathéodory方程［4］有關(guān)性質(zhì)的方法類似，令s）du（s）那么在適當(dāng)?shù)臈l件下測度微分方程的解可以和廣義常微分方程的解等價（詳見引理1.3）.

1　預(yù)備知識

定義1.1［5］函數(shù)F：［a，b］×［a，b］→Rn在區(qū)間［a，b］上稱為Kurzweil可積的，如果存在向量I∈Rn，使得對任意的ε＞0，存在正值函數(shù)δ：［a，b］→（0，+∞），對［a，b］的任何δ-精細分劃D：a=α0＜α1… ＜αk=b及｛τ1，τ2，…，τk｝，有

特別地，當(dāng)f：［a，b］→Rn且g：［a，b］→R，F(xiàn)（τ， t）=f（τ）g（t）時

定義1.2［2］設(shè)函數(shù)F：G→Rn，如果F屬于函數(shù)族F（G，h，ω），則對任意的，有且對任意的∈G有

其中h：［a，b］→R為不減函數(shù)，ω：［0，+∞）→R 且ω（0）=0為連續(xù)的增函數(shù).

定義1.3［2］設(shè)函數(shù)x：［a，b］→Rn，若對所有的s∈［a，b］，有

則稱x為廣義常微分方程

的解.

引理1.1［3］若f：［a，b］→Rn為正則函數(shù)，g：［a，b］→R為不減函數(shù)，則積分存在.

引理1.2［3］令g：［a，b］→R為不減函數(shù)，若函數(shù)列使得對k∈ N，存在，假設(shè)存在函數(shù)m：［a，b］→R使得積分存在且‖fk（t）‖≤m（t），t∈若對任意的=則存在且

引理1.3［2］函數(shù)x：［a，b］→Rn稱為測度微分方程（1.1）在區(qū)間［a，b］上的解當(dāng)且僅當(dāng)x是廣義常微分方程（3）在區(qū)間［a，b］上的解，其中F（x，t）=F1（x，t）+F2（x，t）.

引理1.4［2］假設(shè)F：G→Rn滿足條件（1），若［α，β］?［a，b］且x：［a，b］→Rn是方程（3）的解，則對任意的s1，s2∈［α，β］，不等式成立.其中h：［a，b］→R為不減函數(shù).

且我們假設(shè)

引理1.5［2］令F：G→Rn屬于函數(shù)族F（G， h，ω）且令（，t0）∈G滿足條件（2.4）.則存在Δ～，Δ+＞0使得在區(qū)間上存在廣義常微分方程（3）的解x：［t0-Δ-，t0+Δ+］→Rn滿足x（t0）=.

引理1.6［2］若函數(shù)使得g，其中μ是有界變差函數(shù)u：［a，b］→R給定的Lebesgue-Stieltjes測度，則對

存在不減函數(shù)h：［a，b］→R使得不等式

和

引理1.7［2］令函數(shù)U：［a，b］×［a，b］→Rn使得U∈K（［a，b］）且c∈［a，b］ .則

引理1.8［3］假設(shè)Fk：G→Rn屬于函數(shù)族F（G，h，ω），k=0，1，…且對（x，t）∈G，有

在區(qū)間［α，β］?［a，b］上的解且滿足

和（x（s），s）∈G，s∈［α，β］.則x：［α，β］→Rn在區(qū)間［α，β］上是有界變差的并且是廣義常微分方程

在區(qū)間［α，β］上的解.

2　測度微分方程解對于參數(shù)連續(xù)依賴性定理的證明

的唯一解，另外假設(shè)存在ρ＞0使得若s∈［a，b］且‖y-x（s）‖ ＜ρ，則（y，s）∈G=珔B×［a，b］，任給一個n維向量yk，k=1，2，…，滿足

則對足夠大的k∈N，方程

在區(qū)間［a，b］上存在解 xk滿足 xk（a）=yk和

證明令

再令

又因為

且

所以存在c＞a使得，若t∈［a，c］且

則（x，t）∈G，k＞k1，由引理1.5可得方程（5）存在解使得，由此可知，對t∈［a，c］有

并且可以驗證和方程（5）右端函數(shù)Fk類似，c ＞a的取值只和函數(shù)有關(guān).

根據(jù)引理（1.8）和方程（6）解的唯一性假設(shè)知，如果函數(shù)列xk在區(qū)間［a，c］上包含一個逐點收斂的子序列，則對t∈［a，c］，子序列的極限必須是x（t）.再由引理（1.4）知，函數(shù)列xk，k＞k1在區(qū)間［a，b］上等度有界且一致有界變差，因此序列xk對每個t∈［a，c］都有逐點收斂的子序列xk（t）.

以上證明該結(jié)論在區(qū)間［a，c］，c＞a上成立，現(xiàn)在假設(shè)結(jié)論在整個區(qū)間［a，b］上不成立，則存在c*∈（a，b）使得對任意的c＜c*，方程（5）的解xk在區(qū)間［a，c］上滿足xk（a）=yk且對足夠大的k∈N有

但是在區(qū)間［a，c］，c＞c*上是不成立的.根據(jù)引理（1.4）可得

其中k∈N足夠大.因此xk（c*-）=x（c*-）= x（c*）的極限存在，又因為解x是左連續(xù)的，所以

這意味著該定理在閉區(qū)間［a，c*］上成立.類似地，可以證明該結(jié)論在閉區(qū)間［c*，c*+Δ］，上也成立，其中Δ＞0，這與原假設(shè)矛盾，即結(jié)論在整個閉區(qū)間［a，b］上成立.

［1］J.Kurzweil.Generalized Ordinary Differential Equations and Continuous Dependence on a Parameter［J］.Czechoslovak Math，1957，7（82）：418-448.

［2］Schwabik.Generalized Ordinary Differential Equations［J］. World Scientific，Singapore，1992.

［3］A.Slavík.Dynamic Equations on Time Scales and Generalized Ordinary Differential Equations［J］.Math.Anal.Appl，2012，385：534-550.

［4］M.A.Krasnoselskij，S.G.Krein.On the Averaging Principle in Nonlinear Mechanics［J］.Uspehi mat.nauk 10 no，1955，3：147 -152.

［5］A.Slavík.Generalized Differential Equations：Differentiability of Solutions with respect to Initial Conditions and Parameters［J］. Math.Anal.Appl，2013，402：261-274.

Continuous Dependence on Parameters for Measure Differential Equations

LI Bao-lin1， ZHANG Yuan-de2

（1.College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China；2.College of Mathematics and Statistics，Lanzhou 730070，China）

It is well know that measure differential equations can be treated as generalized ordinary differential equations as introduced by J.Kurzweil.In this paper，continuous dependence theorem on parameters for measure differential equations was established using continuous dependence on parameters for generalized ordinary differential equations

measure differential equations；Kurzweil integral；generalized ordinary differential equations；continuous dependence

O175.12

A

1008-1402（2015）06-0801-03

2015-09-21

國家自然科學(xué)基金項目（11061031）.

李寶麟（1963-），男，甘肅天水人，西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院教授，博士，.研究方向：常微分方程與動力系統(tǒng).