李國(guó)慶，張 浩，李 江，王義偉，張 鵬

（東北電力大學(xué) 電氣工程學(xué)院，吉林 吉林 132012）

0 引言

隨著電力市場(chǎng)化改革的不斷深入，現(xiàn)代電力系統(tǒng)已越來(lái)越接近其運(yùn)行和控制極限，電網(wǎng)中電壓失穩(wěn)乃至電壓崩潰的事故時(shí)有發(fā)生，因此電壓穩(wěn)定問題成為了學(xué)術(shù)界日益關(guān)注的焦點(diǎn)。電力系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性特性，因此非線性分析方法的介入顯得尤為重要。分岔理論作為分析和研究非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的基本方法[1-3]，近些年來(lái)在電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定問題研究中取得了豐碩成果。文獻(xiàn)[4-6]研究了局部分岔理論在電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[7-9]從負(fù)荷角度考慮了幾種典型模型對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的影響。文獻(xiàn)[10]基于Walve綜合負(fù)荷模型，采用分岔理論對(duì)一種典型電力系統(tǒng)模型進(jìn)行了電壓失穩(wěn)機(jī)理研究。文獻(xiàn)[11]介紹了電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定分析中的多種分岔現(xiàn)象及其與電壓失穩(wěn)之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[12]基于分岔理論探討了發(fā)電機(jī)數(shù)學(xué)模型對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)電壓穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[13-16]也應(yīng)用分岔理論給出了電力系統(tǒng)的一些分岔分析結(jié)果。這些研究均展現(xiàn)出了電力系統(tǒng)的復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)特性。

針對(duì)電力系統(tǒng)可能出現(xiàn)的不穩(wěn)定現(xiàn)象，分析運(yùn)行和控制極限發(fā)生時(shí)的動(dòng)態(tài)過程，弄清含勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)的電力系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，對(duì)電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。文獻(xiàn)[17]研究了發(fā)電機(jī)勵(lì)磁頂值和PSS回路對(duì)電力系統(tǒng)的振蕩失穩(wěn)和混沌現(xiàn)象的影響。文獻(xiàn)[18]以一個(gè)典型的電力系統(tǒng)模型為基礎(chǔ)，分析了考慮勵(lì)磁限制所導(dǎo)致的各種分岔行為。為了研究方便，對(duì)于勵(lì)磁限制器的限制作用采用光滑的函數(shù)進(jìn)行模擬，但由此所帶來(lái)的計(jì)算誤差是不可避免的。因此，本文采用降低方程組維數(shù)的方法來(lái)準(zhǔn)確地模擬勵(lì)磁限制器的限制作用，進(jìn)而研究勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的影響，并在此基礎(chǔ)上逐漸降低勵(lì)磁電壓頂值，對(duì)比分析其對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的影響。

本文雖以一個(gè)簡(jiǎn)單的單機(jī)3節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)模型為研究對(duì)象，但此研究方法、結(jié)論同樣可以推廣到多機(jī)系統(tǒng)。文獻(xiàn)[19-20]基于極限誘導(dǎo)分岔，分別采用單機(jī)和多機(jī)系統(tǒng)模型研究了發(fā)電機(jī)無(wú)功極限對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的影響，此文獻(xiàn)類比于本文的研究?jī)?nèi)容和結(jié)論。文獻(xiàn)[21]采用IEEE 14節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)，研究了發(fā)電機(jī)最大勵(lì)磁極限對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的影響，所得結(jié)論與本文研究成果一致。文獻(xiàn)[22]研究一個(gè)234節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)，成功地搜索出了靜分岔點(diǎn)。

1 含勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)的系統(tǒng)模型

電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定研究所采用的數(shù)學(xué)模型一般可以由一組微分-代數(shù)方程組來(lái)描述：

其中，x∈Rn和y∈Rm分別為系統(tǒng)的微分變量和代數(shù)變量；λ∈R為電力系統(tǒng)的某一控制參數(shù)；微分方程組f（·）描述了電力系統(tǒng)元件的動(dòng)態(tài)行為；代數(shù)方程組g（·）由電力系統(tǒng)潮流方程和描述微分變量與代數(shù)變量關(guān)系的方程組成。

文中采用簡(jiǎn)單的單機(jī)3節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)模型。該模型由1臺(tái)發(fā)電機(jī)、1條負(fù)荷母線和1條無(wú)窮大母線組成，如圖1所示，詳細(xì)參數(shù)可參閱文獻(xiàn)[23]。

圖1 系統(tǒng)模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of system model

1.1 發(fā)電機(jī)模型

a.轉(zhuǎn)子側(cè)方程。

發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程如下：

其中，sm為轉(zhuǎn)差率；ωB為額定角頻率；Pm為機(jī)械輸入功率；Pe為電磁功率；δ為發(fā)電機(jī)功角；H為機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；d為機(jī)組阻尼系數(shù)。

描述勵(lì)磁繞組和q軸阻尼繞組的暫態(tài)過程方程如下：

其中，E′q和 E′d分別為 q 軸和 d 軸暫態(tài)電勢(shì)；Efd為勵(lì)磁電勢(shì)。

發(fā)電機(jī)的輸出功率為：

b.定子側(cè)方程。

忽略定子電阻及其暫態(tài)過程，定子側(cè)方程如下：

1.2 勵(lì)磁系統(tǒng)方程

發(fā)電機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)用一個(gè)高增益的單時(shí)間常數(shù)自動(dòng)電壓調(diào)節(jié)器（AVR）和限制器表示，傳遞函數(shù)框圖如圖2所示。該勵(lì)磁系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下：

其中，τA和KA分別為勵(lì)磁系統(tǒng)調(diào)節(jié)器的時(shí)間常數(shù)和放大倍數(shù)；Ut為發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓。

圖2 勵(lì)磁系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of excitation system

圖2中的限制器可以用式（10）描述：

1.3 負(fù)荷模型

負(fù)荷節(jié)點(diǎn)采用描述大擾動(dòng)下感應(yīng)電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)行為的Walve綜合負(fù)荷模型，其表達(dá)式為：

其中，Ul和δl分別為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的電壓和相角。

1.4 網(wǎng)絡(luò)模型

采用圖1中的符號(hào)，不難得到以下網(wǎng)絡(luò)方程：

令 a=Y1Ulcos（δl-δ），b=Y1Ulsin（δl-δ），則有：

方程中規(guī)定的相角關(guān)系如圖3所示。

圖3 方程中規(guī)定的相角關(guān)系Fig.3 Phase relationship stipulated in equations

1.5 全系統(tǒng)模型

母線2處的功率平衡方程為：

整理可得全系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型如下：

其中，x=[δ smE′qE′dδlUlEfdx]T；λ為分岔參數(shù)。圖2中的限制器是一個(gè)窗口限制器，由于該模型非連續(xù)，無(wú)法用來(lái)進(jìn)行分岔分析，本文采用降維的方法描述這一勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)，即在勵(lì)磁電壓達(dá)到頂值時(shí)，不考慮式（9）的作用，并令式（4）中的勵(lì)磁電壓Efd等于勵(lì)磁頂值。

假如考慮勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)，且勵(lì)磁頂值等于5 p.u.，從數(shù)學(xué)模型的角度而言，此時(shí)Efdx不再是微分變量，而式（4）也將變?yōu)椋?/p>

其他微分方程保持不變，由此可知微分方程組的維數(shù)降低了一維，此時(shí)的狀態(tài)變量為：

2 系統(tǒng)分岔分析

本節(jié)將利用分岔分析軟件AUTO 07[24]，對(duì)圖1所示系統(tǒng)進(jìn)行分岔分析，在考慮勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)及降低勵(lì)磁電壓頂值的前提下，闡述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為所呈現(xiàn)的差異。

2.1 不考慮勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)時(shí)的分岔分析

根據(jù)Ul所代表的物理意義，當(dāng)機(jī)械輸入功率Pm變化使Ul處于穩(wěn)定或不穩(wěn)定平衡點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定或不穩(wěn)定狀態(tài)。后面的分析中，Pm、Ul和Efdx均為標(biāo)幺值；圖中實(shí)線與虛線分別表示穩(wěn)定、不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，曲線拐點(diǎn)為鞍結(jié)分岔點(diǎn)，實(shí)心小方框代表Hopf分岔點(diǎn)。

圖4中點(diǎn)1是系統(tǒng)初始穩(wěn)定平衡點(diǎn)，點(diǎn)3是勵(lì)磁電壓等于5 p.u.時(shí)的平衡點(diǎn)，曲線拐點(diǎn)4是鞍結(jié)分岔點(diǎn)。由圖4和圖5可以看出，隨著分岔參數(shù)Pm的增加，系統(tǒng)在到達(dá)鞍結(jié)分岔點(diǎn)之前已經(jīng)出現(xiàn)了Hopf分岔?？梢姡敖Y(jié)分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的機(jī)械輸入功率值已不是系統(tǒng)安全運(yùn)行的功率極限，單純的鞍結(jié)分岔點(diǎn)已不能完全反映系統(tǒng)的實(shí)際功率裕度。因?yàn)樵贖opf分岔點(diǎn)經(jīng)受小擾動(dòng)后，負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓可能就已經(jīng)出現(xiàn)了周期或非周期振蕩。如圖6所示，在圖4點(diǎn)7和點(diǎn)8處負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓發(fā)生幅值不等的周期振蕩；在點(diǎn)9和點(diǎn)10處負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓發(fā)生非周期性振蕩失穩(wěn)。表1給出了相應(yīng)的分岔參數(shù)值（表中功率、電壓皆為標(biāo)幺值），可以看出在圖4點(diǎn)4、8、9處勵(lì)磁電壓已經(jīng)大于5 p.u.，顯然不符合電力系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行情況。

圖4 不計(jì)勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)時(shí)的分岔圖1Fig.4 Bifurcation diagram 1 excluding excitation saturation element

圖5 不計(jì)勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)時(shí)的分岔圖2Fig.5 Bifurcation diagram 2 excluding excitation saturation element

圖6 圖4中點(diǎn) 7、8、9、10 處的 Ul-t曲線Fig.6 Ul-t curve of point 7，8，9 and 10 in fig.4

表1 不計(jì)勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)時(shí)的分岔參數(shù)值Table 1 Bifurcation parameter values excluding excitation saturation element

在實(shí)際運(yùn)行的系統(tǒng)中，發(fā)電機(jī)勵(lì)磁電壓受到物理結(jié)構(gòu)的限制被約束在特定的范圍內(nèi)，這一范圍體現(xiàn)為勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)，其具有典型的非線性特征。如果勵(lì)磁電壓達(dá)到頂值，飽和環(huán)節(jié)發(fā)生作用，勵(lì)磁電壓為常數(shù)，此時(shí)電力系統(tǒng)遭受擾動(dòng)，發(fā)電機(jī)將失去電壓調(diào)節(jié)能力，導(dǎo)致控制性能下降，系統(tǒng)可能失穩(wěn)。下面分析勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)及勵(lì)磁電壓頂值對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的影響。

2.2 考慮勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)時(shí)的分岔分析

根據(jù)選取模型不同，勵(lì)磁頂值的取值也不同。文獻(xiàn)[25-28]中對(duì)的典型取值分別為 1.7、2.3、4.5、5.4和5 p.u.。因此本文簡(jiǎn)化勵(lì)磁頂值的取值分別為5、4、3 p.u.。

2.2.1 勵(lì)磁頂值等于5 p.u.時(shí)的分岔分析

當(dāng)考慮勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)且勵(lì)磁頂值等于5 p.u.時(shí)，以圖7中的點(diǎn)1（對(duì)應(yīng)圖4中的點(diǎn)3）為初始平衡點(diǎn)進(jìn)行分岔計(jì)算。通過與圖4的對(duì)比可知，考慮勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)后負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓Ul的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生了明顯變化，鞍結(jié)分岔點(diǎn)推遲出現(xiàn)，并且在機(jī)械輸入功率等于2.15 p.u.處出現(xiàn)了Hopf分岔，在此分岔點(diǎn)附近出現(xiàn)的非周期性振蕩如圖8所示。圖8中各負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的電壓振蕩幅值如表2所示。

2.2.2 勵(lì)磁頂值等于4 p.u.時(shí)的分岔分析

圖7 勵(lì)磁頂值等于5 p.u.時(shí)的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram when excitation top value is 5 p.u.

當(dāng)考慮勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)且勵(lì)磁頂值等于4 p.u.時(shí)，以點(diǎn)1（即勵(lì)磁電壓剛達(dá)到頂值4 p.u.）為初始平衡點(diǎn)進(jìn)行分岔計(jì)算，所得結(jié)果如圖9所示，同圖7比較可知，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行達(dá)到勵(lì)磁極限并在極限上運(yùn)行時(shí)，更小的勵(lì)磁頂值將使得負(fù)荷母線電壓隨機(jī)械輸入功率增加更快速地到達(dá)鞍結(jié)和Hopf分岔點(diǎn)。隨著勵(lì)磁頂值的減小，相應(yīng)的鞍結(jié)分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)功率傳輸極限也將減小，使系統(tǒng)容易失去穩(wěn)定。同圖10與圖8相比可知，在Hopf分岔點(diǎn)附近的小擾動(dòng)將導(dǎo)致負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓振蕩，隨著勵(lì)磁頂值的減小，振蕩幅值明顯降低。表3給出了相應(yīng)的分岔參數(shù)值。

圖8 圖7中點(diǎn) 6、7、8處的 Ul-t曲線Fig.8 Ul-t curve of point 6，7 and 8 in fig.7

表2 勵(lì)磁頂值等于5 p.u.時(shí)的分岔參數(shù)值Table 2 Bifurcation parameter values when excitation top value is 5 p.u.

圖9 勵(lì)磁頂值等于4 p.u.時(shí)的分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram when excitation top value is 4 p.u.

圖10 圖9中點(diǎn)6、7、8處的Ul-t曲線Fig.10 Ul-t curve of point 6，7 and 8 in fig.9

2.2.3 勵(lì)磁頂值等于3 p.u.時(shí)的分岔分析

當(dāng)考慮勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)且勵(lì)磁頂值等于3 p.u.時(shí)，以點(diǎn)1（即勵(lì)磁電壓剛達(dá)到頂值3 p.u.）為初始平衡點(diǎn)進(jìn)行分岔計(jì)算，所得結(jié)果如圖11所示。同圖7比較可知，鞍結(jié)分岔點(diǎn)出現(xiàn)之前沒有出現(xiàn)Hopf分岔點(diǎn)。隨勵(lì)磁頂值的減小，相應(yīng)的鞍結(jié)分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)功率傳輸極限將進(jìn)一步減小，使得系統(tǒng)更容易失去穩(wěn)定。表4給出了相應(yīng)的分岔參數(shù)值。

表3 勵(lì)磁頂值等于4 p.u.時(shí)的分岔參數(shù)值Table 3 Bifurcation parameter values when excitation top value is 4 p.u.

圖11 勵(lì)磁頂值等于3 p.u.時(shí)的分岔圖Fig.11 Bifurcation diagram when excitation top value is 3 p.u.

表4 勵(lì)磁頂值等于3 p.u.時(shí)的分岔參數(shù)值Table 4 Bifurcation parameter values when excitation top value is 3 p.u.

3 結(jié)語(yǔ)

本文以一個(gè)3節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)模型為基礎(chǔ)，采用感應(yīng)電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)行為的Walve綜合負(fù)荷模型，研究了勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)及勵(lì)磁電壓頂值對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的影響。研究結(jié)果表明：隨機(jī)械輸入功率的增加，考慮勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)后，負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓Ul的運(yùn)動(dòng)軌跡將發(fā)生明顯變化。對(duì)比勵(lì)磁電壓頂值分別等于5、4、3 p.u.時(shí)的分岔分析結(jié)果表明：當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行達(dá)到勵(lì)磁極限并在極限上運(yùn)行時(shí)，勵(lì)磁頂值的降低，將使負(fù)荷母線電壓隨機(jī)械輸入功率的增加以更快的速度逼近鞍結(jié)和Hopf分岔點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的降低使系統(tǒng)更容易失去穩(wěn)定。對(duì)比分岔圖4、7、9、11可知，雖然鞍結(jié)分岔和Hopf分岔是系統(tǒng)電壓失穩(wěn)的2種表現(xiàn)形式，但勵(lì)磁飽和環(huán)節(jié)對(duì)它們的影響具有相對(duì)一致性。