吳文娟

有人說“問題是數學的核心，規(guī)律是數學的靈魂”。讓學生在給定的事物中探求隱藏的規(guī)律或變化趨勢，可以培養(yǎng)學生觀察、分析、綜合、歸納和推理等思維能力。還有人說，教學和訓練是培養(yǎng)學生發(fā)現規(guī)律能力的兩個重要途徑。蘇教版數學教材第二學段各冊“找規(guī)律”單元為培養(yǎng)學生發(fā)現規(guī)律的能力提供了很好的載體。蘇教版數學教材主編王林先生也曾說：找規(guī)律單元的重點在“找”上，而不是規(guī)律的應用。那在課堂教學中，如何讓學生經歷“找”規(guī)律的過程，不斷積累“找”的經驗，提升“找”的能力呢？本文筆者就以“搭配的規(guī)律”一課的教學為例進行了探索。

一、落實有序思考，初獲“找”的門道

師：同學們早餐都喜歡吃些什么？（學生自由交流）如果給你提供漢堡、饅頭、蛋糕3種點心，牛奶、豆?jié){2種飲料，選1種飲料再配1種點心做早餐，你準備怎樣搭配？（學生自由回答）

師：看來我們有多種不同的搭配，那一共有多少種不同的搭配呢？猜一猜。

絕大多數學生猜6種。

1.合作驗證：是不是6種呢？每個小組拿出老師給你們準備的點心、飲料圖片擺一擺，驗證一下。

2.匯報交流：學生邊匯報搭配的過程，邊演示。（先匯報無序搭配的，再匯報有序的）

師提問：他擺得有序嗎？是按怎樣的順序擺的？有遺漏嗎？

生：他是先依次選點心，再分別配飲料。

師：還可以按怎樣的順序來搭配呢？

學生上臺演示另一種順序的搭配過程。

3.小結：有序搭配，才能做到不遺漏，又不重復。具體怎么做呢？

生：先從點心中選一樣，再依次配飲料;或先從飲料中選一種，再依次配點心。

【反思】數學教育的主要任務之一就是培養(yǎng)和發(fā)展學生的數學思維能力，而有序思考是良好思維品質的重要標志，也是學生解決許多復雜問題的重要方法。解決搭配問題有兩種方法：一一列舉或計算，而計算的算理正是建立在有序列舉基礎上的，學會有序列舉也就初步找到了規(guī)律。請學生用圖片擺一擺，部分學生會“無序”地隨意擺，但也有部分學生由于以前積累的“有序”思考的經驗會有序地擺出，教師順勢請學生比較“有序”和“無序”兩種方法，并觀察是否遺漏、是否重復，將學生目光聚焦到“有序”思考。但說“有序”易，做到“有序”難，教師在提問中將“有序”具體化為“是按怎樣的順序擺的？”這個問題將“有序”變得可操作，也讓學生體會到“有序”并不空洞，而是確有“門道”的。而在下面的教學中，教師還會再次讓學生感受“有序”的思考方法。

二、經歷探究過程，優(yōu)化“找”的途徑

請學生收起圖片，提問：如果老師沒有給你準備實物圖片，你會用寫寫、畫畫等更簡單的方法表示各種不同的搭配嗎？試一試。

1.學生獨立嘗試，教師巡視。

2.交流評價。

（1）教師呈現生1的作業(yè)：文字表示

漢堡—牛奶、漢堡—豆?jié){、饅頭—牛奶、饅頭—豆?jié){、蛋糕—牛奶、蛋糕—豆?jié){

師：他是按怎樣的順序表示的呢？

生：他是先選漢堡，分別配兩種飲料，再選饅頭，分別配兩種飲料，最后選蛋糕，分別配兩種飲料。

（2）教師呈現生2的作業(yè)：符號表示

A1、A2、B1、B2、C1、C2

師：這里的A，B，C，1，2分別表示什么？你們看得懂嗎？

生2補充說明：A，B，C分別表示的是三種點心。1，2表示兩種飲料。

師：還有用符號或字母表示的嗎？

師：比較兩種表示，有什么共同之處呢？你喜歡哪種表示？

生：他們的表示都很有序，都是先選點心再配飲料。但文字寫比較麻煩，符號更簡潔些。

（3）教師呈現生3的作業(yè)：連線表示

漢堡 ? ? ? ? 饅頭 ? ? ? ? 蛋糕

牛奶 ? ? ? ? 豆?jié){

師：你們看得懂嗎？這里的每條線表示什么？

生：每條線表示一種搭配方法。

教師隨意指幾條，請學生說說是誰和誰搭配的。

師：這些線是隨便連的嗎？我們來采訪一下作者。

生：我先將漢堡和下面的牛奶、豆?jié){連，有2種搭配，再將饅頭和下面的牛奶、豆?jié){連，也有2種搭配，最后將蛋糕和下面的牛奶、豆?jié){連，也有2種搭配，共6種。

師：原來連線也可以解決這個問題，但連線也一定要有序地連。

師：還可怎樣連，也很有序？

生：（邊指邊說）牛奶依次連上面的三種點心，有3種搭配，再將豆?jié){依次連上面的三種點心，也有3種搭配。

（4）教師呈現生4的作業(yè)：符號連線表示

師：能看懂嗎？誰來評價一下。

生：他的方法其實和前一位同學一樣，但他用圖形表示點心和飲料，更加簡便。

3.比較優(yōu)化

師：我們展示了這么多種方法，你最喜歡用哪種方法來表示？為什么？

生：我最喜歡最后符號連線法。它又簡便又清楚。

師：復雜的問題往往可以用簡潔的圖形表示，“數形結合”是解決問題的重要策略。

【反思】有序操作使學生初步有了“找”的門道，知道該怎樣做。但每次找規(guī)律不可能都經歷擺的過程，而是要讓學生的方法逐步由直觀向抽象提升，而這個提升的過程，不是由教師直接出示書上的抽象圖，而是要讓學生充分經歷嘗試探究、交流分享、比較優(yōu)化后，形成個體獨特的體驗，從而找到屬于自己的“找”的路徑。由于每個學生思維層次的不同，個性化的思考結果為全班交流、討論、比較提供了很好的素材。展示環(huán)節(jié)，教師有意識地將學生的作品按思維層次的不同逐一出示，有助于學生看到方法“進化”的過程，明白自己的方法在一系列方法中的位置，使學生的思維能力也隨著作品層次的提高而逐步提升。伴隨每次展示的討論、思考、交流使個體的體驗相互補充、相互借鑒、相互促進，智慧與智慧碰撞、情感與情感交流、認識與能力提升。最后教師的概括總結給學生點明了一條提升“找規(guī)律”能力的途徑——數形結合。

三、突出意義理解，抽象“找”的本質

1.算式表示：根據前面的思考，你能用算式表示搭配的總數嗎？（3×2=6或2×3=6）

師：你怎么理解算式？

生：第一種點心配兩種飲料，有兩種方法;第二種點心配飲料也有兩種方法;第三種點心配飲料也有兩種方法，就是3個2種。

生：還可以這樣理解，第一種飲料配三種點心，就是三種方法，第二種飲料配點心也有三種方法，就是2個3種。

2.如果給你3種飲料，現在有多少種搭配方式？想象一下可以怎樣連線？怎樣列式呢？

生：多了一種飲料，第三種飲料配三種點心也有三種方法，現在是3個3種，就是3×3=9。

3.如果再增加一種點心，有多少種搭配方式？有幾個幾種？

生：新增的這種點心和三種飲料搭配，可以有3種方法，因此就有4個3種，4×3=12。

4.如果有10種點心、8種飲料，又有多少種不同的搭配呢？（學生有的在連線，有的思考后直接列式。）

生：第一種點心分別與8種飲料配，有8種方法;第二種點心分別與8種飲料配也有8種方法;第三種點心分別與8種飲料配也有8種方法……

有學生搶說：不要說了，就這樣有10個8種，所以是10×8=80。

師：有連線連完的嗎？為什么不連了？

生：線太多，太麻煩了。

生：只要連第一種點心就好了。

5.出示表格：

點心種數 飲料種數 搭配總方法數

3 2 6

3 3 9

4 3 12

10 8 80

師：現在你能發(fā)現隱藏在搭配中的規(guī)律究竟是什么了嗎？

生：點心種數×飲料種數=搭配總方法數。

生：一種事物的數量×另一種事物的數量=搭配總方法數。

師：你們覺得哪種概括得更好呢？

生：第二種好，生活中還有其他的搭配情況呢。不光是點心和飲料。

師：這就是兩種事物搭配的規(guī)律。生活中還有哪些搭配現象呢？

生：生活中還有穿衣服和褲子搭配、吃水果和飲料搭配……

【反思】規(guī)律本質上屬于“構建數學模型”的領域，在小學階段結論的獲得很難通過嚴格的證明得到，往往是通過不完全歸納獲得的，而從半直觀、半抽象的圖形表示到抽象概括成算式，則更有利于學生在不完全歸納中發(fā)現一般性的規(guī)律。告知學生怎樣列式很簡單，就是將一類事物的種數乘另一類事物的種數，但如果不加強對乘法意義的理解，那規(guī)律就只是一種死的結果而已。教學中教師設計了增加一種點心，再增加一種飲料的情況，導致搭配總數發(fā)生變化，使學生很好地進行方法遷移，借助前面的思考很快想出“幾個幾”，最后教師一下子將點心和飲料增至10種和8種，兩個數據同時變化，且變得比較大，部分學生重新回歸畫圖的策略，但有前面“幾個幾”的反復理解，大部分學生畫了一種點心的搭配就找到了“幾個幾”。這就顯示出算理理解的強大作用。在教學中教師注重算式意義的理解，是希望學生在不斷的理解中自覺抽象，在運用中又不斷深入理解。

四、適時拓展延伸，提升“找”的價值

在完成穿衣問題、路線問題等基本練習后，教師出示了這樣一題：如果有三種點心、兩種飲料、三種水果，選一種點心、一種飲料、一種水果搭配成早餐，一共有多少種不同的搭配？

1.猜一猜，一共有多少種？怎么列式？

生：3×2×3=18（種）。

2.為什么這樣列式？說說你的想法。

生：先將點心和飲料搭配，3×2=6（種），再將得到的6種分別與三種水果搭配，6×3=18（種）。

師：你由前面已解決的兩種事物的搭配種數，再繼續(xù)進行搭配，這種方法遷移是非常有價值的思考。

3.由此我們想到當三種事物進行搭配時，你發(fā)現了什么樣的規(guī)律？

生：第一種事物的數量×第二種事物的數量×第三種事物的數量=搭配的總方法數。

4.由兩種事物的搭配規(guī)律，我們推出三種事物的搭配規(guī)律，如果是四種、五種、六種……你能找出它們搭配的規(guī)律嗎？課后請繼續(xù)思考。

【反思】規(guī)律的獲得使學生享受到成功的快樂，數學能力得到全面提升，解決問題變得輕而易舉。但如果只是停留于此，規(guī)律的深刻價值還未得到體現，思維的層次還在淺表，數學經驗的獲得還不夠豐富?；诖?，教師又設計問題讓學生進一步思考三種物體的搭配，但只是在例題的基礎上增加一步。這樣，學生能借助前面的經驗由此及彼，將思維的重點放在規(guī)律的拓展上。當學生通過猜測、邏輯推理形成這類規(guī)律的完整認識后，他的經驗也得到了螺旋式上升和發(fā)展，而這次課所研究的規(guī)律價值也得到了提升，就會更進一步激起學生探究的欲望。但規(guī)律價值的拓展不是無邊界的，一定是處于學生思維的最近發(fā)展區(qū)，否則，只會讓學生苦不堪言。

（江蘇省宜興市第二實驗小學 ? 214206）