馬理

數(shù)的運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一。從小學(xué)數(shù)學(xué)課程的實(shí)際來看，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算始終是學(xué)習(xí)的主線，其他數(shù)學(xué)知識(shí)都必須跟隨著這根主線穿插、展開。學(xué)生對(duì)運(yùn)算算理理解的意義毋庸置疑，算理理解是算法掌握的基礎(chǔ)，幫助學(xué)生記憶算法，完善數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而更容易地同化順應(yīng)新的運(yùn)算知識(shí)，算理理解是運(yùn)算教學(xué)一個(gè)良性的學(xué)習(xí)過程。運(yùn)算的算理只有被深刻理解了，學(xué)生才能真正掌握運(yùn)算知識(shí)的本質(zhì)，運(yùn)算才能正確、熟練。本文筆者就結(jié)合教學(xué)實(shí)踐來談一談促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算算理理解的幾點(diǎn)策略。

一、立足學(xué)習(xí)起點(diǎn)，回歸知識(shí)本源，促進(jìn)運(yùn)算算理的經(jīng)驗(yàn)性理解

（一）理一理，明確算理理解的實(shí)際起點(diǎn)

學(xué)習(xí)是建立在學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)上的。也就是說，新知識(shí)的學(xué)習(xí)必須要找到學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上生成新的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，算理教學(xué)亦是如此。

四年級(jí) “小數(shù)加法和減法”一課，內(nèi)容看似簡(jiǎn)單，只要學(xué)生知道了“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”這一規(guī)則，再反復(fù)鞏固即可，但在以往實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)經(jīng)過反復(fù)操練，學(xué)生仍然會(huì)出現(xiàn)末位對(duì)齊的錯(cuò)誤?？磥?，即便是簡(jiǎn)單計(jì)算，缺少了對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的對(duì)接，就不能實(shí)現(xiàn)真正的理解。于是，筆者在教學(xué)前先對(duì)學(xué)生的已有知識(shí)進(jìn)行了整理，而后進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)。

【案例】小數(shù)加法和減法

小數(shù)加、減法的教學(xué)，先通過整數(shù)加、減法“475+2”引入，引導(dǎo)學(xué)生思考：2與誰相加？2為什么非得與5相加？讓學(xué)生回憶 “相同數(shù)位對(duì)齊才能相加、減”。接著將題改為“4.75+0.2”，請(qǐng)學(xué)生算算這道小數(shù)加法，爭(zhēng)議得數(shù)是“4.77”還是“4.95”。引導(dǎo)思考：你有什么辦法證明得數(shù)是“4.95”呢？學(xué)生有的通過添單位“元”或者“米”進(jìn)行考慮，有的通過小數(shù)的基本性質(zhì)，在0.2末尾添上0，改變0.2的計(jì)數(shù)單位來說明，還有的認(rèn)為相同數(shù)位上的數(shù)才能相加，所以十分位上的“2”和十分位上的“7”相加。對(duì)小數(shù)加法的算理進(jìn)行了多元詮釋后，再對(duì)比“475+2”和“4.75+0.2”的豎式，引導(dǎo)思考：“475+2”的2和5 對(duì)齊，也就是末位對(duì)齊，“4.75+0.2”是小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，這兩種方法看上去不一樣，內(nèi)在的道理是不是一樣呢？

在小數(shù)加、減法之前，學(xué)生有四年的整數(shù)加、減法的學(xué)習(xí)，對(duì)“末位對(duì)齊”這一技巧已經(jīng)非常嫻熟，對(duì)整數(shù)中“相同數(shù)位對(duì)齊才能相加減”也有了一定的認(rèn)識(shí)。但同時(shí) “末位對(duì)齊”也會(huì)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)新知帶來負(fù)遷移。在教學(xué)中需要選擇合適的例子與原有的“相同數(shù)位對(duì)齊才能相加減”進(jìn)行對(duì)接。上例中立足于學(xué)生的整數(shù)加法的起點(diǎn)，把整數(shù)加、減法中“末位對(duì)齊”的算法，規(guī)整到小數(shù)加、減法“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”中，對(duì)比理解兩者本質(zhì)上都是相同數(shù)位上的數(shù)相加、減，給小數(shù)加、減法的算理建構(gòu)找到合適的生長(zhǎng)點(diǎn)。

（二） 退一步，回到算理理解的知識(shí)本源

數(shù)的概念、運(yùn)算意義、運(yùn)算法則、運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算定律等是算理理解的知識(shí)本源。如：整數(shù)加、減法的知識(shí)本源是加、減法的意義，以及數(shù)的概念;小數(shù)加、減法和乘除法的知識(shí)本源是對(duì)小數(shù)的意義的認(rèn)識(shí)，分?jǐn)?shù)加、減法的知識(shí)本源是對(duì)分?jǐn)?shù)的意義的認(rèn)識(shí)，四則混合運(yùn)算的知識(shí)本源是運(yùn)算意義 、運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算定律等等。在計(jì)算教學(xué)中，退一步，回到算理理解的知識(shí)本源往往能讓算理理解更加深刻。

在“同分母分?jǐn)?shù)的加、減法”的教學(xué)中，上課教師對(duì)同分母分?jǐn)?shù)的加、減法的教學(xué)就從“整數(shù)單位”和“分?jǐn)?shù)單位”的概念引出的，將教學(xué)的精力放在對(duì)知識(shí)本源的追蹤上。

【案例】同分母分?jǐn)?shù)的加、減法

出示問題情境：

第一個(gè)：1厘米、2厘米、3厘米、4厘米……

1分米、2分米、3分米、4分米……

在上面的兩行數(shù)據(jù)中每次挑出兩個(gè)，組成一個(gè)加法算式。請(qǐng)你寫出幾個(gè)有代表性的算式，并計(jì)算出它們的結(jié)果。

第二個(gè)：，，，，，，，，，……

，，，，，，，，，……

在上面的兩行數(shù)中每次挑出兩個(gè)，組成一個(gè)加法算式。請(qǐng)你寫出幾個(gè)有代表性的算式，并計(jì)算出它們的結(jié)果。

對(duì)于五年級(jí)的學(xué)生來說，計(jì)算類似3厘米加2厘米的問題，似乎起點(diǎn)太低了，但正因?yàn)橛辛?厘米加2厘米的理解，學(xué)生對(duì)+的理解順理成章，其間教師沒有任何提示，但學(xué)生通過兩個(gè)問題的解決，自主感悟到單位相同的可以相加、減，單位不同必須轉(zhuǎn)化成相同單位后才能相加、減，同分母就是同單位，對(duì)同分母加、減法的算理理解也水到渠成。

二、借助“表象”支撐，注重多元表征，促進(jìn)運(yùn)算算理的形式化理解

運(yùn)算的算理從一定意義上說是抽象的、理性的。根據(jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)、生活經(jīng)歷出發(fā)，借助“表象”支撐，在直觀中理解算理，是非常必要的。

（一）借助直觀支撐理解算理

合理運(yùn)用學(xué)具、教具、多媒體，進(jìn)行直觀操作演示，是算理探究過程中教師常用的策略。

【案例】 除數(shù)是整十?dāng)?shù)的筆算

除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法，學(xué)生在已有的除數(shù)是一位數(shù)除法的基礎(chǔ)上，往往會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：

出現(xiàn)以上錯(cuò)誤的原因是學(xué)生受到除數(shù)是一位數(shù)除法筆算的負(fù)遷移，雖然是140÷30，但其實(shí)學(xué)生腦中思考的仍然是140÷3，怎樣讓學(xué)生理解除以30后商4的定位、豎式表達(dá)的意思，教師可以嘗試使用小棒圖和方塊圖來突破除數(shù)是整十?dāng)?shù)的筆算算理的理解。

例1：92÷30=

例：1： ?92÷30 =

例2：140÷30 =

除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法，商的位置是個(gè)難點(diǎn)，請(qǐng)學(xué)生嘗試著列出豎式，并借助圈一圈，說明商是幾，商4寫在哪一位上。學(xué)生有了直觀圖的支撐，容易理解豎式中每一個(gè)數(shù)的含義。類似的教學(xué)還有，除數(shù)是一位數(shù)的筆算，小數(shù)加、減法等，初始課看似十分簡(jiǎn)單但進(jìn)入后期學(xué)習(xí)卻容易出錯(cuò)，在這類重點(diǎn)起始課中強(qiáng)化算理的直觀演示，以求為運(yùn)算方法的建構(gòu)建立明確的表象，將能很好地幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)。

（二）借助情境支撐理解算理

運(yùn)算方法的建構(gòu)以具體情境為背景時(shí)，往往可以化抽象為直觀，幫助學(xué)生理解算理主動(dòng)建構(gòu)算法。

【案例】除數(shù)是兩位數(shù)除法（試商、調(diào)商）

1.創(chuàng)設(shè)問題情境

153元買同一款魔方，可以買幾個(gè)？怎樣列式？

2.學(xué)生嘗試解決“153÷21=”

反饋，引導(dǎo) 思考

（1）你是怎樣試商的？在試商時(shí)發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）結(jié)合情境說說為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況。

3. 學(xué)生嘗試解決“153÷32= 、153÷38=”

反饋，引導(dǎo)思考

（1）你是怎樣試商的？在試商時(shí)發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）結(jié)合情境說說為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況。

（3）對(duì)比153÷21= 、153÷32= 有什么共同的特點(diǎn)？為什么初商會(huì)大？

（4）對(duì)比153÷32= 、153÷38= 有什么不同的特點(diǎn)？為什么除數(shù)都是三十幾，“153÷32” 初商會(huì)大？“153÷38” 初商會(huì)??？

將除數(shù) “四舍五入”是最基本的試商方法，但“四舍”法初商會(huì)偏大，“五入”法初商會(huì)偏小。如果讓學(xué)生死記硬背，往往適得其反。通過購物這一情境可以幫助學(xué)生更好地理解調(diào)商的過程。 “153÷32”因?yàn)閷蝺r(jià)看成30元，所以實(shí)際購買5個(gè)魔方用的錢數(shù)就從160元變成了150元，實(shí)際錢數(shù)153元小于160元，不夠買5個(gè)只能買4個(gè)，所以要調(diào)商成4。通過兩組算式 “153÷21= 、153÷32=”、“153÷32= 、153÷38=” 的對(duì)比，更能讓學(xué)生感受到調(diào)商的原因。

（三）數(shù)形結(jié)合支撐算理理解

數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。在計(jì)算中，應(yīng)用數(shù)軸、平面幾何圖形或立體幾何圖形，使數(shù)的大小以形的大小來呈現(xiàn)，數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算關(guān)系以形的組合來表達(dá)，能使數(shù)的計(jì)算算理更直觀化。

【案例】異分母分?jǐn)?shù)加減法

人教版教材中的異分母分?jǐn)?shù)加減法

浙教版教材中的異分母分?jǐn)?shù)加減法

兩本教材均是選用了圖形來幫助學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加、減法的算理，借助對(duì)圓形的折、分，學(xué)生很容易理解異分母分?jǐn)?shù)加、減法的關(guān)鍵是“單位”的統(tǒng)一。

在高年級(jí)分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的教學(xué)中，教師可以借助幾何圖形來說明分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的算理，而整數(shù)加、減法中的“形”往往是學(xué)生自己創(chuàng)設(shè)的符號(hào)。也就是說，這里的“形”可以是學(xué)生自己創(chuàng)設(shè)的符號(hào)，可以是幾何圖形，可以是線段圖，還可以是數(shù)軸。借助形的幾何直觀性來闡明算理不僅可以使抽象的數(shù)學(xué)計(jì)算算理直觀化，而且有利于學(xué)生抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展。

三、溝通知識(shí)脈絡(luò)，突出內(nèi)涵本質(zhì)，促進(jìn)運(yùn)算算理的結(jié)構(gòu)化理解

通過問題和情境的創(chuàng)設(shè)，借助直觀建立“表象”，幫助學(xué)生擺脫經(jīng)驗(yàn)中的非本質(zhì)認(rèn)識(shí)。在這一基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)該通過與其他知識(shí)比較、分類、分層，從而找到知識(shí)間的相同點(diǎn)、不同點(diǎn)以及層次關(guān)系，溝通知識(shí)的脈絡(luò)，達(dá)成學(xué)生算理理解的精細(xì)化，實(shí)現(xiàn)形式化理解向結(jié)構(gòu)化理解的轉(zhuǎn)化。

（一）展示思路，對(duì)比溝通，實(shí)現(xiàn)算法和算理融合

1.展示思路

在算理理解中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、對(duì)比、辨析，在群體的交流對(duì)話中，展示思路、感悟算法。

【案例】十幾減9退位減法

根據(jù)問題“有15個(gè)氣球，賣了9個(gè)，還剩幾個(gè)？”列出算式“15-9”，引導(dǎo)思考：你能用什么方法解決這個(gè)問題呢？要求先獨(dú)立思考，再同桌交流，學(xué)生可以借助擺小棒來說明。教師將學(xué)生不同計(jì)算方法書寫在黑板上。

方法一：借助小棒擺一擺從15根小棒中拿去9根得到6根。

方法二：想加做減法 ? 想9+（ 6 ）=15 ? 所以15-9=6

方法三：破十法

方法四：連續(xù)減

四種方法的算法顯示出學(xué)生不同的思維，數(shù)小棒得出結(jié)果是利用了減法的意義，“相加做減法”是根據(jù)加、減法的關(guān)系，“破十法”和“連續(xù)減”利用了數(shù)的組成順向思維，在這四種方法中，“破十法”和“連續(xù)減”的交流是重點(diǎn)，且這兩種方法對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生來說比較難理解，教學(xué)中需要通過圖例來輔助理解算理。“破十法”是退位減法豎式算理的基礎(chǔ)，是最有價(jià)值的，因此，教師還需通過多媒體演示來突破“破十”難點(diǎn)。借助典型的探究材料，引導(dǎo)學(xué)生展示不同的算法，在展示中充分交流，理解不同算法的算理，在對(duì)比中為建構(gòu)退位減法的算理打下基礎(chǔ)。

2.溝通反思

課堂中教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將新學(xué)運(yùn)算與相關(guān)運(yùn)算比較，找到相同與不同，并用數(shù)學(xué)語言規(guī)范表述，實(shí)現(xiàn)算法和算理的融合，不斷地將理解引入更高層次。

如：小數(shù)乘法單元，教學(xué)“小數(shù)乘整數(shù)”時(shí)，可以和“整數(shù)乘法”算法對(duì)比;教學(xué)“小數(shù)乘小數(shù)”時(shí)，又可以和“小數(shù)乘整數(shù)”對(duì)比，從而引導(dǎo)學(xué)生感受“小數(shù)乘法”小數(shù)點(diǎn)的位置問題。小數(shù)除法單元，教學(xué)“小數(shù)除小數(shù)”時(shí)與“小數(shù)除以整數(shù)”對(duì)比，在知識(shí)整理的過程中，“小數(shù)除法”還要和“小數(shù)乘法”對(duì)比。從一定意義上說，學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解和掌握是在不斷的比較中逐步建構(gòu)的。教師應(yīng)該抓住機(jī)會(huì)適時(shí)聯(lián)系溝通知識(shí)點(diǎn)之間關(guān)系，實(shí)現(xiàn)算法和算理融合。

（二）選擇針對(duì)性學(xué)習(xí)材料，增進(jìn)知識(shí)內(nèi)涵的理解

要實(shí)現(xiàn)對(duì)算理的鞏固、應(yīng)用和轉(zhuǎn)化，離不開一定量的計(jì)算練習(xí)。但不是所有的練習(xí)都能夠有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解，過多繁雜、低效的計(jì)算練習(xí)反而會(huì)引起學(xué)生的反感。因此，筆者認(rèn)為應(yīng)突出以下兩種練習(xí)。

1.突出基本算理的練習(xí)

在學(xué)生初學(xué)運(yùn)算方法時(shí)，設(shè)計(jì)突出算理理解的基本練習(xí)，對(duì)學(xué)生進(jìn)一步理解算理是不可缺少的。

【案例】多位數(shù)乘一位數(shù)的基本算理練習(xí)

多位數(shù)乘一位數(shù)的算理是建立在數(shù)意義和計(jì)算意義的理解上的，所以筆者認(rèn)為還可以增加加法和乘法的轉(zhuǎn)化練習(xí)進(jìn)一步感悟算理。

2.深化算理理解的練習(xí)

選擇安排合適練習(xí)材料，讓學(xué)生通過觀察、猜測(cè)、比較，可以不斷地深化對(duì)計(jì)算算理的理解，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感同時(shí)，也達(dá)到靈活計(jì)算的目的。

【案例】多位數(shù)乘一位數(shù)的練習(xí)

1.算一算、比一比。你有什么發(fā)現(xiàn)？

25×4= ? ? ? ? ? ? ? 16×5= ? ? ? ? ? ? ? 14×5=

24×5= ? ? ? ? ? ? ? 15×6= ? ? ? ? ? ? ?; 15×4=

2. 先計(jì)算，再比較大小

反饋引導(dǎo)：比較說說上面每組“雙胞胎”算式哪部分積是相等的。想一想兩個(gè)算式積的大小取決于哪兩個(gè)數(shù)相乘的結(jié)果呢？

3. 在○里填上“>”“<”或“=”

12×3○21×3 ? ? ?26×5○25×6 ? ? ?38×7○78×3

12×7○7×12 ? ? ? ? 38×2○38+39 ? ? ? ? 114 ×6○116×7

以上各題以“積的大小比較”為主線，著重考察學(xué)生對(duì)多位數(shù)乘一位數(shù)的算理理解，能力核心是運(yùn)用對(duì)比思維來思考數(shù)與數(shù)、算式與算式之間的關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生分析、比較，使得學(xué)生的思維更加豐富、更加精細(xì)，有利于學(xué)生對(duì)算理的深度認(rèn)知。

四、明暗結(jié)合，凸顯思想方法，促進(jìn)運(yùn)算算理的文化性理解

學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算不僅是為了獲得技能，更重要的是發(fā)展數(shù)學(xué)思維、掌握數(shù)學(xué)思想方法。理解性學(xué)習(xí)的最高層級(jí)是文化性理解，筆者認(rèn)為就是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)的思考方法，從而使學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光來看待周圍事物，將數(shù)學(xué)的思考方法應(yīng)用于解決生活實(shí)際問題或其他學(xué)科的學(xué)習(xí)。在運(yùn)算教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法主要有化歸思想、類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、歸納思想、模型思想、推理思想等。如果說知識(shí)技能的教學(xué)是“明線”，那么數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)該是每一節(jié)數(shù)學(xué)課的“暗線”，追求以“明”促“暗”、明暗結(jié)合。

【案例】小數(shù)除法的練習(xí)課教學(xué)片段

1.計(jì)算2.76÷0.12

說說你是怎么想的。

生：根據(jù)商的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化成276÷12，算出商是23，所以2.76÷0.12的商也是23。

師：根據(jù)商的變化規(guī)律，你能寫出其他一些相關(guān)的商也是23的算式嗎？

2.根據(jù)2.76÷0.12=23，寫出以下各題的結(jié)果

在這個(gè)練習(xí)中通過題組間的對(duì)比深刻理解小數(shù)除法算理，以達(dá)到靈活計(jì)算小數(shù)除法的目標(biāo)，這是教學(xué)的“明線”。在練習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用積、商的變化規(guī)律作出正確解答的過程，蘊(yùn)含著推理、化歸等數(shù)學(xué)思想和方法，這是教學(xué)的“暗線”，也是“主線”。

（浙江省杭州市勝藍(lán)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 ?310004）