周秋英

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“三角形面積的計(jì)算”，學(xué)生最容易出錯(cuò)的就是忘記“除以2”，在與學(xué)生的交流中得知：“老師剛教完還好一些，如果隔了一段時(shí)間，忘記‘除以2’的同學(xué)就更多?！?/p>

三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)是一堂探究性較強(qiáng)的課，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、思維能力、思維方式等因素，都會(huì)影響探究方向及探究時(shí)間。要想在一堂課內(nèi)探究出“三角形面積的計(jì)算公式”，常常會(huì)出現(xiàn)少數(shù)優(yōu)生的探究結(jié)果替代其他學(xué)生的探索過(guò)程；教師為了完成教學(xué)任務(wù)趕“進(jìn)度”，常常處于“想放手”又“不敢放手”的尷尬境地；很多課存有探究跡象，卻未能真“探”，學(xué)生剛“探”有起色，便被“因時(shí)間關(guān)系”而“叫停”……

“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，這是教師所追求的課堂。只有學(xué)生自主研究出來(lái)的方法才是學(xué)生自己的方法，體驗(yàn)才會(huì)深刻，思路才會(huì)清晰。能否實(shí)現(xiàn)真正意義上的自主探究呢？筆者以“三角形面積計(jì)算”教學(xué)為例進(jìn)行了一次嘗試。

一、“微調(diào)查”：找準(zhǔn)探究起點(diǎn)

要把學(xué)生引導(dǎo)到一個(gè)我們要他們?nèi)サ牡胤剑紫纫缹W(xué)生在哪兒，這樣才能站在學(xué)生的角度去開展教學(xué)。

在前測(cè)中發(fā)現(xiàn)，用直角三角形進(jìn)行研究的學(xué)生最多，他們先畫出一個(gè)直角三角形，再補(bǔ)成（或拼成）一個(gè)長(zhǎng)方形，再得出三角形的面積；用等腰三角形進(jìn)行研究的學(xué)生為其次，將等腰三角形沿著高剪下，然后拼出一個(gè)長(zhǎng)方形（或正方形），通過(guò)計(jì)算長(zhǎng)方形（或正方形）的面積得到三角形的面積。前測(cè)中，沒(méi)有學(xué)生能用任意三角形研究出三角形面積的計(jì)算方法。

我們可以從學(xué)生的角度分析，學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形、正方形的認(rèn)識(shí)和理解較為深刻，而直角三角形和等腰三角形更容易轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或正方形，更容易找到它們的相通點(diǎn)。

二、“巧分解”：積累探究經(jīng)驗(yàn)

真正的“數(shù)學(xué)探究”，應(yīng)該為學(xué)生提供充分的思考、嘗試、推理、表達(dá)的機(jī)會(huì)，“三角形面積計(jì)算的公式推導(dǎo)”，放手讓學(xué)生進(jìn)行探究，而不是“牽著學(xué)生鼻子走”，讓學(xué)生在具體的探究活動(dòng)中自主發(fā)現(xiàn)、解決問(wèn)題，感悟轉(zhuǎn)化思想的必要性和優(yōu)越性。

依據(jù)前測(cè)，筆者決定放慢探究進(jìn)程，拉長(zhǎng)探究時(shí)間，將三角形面積的探究分成三個(gè)層次“穿插分散”進(jìn)行。第一層次：探究直角三角形的面積計(jì)算方法；第二層次：探究等腰三角形的面積計(jì)算方法；第三層次：探究任意三角形的面積計(jì)算方法。采用“前探究”“微交流”的形式。

第一層次：直角三角形面積的探究。

第二天早讀課進(jìn)行展示與交流，學(xué)生共研究出兩種方法（學(xué)生作品列舉）：

由于直角三角形的特殊性及學(xué)生對(duì)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累，在第一層次的探究中，學(xué)生并沒(méi)有出現(xiàn)教材中用兩個(gè)完全相同的直角三角形拼出一個(gè)平行四邊形來(lái)研究，而基本上都是用上面的兩種方法。

方法一：將直角三角形補(bǔ)（或拼）成一個(gè)長(zhǎng)方形，三角形的面積是所補(bǔ)（或拼成）長(zhǎng)方形面積的一半。

方法二：將三角形沿高的一半進(jìn)行切割、旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化成一個(gè)和三角形面積相等的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的底就是三角形的底，長(zhǎng)方形的高則是三角形高的一半，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

學(xué)生面對(duì)自己的研究成果，信心倍增。

第二層次：等腰三角形面積的探究。

學(xué)生共研究出了四種不同的方法（學(xué)生作品列舉）：

正是有了前一天的交流與展示，原來(lái)沒(méi)有想法的學(xué)生開始有了想法，原來(lái)有一種想法的學(xué)生有了兩種甚至多種想法，這就是“真探究”“真交流”，學(xué)生之間的互動(dòng)是最有效的。等腰三角形因其自身的特點(diǎn)，學(xué)生共研究出了四種方法。學(xué)生的思維一般都比較傾向于將原有圖形進(jìn)行分割后再等積轉(zhuǎn)化，“方法四”全班只有兩位同學(xué)想到，但這已經(jīng)是學(xué)生思維的一次突破與飛躍，這種方法離他們的思維水平也許還遠(yuǎn)一些吧。

第三層：自主探究任意三角形面積。

在嘗試、反饋、交流的過(guò)程中，學(xué)生的原生態(tài)思維充分展露，教師由淺入深，循著學(xué)生的思維軌跡來(lái)引導(dǎo)學(xué)生探究，意圖在于給學(xué)生留下較大的創(chuàng)造空間，使學(xué)生從多種途徑探究。轉(zhuǎn)化思想是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，需要浸潤(rùn)和滋養(yǎng)，而不是灌輸和告知。這次探究，用兩個(gè)相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的學(xué)生突然升至25人，對(duì)于任意三角形，學(xué)生覺(jué)得這種方法更簡(jiǎn)便些。

三、“真互動(dòng)”：優(yōu)化思想模型

三角形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)，如果要想在40分鐘完成“再創(chuàng)造”的過(guò)程，對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，力所不及。很多教師常常處于“放”而不開、“探”而“未探”的糾結(jié)狀態(tài)。“三角形面積計(jì)算”這樣充滿著探究性的課，求快實(shí)在是不太適合，就像“快速長(zhǎng)成的樹木必定是疏松”的道理是一樣的。

“為什么任意三角形只研究出了三種方法？而等腰三角形面積卻探究出了四種方法呢？”學(xué)生在思維碰撞中，既體會(huì)到了三角形之間的共性，又體會(huì)到了它們之間的特殊性，從而歸納出更具普適性的計(jì)算方法，得到三角形的面積計(jì)算公式：S=a×h÷2或S=a×（h÷2）。根據(jù)圖形轉(zhuǎn)化前、后各部分之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，最終推導(dǎo)出計(jì)算公式。當(dāng)學(xué)生用一個(gè)個(gè)靈動(dòng)的圖例交流想法時(shí)，學(xué)生驚嘆“我怎么沒(méi)想到？”課堂中便充滿著無(wú)限驚喜與思考。三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，采用“長(zhǎng)線”探究，開放式的整體構(gòu)架，以“自主探究”統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)過(guò)程，自主探究—交流思考，再自主探究—再交流思考，在三次自主探究、三次交流思考中，以探究為經(jīng)，以交流為緯，在“三重探究過(guò)程”中作理性的數(shù)學(xué)思考。因?yàn)榻處煕](méi)有教，所以出現(xiàn)了各種各樣的轉(zhuǎn)化方法；因?yàn)榻處煕](méi)有教，所以學(xué)生置身于探究情境中，思考更積極、更充分。

從“形變”到“質(zhì)變”的探究過(guò)程，體驗(yàn)公式的由來(lái)，從特殊到一般，用不完全歸納法得出所有三角形的面積，加深對(duì)轉(zhuǎn)化、歸納、抽象等數(shù)學(xué)思想的感悟。學(xué)生在充分自主探究后，在交流中充分展示自己的思維方法及過(guò)程，揭示規(guī)律和方法，對(duì)知識(shí)的形成過(guò)程進(jìn)行梳理，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉、歸納和概括。

四、“微思考”：“慢”，讓探究真實(shí)起來(lái)

三天以后，筆者進(jìn)行了一次測(cè)試。測(cè)試題如下：

正是因?yàn)橛辛硕嘀伢w驗(yàn)，有了層層積淀，測(cè)試結(jié)果，全班只有一個(gè)學(xué)生忘記了“除以2”。三角形面積公式的推導(dǎo)，從課前調(diào)查到完成測(cè)試，穿插進(jìn)行于其他單元內(nèi)容的正常教學(xué)之中，在不知不覺(jué)中完成了“三角形面積計(jì)算公式”的探究活動(dòng)，用時(shí)約5天。三個(gè)層次的探究，學(xué)生的體驗(yàn)是深刻的，也是愉悅的，呈現(xiàn)自己的探究成果，上臺(tái)交流時(shí)的神采與表情，這種自信與成功的經(jīng)歷是終身難忘的。其實(shí)，教材中有些內(nèi)容，我們未必需要花很多時(shí)間進(jìn)行反復(fù)練習(xí)；而有些內(nèi)容，則必須要花一定時(shí)間去探索與研究。我們能否將探究性強(qiáng)的內(nèi)容走一條“長(zhǎng)線”，與其用一節(jié)課時(shí)間教完三角形面積，再用好幾倍的時(shí)間進(jìn)行練習(xí)鞏固，學(xué)生在不斷訂正中痛苦地強(qiáng)化記憶，倒不如用“小步子”，多花幾天時(shí)間去探究，讓學(xué)生每天都有新發(fā)現(xiàn)、新體驗(yàn)、新思考。通過(guò)這次嘗試，讓筆者萌生一種想法，探究性強(qiáng)的教學(xué)內(nèi)容，我們是否可以嘗試讓學(xué)生有足夠的時(shí)間去體驗(yàn)與思考，我們是否應(yīng)該在課前進(jìn)行前測(cè)與調(diào)查，再分層次推進(jìn)，拉長(zhǎng)思維梯度，從而讓學(xué)生由“束手無(wú)策”到“有的放矢”。放“慢”放“小”探究的腳步，根據(jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，循序漸進(jìn)，采用“每天探究一點(diǎn)，每天滲透一點(diǎn)”的方式，分散穿插進(jìn)行，站在學(xué)生的角度，讓探究真實(shí)起來(lái)，有效起來(lái)。

因此，教師應(yīng)根據(jù)小學(xué)生的年齡特征開展數(shù)學(xué)課堂教學(xué)探究，在課前提供充裕的時(shí)間讓全體學(xué)生充分經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過(guò)程。這樣，就可以在學(xué)生原生態(tài)的作品展示中，看到了學(xué)生真實(shí)的研究過(guò)程，交流時(shí)，看到學(xué)生言語(yǔ)間流露的自信和獲得成功后的喜悅。學(xué)習(xí)是一件可以從中尋找到快樂(lè)的事情，為了能與學(xué)生一起找尋這份快樂(lè)，讓我們換一種思路對(duì)待教學(xué)，從兒童的視角，關(guān)注學(xué)生視野之內(nèi)的學(xué)習(xí)探究活動(dòng)?！奥?，能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)探究真實(shí)起來(lái)，舒展起來(lái)！

（江蘇省常熟市莫城中心小學(xué) 215556）