陸雅

一、緣起

2011年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把“數(shù)學(xué)思考”列入四大目標(biāo)之中。而“數(shù)學(xué)思考”與“數(shù)學(xué)表達(dá)”是相依相存的。從認(rèn)知心理學(xué)的角度看，“數(shù)學(xué)思考”就是學(xué)習(xí)者對知識、問題的內(nèi)部表征?！皵?shù)學(xué)表達(dá)”則是學(xué)習(xí)者對知識、問題的外部表征。

美國2000年頒布的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確地將“數(shù)學(xué)表示”作為十條標(biāo)準(zhǔn)之一，該標(biāo)準(zhǔn)對“數(shù)學(xué)表示”明確提出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該重視數(shù)學(xué)表示，以促進(jìn)對于數(shù)學(xué)的理解，使全體學(xué)生能夠———

創(chuàng)造和應(yīng)用數(shù)學(xué)表示來組織、記錄和交流數(shù)學(xué)思想；

恰當(dāng)?shù)剡x擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)表示來解決問題；

運(yùn)用數(shù)學(xué)表示對物理、社會和數(shù)學(xué)的現(xiàn)象進(jìn)行建模與解釋。

由此不難分析出“表征”的重要價值：簡化問題使問題可解、暴露思維過程便于交流和研究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問題。

研究學(xué)生的思維表征形式與能力水平，是教學(xué)設(shè)計的重要組成部分，是走向有效教學(xué)的正確途徑。

我們選擇“表內(nèi)除法”這一內(nèi)容進(jìn)行研究，是因?yàn)橛嬎憬虒W(xué)尤其是基本口算教學(xué)是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)必備的知識技能。隨著數(shù)學(xué)課程目標(biāo)從“雙基”向“四基”轉(zhuǎn)變，口算教學(xué)也承載起實(shí)現(xiàn)顯性目標(biāo)和隱性目標(biāo)的重任，體現(xiàn)更豐厚的教學(xué)價值。而實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)途徑日益擴(kuò)展， “未教先會”的不在少數(shù)。那么對于除法及口訣求商，學(xué)生已經(jīng)會了什么？他們了解除法算式的意義嗎？他們對求商有哪些自己的表征形式？學(xué)習(xí)的困難在哪里？帶著這些問題，我們對二年級5個班級216名學(xué)生展開了測查。

二、測查

測查的時間節(jié)點(diǎn)放在二年級上冊教學(xué)完成之后，在“表內(nèi)除法（一）”教學(xué)之前。主要測查學(xué)生對除法含義的理解程度和口訣求商思維的表征形式。

【測查題目】

這樣的算式，你是怎么想的？可以把你的想法寫一寫、畫一畫。

6÷2=（ ） 20÷5=（ ）

經(jīng)統(tǒng)計，不同表征形式的比重差異很大。圖形表征是學(xué)生采用最多的方式，超過25%；其次是算式表征，超過13%；有超過8%的學(xué)生采用兩種及以上的表征方式；運(yùn)用實(shí)物表征和文字表征的學(xué)生分別只有4%左右（見表1）。

有研究者將知識的主要表征方式總結(jié)為書面符號表征、圖形表征、情境表征、操作模式表征、語言表征等，而這一系列的表征方式共同構(gòu)成了表征系統(tǒng)，它們之間不一定存在先后的發(fā)展次序，但需要關(guān)注的是它們之間的轉(zhuǎn)換和相互影響（如圖1），而且，這種轉(zhuǎn)換和影響對學(xué)生的概念形成和理解有重要的作用。一般地，操作模式表征和實(shí)際生活情境表征屬于形象表征，圖形表征屬于半抽象表征，文字符號表征和口語符號表征屬于抽象表征。

在認(rèn)知心理學(xué)理論的指導(dǎo)下，結(jié)合二年級學(xué)生的實(shí)際情況，我們把除法及口訣求商的表征形式，分成行為表征、實(shí)物（圖）表征、圖形（表）表征、文字符號表征和混合表征這五種。行為表征是指用擺、分、畫、圈等具體操作活動進(jìn)行理解的表征形式。實(shí)物（圖）表征是指用蘋果、草莓、盤子等實(shí)物（圖）形式進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋。用圓、三角形等幾何圖形說明或者以圖表方式說明的稱為圖形（表）表征。而像“除法就是乘法倒過來”等這樣以語言文字描述的稱為文字表征，以乘法或除法算式表示的稱為算式表征，算式表征和語言文字表征統(tǒng)稱為文字符號表征。運(yùn)用兩種（及以上）形式進(jìn)行表征的稱為混合表征。

在對學(xué)生的材料進(jìn)行分類時，由于書面測查的局限性，我們無法清楚準(zhǔn)確地判定行為表征?；蛘哒f，行為表征總是伴隨著其他表征形式。因此，我們沒有單獨(dú)統(tǒng)計行為表征。而文字表征和算式表征雖同屬于文字符號表征，但是在思維層面上存在差異性，對此我們分別進(jìn)行了統(tǒng)計。

當(dāng)然，同一種表征形式，有正確表征和錯誤表征之分。我們認(rèn)為，口訣求商正確表征應(yīng)該能反映兩點(diǎn)：一是除法的含義；二是除法運(yùn)算的意義。

口訣求商思維的表征形式，實(shí)質(zhì)上反映了學(xué)生對除法含義的理解。除法是數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算之一，等分除和包含除是除法的兩種含義。將一個數(shù)等分成若干份，求每一份是多少的算法稱為等分除法，即先確定等分的份數(shù)，再確定每份數(shù)（見圖2）。求一個數(shù)里包含著多少個另一個數(shù)，即求一個大數(shù)是一個小數(shù)的多少倍的算法稱為包含除法（只有在大數(shù)能被小數(shù)整除時才有意義），亦即先確定每份是多少，再確定有這樣的幾份（見圖3）。

除法運(yùn)算的意義是相對乘法提出的，即已知兩個因數(shù)的積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運(yùn)算。除法是乘法的逆運(yùn)算，因此，想乘算除，具體地說，就是以乘法算式、乘法口訣和乘法的意義表征除法求商，是符合邏輯的思維形式。除此之外的表征是錯誤表征。

我們分別對兩道算式的正確表征率進(jìn)行統(tǒng)計（見圖4、圖5）。

測查結(jié)果統(tǒng)計，兩道算式的正確表征率均接近50%，其中6÷2的正確表征率略高于20÷5。

測查統(tǒng)計給我們的信息是：將近50%的學(xué)生已經(jīng)有關(guān)于除法的初步概念，甚至是上位知識（即除法學(xué)習(xí)的后續(xù)知識），比如有一個學(xué)生提到“倍”的概念，有兩個學(xué)生列出除法豎式。并且，學(xué)生對于除法及求商的表征形式是多樣的，反映出他們對除法的含義認(rèn)識基礎(chǔ)是十分復(fù)雜的，除法求商的策略不是唯一的。這些都是我們需要進(jìn)一步分析的真實(shí)的學(xué)情。

三、分析

我們可以肯定，二年級學(xué)生的思維表征水平處于形象表征和半抽象表征水平。（需要注意：超過50%的學(xué)生對測查題無法正確表征）在一系列的正確表征和錯誤表征背后，學(xué)生的思維水平呈現(xiàn)出一定的梯度。

結(jié)合對部分學(xué)生訪談，我們試對學(xué)生學(xué)習(xí)除法前口訣求商思維水平進(jìn)行分層。

水平1：無意義水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為無意義的圖形或算式，包括空白無填寫（如圖6）。

筆者對該學(xué)生的訪談如下：

筆者：你的圖很有意思，能說說表示什么嗎？

生：嗯……不知道……我不會。

該水平的學(xué)生還沒有除法的初步概念，不認(rèn)識除法，或者聽說過但完全不理解。

水平2：負(fù)遷移水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為受到以往所學(xué)知識包括形式上和意義上的消極影響（如圖7）。

筆者對該學(xué)生的訪談如下：

筆者：你的圖很有意思，能說說表示什么嗎？

生：我本來是想畫4個的，看到同桌畫了3個，就改了。

筆者：你想把6分成4和2，對嗎？

生：是的。

筆者：把6分成4和2，可以用什么方法？

生：減法。

筆者：那這種運(yùn)算方法你見過嗎？

生：這是除法，我不知道怎么算。

該水平的學(xué)生受到減法運(yùn)算的影響，類似地，還有把除法理解成乘法，把6÷2理解成6個2相加的。他們試圖把新知納入已有的知識結(jié)構(gòu)，根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來解決問題。

水平3：平均分水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為具有“平均分”的概念（見圖8、圖9）。

該水平的學(xué)生有初步的平均分的想法，但不會表達(dá)，還未形成完整的認(rèn)識，也沒有形成除法的正確認(rèn)知。

水平4：上位解釋水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為用后續(xù)的知識解釋除法運(yùn)算（見圖10、圖11）。

筆者對該學(xué)生的訪談如下：

筆者：你寫得很特別，是什么？

生：這是豎式。就是四五二十，然后再四五二十，20減20就是0。所以20÷5=4。

筆者：你能用口訣來計算除法，很棒！你剛才說了兩次四五二十，為什么？

生（想了一會兒）：就是這樣算的，說不清楚。

還有學(xué)生用“倍”解釋。筆者對該學(xué)生的訪談如下：

筆者：你用不同的方法計算，真好！ “2的3倍是6”，是什么意思？

生：就是2×3=6，2個3是6。

筆者（出示圖12）：這幅圖你怎么想？

生：三角形有3個，圓有6個，三角形比圓少3個。嗯，有3個3。

該水平的學(xué)生已經(jīng)接觸除法的上位數(shù)學(xué)知識，并在形式上進(jìn)行接受和理解。但實(shí)質(zhì)上，對深層的意義理解是不到位的。同時，對除法的理解也是不到位的。

水平5：乘除聯(lián)系型水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為用乘法（尤其是乘法算式）計算除法（見圖13），也有部分學(xué)生用文字描述“我知道乘法就像除法反了一下”“把乘法倒過來就是除法”等等。

該水平的學(xué)生對乘除這兩種互逆的運(yùn)算有一種自發(fā)的敏感性，初步理解兩種運(yùn)算的關(guān)系。他們從聯(lián)系的角度來思考除法求商，體現(xiàn)了對除法運(yùn)算的意義“已知兩數(shù)之積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運(yùn)算”的初步感知。

水平6：意義解釋型水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為用除法“分”的含義表征口訣求商的過程（見圖14、圖15）。

該水平的學(xué)生是從“平均分”的角度來思考問題并加以表征解釋的。圖14和圖15分別是等分除和包含除的典型作品。通過訪談，這部分學(xué)生能清楚、準(zhǔn)確地表述自己所畫圖意。如畫圖14的學(xué)生認(rèn)為“6÷2就是把6個圓平均分成2份，每份是3個圓”。畫圖15的學(xué)生認(rèn)為“6÷2就是把6個蘋果，2個2個地分，分成3盤”。但是這一水平的學(xué)生還無法把兩種含義用同一個算式表示，如畫圖14的學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該用6÷3=2來表示圖15。

水平7：概念理解型水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為用多種表征形式理解除法求商的過程，并能理解同一個算式可以有不同的表征和解釋（見圖16）。

筆者對該學(xué)生的訪談如下：

筆者：你畫的圖很有趣，話說得很清楚。你看看這個小朋友畫的（圖17），你覺得他畫得對嗎？

生：他畫得對。他把6分成2個3，就是要把6個蘋果分成2份，每份就是3個蘋果。

筆者：和你畫的圖比較一下。

生：我是2個2個地分，分成3份。他是分成2份，每份就是3個。

筆者：這兩個“2”表示的意思一樣嗎？

生：不一樣。他是有2份，我是每份有2個。

生：我知道了，乘法可以畫出兩幅圖，除法也可以。

該水平的學(xué)生對除法的兩種含義區(qū)分清楚，明確每份數(shù)和份數(shù)的不同。并且能和乘法溝通聯(lián)系。他們具有在形象表征、半抽象表征和抽象表征之間自由轉(zhuǎn)換的能力。

由于筆者的水平和訪談面有限，我們把學(xué)習(xí)除法前口訣求商思維水平分為七個層次。前四個層次是錯誤表征水平，后三個層次是正確表征水平。不同的思維表征水平，既是教師教學(xué)的豐富資源，或許也會成為學(xué)生學(xué)習(xí)新知的牽絆，需要我們教師挖掘、組織，以利于進(jìn)一步的有效學(xué)習(xí)。

四、建議

（一）從行為表征、實(shí)物（圖）表征、圖形（表）表征到文字符號表征是學(xué)生理解除法含義的一般途徑和必然過程

上述行文中我們探究了學(xué)生除法求商的思維表征形式和水平層次。那么現(xiàn)行教材是如何編排的？是否體現(xiàn)了學(xué)生概念形成的規(guī)律性？我們以人教版、蘇教版、北師大版3個版本的教材為例，整理了例題中關(guān)于除法及口訣求商的表征形式出現(xiàn)的次數(shù)百分比（見圖18），并整理了習(xí)題中相應(yīng)表征形式的題數(shù)百分比（見圖19）。人教版和蘇教版這一單元中沒有教學(xué)“倍”的認(rèn)識，而北師大版加入了“倍”的內(nèi)容。為便于比較，北師大版有關(guān)“倍”的例題和習(xí)題均未列入統(tǒng)計。（事實(shí)上，大多數(shù)題都是幾種表征形式混合的。統(tǒng)計時，我們以“偏向于哪種表征形式”為標(biāo)準(zhǔn)，比如把圖片分一分，我們歸到行為表征）

二年級學(xué)生的思維處于形象思維階段，教材例題中安排了大量的行為表征形式，讓學(xué)生動手分一分、擺一擺、圈一圈、畫一畫，在實(shí)踐活動中，形成豐富的表象，充分積累活動經(jīng)驗(yàn)，逐步抽象出除法的含義。相比較，北師大版重視半抽象表征的過程，有超過20%的圖形表征形式，尤其是運(yùn)用了不少圖表。而蘇教版的圖形表征都結(jié)合著行為表征，因此行為表征的次數(shù)百分比最高。

在習(xí)題編制上，蘇教版和北師大版中實(shí)物（圖）表征的題數(shù)百分比較高，而人教版文字符號表征的題數(shù)百分比遠(yuǎn)高于其他表征形式?？梢?，北師大版突出形象表征，人教版更關(guān)注文字符號表征。

從前文實(shí)際測查結(jié)果看，只有4%的學(xué)生采用實(shí)物（圖）表征形式，而圖形（表）表征、文字表征和算式表征的百分比遠(yuǎn)高于此。我們建議，教學(xué)中可以適當(dāng)加快實(shí)物（圖）表征頻率，適當(dāng)加強(qiáng)對半抽象的圖形（表）表征的理解。

（二）因思維表征形式和水平層次的不同實(shí)施分層教學(xué)

數(shù)學(xué)表征能力與問題解決的正相關(guān)已經(jīng)得到證實(shí)。如何提升學(xué)生的表征能力和思維水平？我們建議分層教學(xué)。分層教學(xué)包括兩個層面：一是課時分層，即每一課時有側(cè)重；二是課堂分層，在一堂課的教學(xué)中關(guān)注學(xué)生的不同起點(diǎn)，使不同的學(xué)生都能獲得良好的發(fā)展。

1.課時分層，用3個新授課時完成教學(xué)

第一課時“分一分”，在大量的操作活動中知道有不同的分法：先確定分成幾份，或者先確定每份幾個。通過觀察比較明確“平均分”的概念。可以請思維水平層次高的學(xué)生做“小老師”，協(xié)助思維水平層次低的學(xué)生。這一階段以行為表征為主。

第二課時“認(rèn)識除法”，理解“每份一樣多，分成幾份”這樣的過程和結(jié)果可以用除法算式表示。接下來出示除法算式，讓學(xué)生用不同形式的表征，進(jìn)一步理解“等分除”與“包含除”的含義。這一階段以圖形（表）表征為主。

第三課時“口訣求商”。在前兩課時的基礎(chǔ)上，學(xué)生理解除法的含義，可以將落腳點(diǎn)放在“求商”上，引導(dǎo)學(xué)生掌握“求商”的方法，再突出乘法口訣的價值。數(shù)學(xué)是研究關(guān)系的學(xué)科，“求商”教學(xué)可突出除法與減法、除法與乘法的關(guān)系。這一階段引導(dǎo)學(xué)生以文字符號表征為主。

2.課堂分層：對不同思維水平的學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練

對處于水平7的學(xué)生要提高其對除法含義的理解和口訣求商靈活應(yīng)用能力，在理解中重視表征形式的轉(zhuǎn)換，用不同的表征形式內(nèi)化知識、深化理解。比如，在習(xí)題中可以增加類似這樣的題目：寫一寫除法算式12÷3所表示的意義；編一道可以用12÷3解決的生活問題；用一幅圖編乘除法三道題等。這樣的題目可以考查學(xué)生對乘除關(guān)系的理解程度，也有助于學(xué)生辨別等分除與包含除的不同意義，加深對除法含義的真正理解。同時，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)。

對處于水平5和水平6的學(xué)生，可以加快從形象表征到半抽象表征的過渡。鼓勵他們用多種形式進(jìn)行表征，達(dá)到對知識的理解和應(yīng)用。在教學(xué)中，引導(dǎo)他們從不同的角度看同一幅圖，細(xì)化等分除和包含除的異同之處，感悟、體會除法的兩種含義。增加辨析等分除和包含除的練習(xí)，比如通過解決問題進(jìn)行對比，還可指導(dǎo)學(xué)生把除的方法和結(jié)果用具體形象區(qū)分開來。如：①把18平均分成3份，每份是多少？②18里面有幾個3？分別讓學(xué)生先用小棒擺，再用算式表示。

對處于水平1至水平4的學(xué)生，要在行為表征階段反復(fù)操練，通過大量的動手操作，逐漸形成對除法含義的認(rèn)識。避免乘法和減法的負(fù)遷移影響。可以在包含除的具體操作中，體會除法是同數(shù)連減，感悟除法與減法的關(guān)系，以區(qū)別一步減法。反復(fù)明確乘除互逆的關(guān)系，要適當(dāng)增加類似于這樣的練習(xí)：根據(jù)一幅圖，寫出一道乘法算式和兩道除法算式；根據(jù)一句口訣，寫出三道乘除法算式；把同數(shù)連加寫成乘法，把同數(shù)連減寫成除法等。從而達(dá)到理解用口訣求商的目標(biāo)，能比較熟練地應(yīng)用口訣求商。

從下面這個“口訣求商”的教學(xué)片段，我們可以看到教師是如何遵循起點(diǎn)、發(fā)展思維的。

師：今天我們來研究怎樣求商。（出示8÷2，很多學(xué)生報出了結(jié)果，商是4）

師：怎么想的？

生：我想到 2×4=8，所以8÷2=4。

生：二四得八，所以 8÷2=4。

生：除法就是將乘法倒過來了。

（繼續(xù)出示幾道除法算式，學(xué)生報出商）

師（出示12÷3）：我們知道乘法和加法有聯(lián)系，加法和減法有聯(lián)系，你覺得除法和誰有聯(lián)系呢？

生：和乘法有聯(lián)系。

生：用乘法口訣可以算出得數(shù)。

師：除法還和誰有關(guān)系呢？

生：和減法有關(guān)系，就是從12里將3分出去，一直分到?jīng)]有。

師：（順勢畫圖）我?guī)湍阍趫D上表示出來。先找到 12，然后從12里分3，一直分到?jīng)]有。你是怎么找到商的？

生：減去了幾次，商就是幾。

師：講得非常好。我們還可以用減法直接來算。（板書：12-3=9，9-3=6，6-3=3，3-3=0）一直減到不能減了，減了4次，12里有4個3，12÷3=4。請聽明白的學(xué)生再舉個例子，如12÷4，用減法求出商。

教師又出示了88÷11，無法用口訣口算，檢驗(yàn)學(xué)生是否會自己求出商。解決問題過程中學(xué)生對求商有了初步的認(rèn)識。

師：（回顧）現(xiàn)在你會求商了嗎？

師：覺得哪種方法好？

生：用乘法口訣求商很快，用減法太麻煩了。

生：乘法口訣要記熟了，求商就快了。

生：如果數(shù)字不太大，我們可以用減法算，看被除數(shù)里有多少個除數(shù)，商就是多少。

（三）理性對待學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知起點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)最有效的方法是把握學(xué)生已經(jīng)知道了什么，同時把握新知是以哪些舊知為基礎(chǔ)，是哪些舊知的拓展和延伸。但是我們不得不承認(rèn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)越過我們的教學(xué)，是一件棘手的事情。

測查中出現(xiàn)了兩個除法算式，一個是正確的（見圖10），一個是錯誤的（見圖20）。前者從父母處得知除法豎式中的正確列法，而后者是學(xué)生自己從加法、減法豎式中推理得出。前者會列除法豎式，但無法解釋為什么這樣列豎式。也就是說，這個學(xué)生把握了“形”，但沒有抓住“本”。我們很難界定前者的學(xué)習(xí)必定優(yōu)于后者。而且我們有理由這樣推測：前者進(jìn)行了大量的接受性學(xué)習(xí)， 而后者卻是在自主探索的過程中。

又如關(guān)于“倍”的認(rèn)識，學(xué)生能明白“2的3倍是6”與2×3=6的關(guān)系。但是我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于倍的認(rèn)識是不完整的。他們雖然從數(shù)量上把握了“倍”的大小，卻沒有“比”的概念。我們常說“倍比”，也就是說“倍”的概念是在“兩個量”的比較中發(fā)生的。

諸如此類，都提醒我們，要慎重地、理性地對待學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知起點(diǎn)。

五、結(jié)語

綜上所述，學(xué)生在學(xué)習(xí)除法前口訣求商的表征形式十分豐富，而相應(yīng)地，教材也遵循學(xué)生概念形成的一般規(guī)律，采取多樣的表征形式。數(shù)學(xué)表征的過程可以看成是數(shù)學(xué)化的過程，就是學(xué)會表征并應(yīng)用表征解決問題，荷蘭數(shù)學(xué)家弗蘭登塔爾認(rèn)為“與其說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”。數(shù)學(xué)表征可以使隱性的思維外顯，暴露學(xué)生的思維過程，便于交流和研究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問題。由表及里，方能表里如一，從而走向深層次的學(xué)習(xí)。而在教師教學(xué)層面，我們應(yīng)認(rèn)識到學(xué)生的思維水平存在層次性，從而理性地把握學(xué)習(xí)起點(diǎn)，促使學(xué)習(xí)真正的發(fā)生！

（注：作者系朱樂平名師工作室成員）

（浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)煉化小學(xué) 315207）