于桓　郜舒竹

在“變教為學”的備課中，教師應抓準一節(jié)課的學習目標，并圍繞“學什么”“怎么學”兩個問題展開備課。在備課中尋找知識的源頭、分析知識的屬性，并設計出一系列與之對應的學習活動。

一、對長方體體積的分析

以人民教育出版社出版的《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學（五年級下冊）》（以下簡稱“教科書”）為例，長方體體積學習是學生第一次接觸立體幾何圖形和體積概念，這是學生立體幾何學習的起始。（見表1）人們常說：“好的開始是成功的一半。”因此，長方體體積的學習對學生今后的發(fā)展具有重要的教育教學意義。起始時，學生學習立體圖形的好壞程度，決定其今后對立體圖形學習的興趣與動機。小學長方體體積認知程度也將影響著學生初中乃至高中空間幾何體的學習。所以，長方體體積學習要求教師在備課中從歷史視角、文化視角深入挖掘，發(fā)現(xiàn)知識的“本質性”“關聯(lián)性”“文化性”，讓學生知其然并知其所以然。

從歷史的視角看，長方體體積公式早在我國著名的《九章算術》第五章“商功章”中有所記載：“方自乘之，以高乘之，即積尺?！盵2]意思是用邊長和邊長相乘再乘以高，就是體積的大小了。由此可見，體積公式很早就被古人發(fā)現(xiàn)并使用它計算了。除此之外，《九章算術》中還給出了其他幾何體體積的計算公式。比如：球體積。另外，數(shù)學課程不僅僅是程序化、模式化反復練習直至熟練的計算和嚴謹?shù)倪壿嬐评?，?shù)學課程還有它的文化性，這里的文化性是與工具性相對的。強調數(shù)學概念背后的故事，概念背后是否與人類思維方式、人的情感有聯(lián)系。比如：體積是什么意思？體積中的“積”是否和乘積中的“積”一樣？“體積”在古代怎么說？《九章算術》第五章講述幾何體的體積，為什么叫商功二字？體積的下位概念，長、寬、高是什么意思？為什么叫長、寬，而不是長、短？這些小問題，都值得教師在備課中思考。

從文化的視角看，乘積中“積”本意是“垛”，[3]而“垛”在《現(xiàn)代漢語詞典》中解釋為整齊地堆，我們常說的垛子的意思就是整齊地堆成堆?！墩f文解字》中對“積”的解釋為：“積，聚也?！蹦敲?，積有整齊地由少到多變化的意思。因此長方體體積可以被看作是由一個個長方形從下至上整齊地堆積而成的，所以命名為體積。“體積”一詞在商功章羨除術劉徽注：“雖背正異形，與常所謂鱉臑參不相似，實則同也?！薄肮史藉F與陽馬同實。” [4]由此可以看出，體積在古代的叫法是“實”?！皩崱弊鳛楣潘阌谜Z有多義。實，與“虛”相對之義，它表示內部完全填滿而沒有空隙的實體。由此，我們可以推斷出“實”表示的是空間區(qū)域，僅用于三維空間。如果教師在讓學生理解概念時，理解它背后的文化，相信對學生的學習會有很大益處。

聽課觀察中發(fā)現(xiàn)，教師問：“同學們，長方形較長的一邊叫作長，較短的一邊叫什么呢？”學生齊聲回答：“短?！遍L方形中，長、寬這兩個概念，表面上看沒有什么聯(lián)系，實質上蘊含著數(shù)學文化。“長”在《九章算術》中被解釋為“廣”，也就是人們視野范圍的廣度，就是長。而現(xiàn)在所說的“寬”在《九章算術》中被解釋為“從”，“從”字在古代又同橫縱的“縱”，縱的意思指的是豎、直，南北的方向，與“橫”相反。由此可見“寬”字的來龍去脈了。如果教師能讓學生知道“寬”字背后的文化，相信學生就不會認為長方形較短的一邊叫作“短”了，否則的話，很難說服學生。比如：《九章算術》中第五章講述幾何體的體積，書中以“商功”命名此章。如果光看字面意思，很難理解與體積有什么聯(lián)系。李籍在《九章算術音義》中寫道：“商，度也。以度其功庸，故曰商功?！惫Γā肮ぁ?，指工程量或人工數(shù)。大致意思是說，商是度量的意思，度量工程量的多少即關于各種工程中的體積計算。這樣就溝通解釋了“商功”與“體積”之間的聯(lián)系。應該相信，雖然概念的命名是人規(guī)定的，但是它不是盲目的，一定是和當時人的思維方式、人的情感、社會生活、大自然有所聯(lián)系而命名的。作為教師，我們應當找到這樣的聯(lián)系并能夠解釋，溝通字面解釋與背后文化的聯(lián)系。

二、對其他教材的分析

除了從歷史、文化的視角分析長方體體積，教師還要關注教科書和課程標準。在我國的教科書中對體積的定義為物體所占空間的大小。美國加州的教材中對于長方體體積的學習，先有對長方體的認識，然后指出長方體的上部、前部、側面。再利用三視圖，從不同角度看長方體，然后給出定義。美國加州五年級教科書中定義為體積是三維空間中所占空間的量，長方體體積被正方體單位（cubic units）測量，長方體體積的學習與維數(shù)建立聯(lián)系。[5]我國現(xiàn)行的《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標（2011年版）”）中提出，通過觀察、操作，認識長方體、正方體、圓柱、圓錐。結合具體情境，探索并掌握長方體、正方體、圓柱、圓錐的體積和表面積的計算方法。[6]美國加州共同核心標準中指出，學生理解體積要放在三維空間中，理解體積被一個接一個的相同大小正方體的單位（standard units）填滿，既沒有空隙也沒有重疊，在這樣的情況下，小正方體單位的數(shù)量就是體積的大小。學生要理解長方體的體積被一個個小正方體測量，這也就是當長方體被填滿后的小正方體的個數(shù)就是長方體的體積。在探索的過程中，分解三維圖形，把長方體看成由一層一層的小正方體組成的圖形。[7]

《美國學校數(shù)學教育的原則和標準》（NCTM）（以下簡稱“標準”）中指出：“幫助并加強學生在測量二維和三維圖形時發(fā)展幾何直觀。”[8]由此可見，在實際教學中教師應在觀察、操作的基礎上以實驗幾何為主線探索長方體體積公式，建立學生的三維空間觀念，發(fā)展學生的幾何直觀。

長方體體積的學習實際上是建立學生三維空間觀念和發(fā)展幾何直觀的起始，在今后初中學段，學生還會接觸到更多的幾何體，比如：球、六棱柱、四棱錐等。還會從不同角度觀察其他不規(guī)則幾何體，繪制三視圖。初中主要是對柱、錐、球進行初步認識。高中學段，要對柱、錐、臺、球、簡單幾何體的結構特征有所把握，學習中心投影和平行投影，并在平行投影下從不同角度觀察空間幾何體，利用斜二測法繪制空間幾何體的直觀圖，計算空間幾何體的表面積和體積及簡單幾何體的體積。由此看出，體積的學習是層層遞進、一脈相承的，從簡單的長方體體積的計算，再到柱體、錐體、臺體、球體及組合體的計算，學生的空間幾何觀念，也隨著年齡的增加不斷增強。

三、教學中的活動設計

根據(jù)瑞士心理學家讓·皮亞杰提出的“學生有邏輯的理解概念要在學會數(shù)學計算之前”[9]的觀點，也就是說學生概念理解比計算重要得多，所以本節(jié)課的總目標制定為明晰體積概念，探索體積公式。體積屬于規(guī)律性知識，也就是不以人的意志為轉移的客觀存在，對學習者來說是確定的，這部分知識具有“不可變”的特點。所以認識這部分知識的基本方法是發(fā)現(xiàn)（discover），而發(fā)現(xiàn)知識的重點要放在“觀察”上。學生的思維方式應該是觀察對象形成動機、產(chǎn)生想法、交流、假設、實驗與解釋、判斷、關聯(lián)與應用的過程。根據(jù)這樣的基本原則，那么學生就要經(jīng)歷以下學習活動。

第一是建立觀察對象、激發(fā)學生的動機。動機與興趣是學生學習的動力，激發(fā)學習動機是非常關鍵的一步。因此，在教學一開始，教師可以給學生講一個故事。

一個非常有名的樂隊叫作幾何家族，他們計劃在學校開一場音樂會，現(xiàn)在需要用卡車運送搭建音樂會舞臺的器材，需要將一個個正方體的箱子裝進長方體的卡車中。（如圖1）

這個過程處于課程剛剛開始階段，學生要做的是觀察，觀察教師演示的過程。教師可以用一個大長方體魚缸模擬卡車，然后依次放入一個個小正方體，讓大長方體被一個個小正方體填滿，復現(xiàn)故事場景。這個過程從知識習得的角度和歷史的角度來說，是為了讓學生體會到體積在古代被稱為“實”，表示內部完全填滿而沒有空隙的實體。讓學生利用小正方體模具是根據(jù)著名瑞士心理學家讓·皮亞杰提出的認知發(fā)展理論（Theory of Cognitive Development）。他將兒童的認知發(fā)展過程分為了四個階段，分別是感知運算階段、前運算階段、具體運算階段、形式運算階段。[10]五年級的學生認識體積概念處在具體運算階段（Concrete Operational Stage），學生的思維階段是從具體的、形象的表象思維逐漸過渡到抽象思維。這一時期的順利過渡，會對兒童學習“體積”、對抽象概念的理解起到重要作用。在這一時期，兒童在心理發(fā)展和思維特征上具有邏輯性，但是在具體活動中仍然離不開具體事物的支持。這一原則將成為兒童思維水平的判斷依據(jù)，也是教師教學設計的重要理論依據(jù)，在具體的教學實踐中，教師要以具體事物作為兒童理解體積并推導體積公式的依托。

第二是產(chǎn)生想法。任務一是通過剛才教師的演示，你觀察到了什么？你是如何看待長方體的形成的？長方體體積如何計算？四個人一小組，可采取畫圖、用文字寫下來等多種形式和同伴相互討論。經(jīng)思維碰撞后對于體積公式的答案是唯一的，但是表達形式可能是多元的，所以，教師應允許多元的表達，多樣的形式。在用不同的活動形式進行充分討論之后，學生要以小組為單位給全班匯報展示，并說說本組每一位同學的想法。這種活動形式具有較強的靈活性。

第三是實驗解釋。任務二是利用小正方體模具解釋如何理解長方體體積的形成，利用小正方體模具解釋體積公式是如何得到的。學生可能會演示并解釋小正方體填滿長方體的過程。（如圖2）先從一個小正方體拼成一行，從一行再到一個面。三個同樣的平面疊加，填滿整個長方體，最終得到一個完整的長方體，小正方體的個數(shù)也就是長方體體積。

之所以讓學生解釋長方體體積的形成過程，是根據(jù)荷蘭數(shù)學教師范希爾夫婦提出的幾何思維水平理論。其中包括學生幾何思維發(fā)展的五個水平和與之對應的學生幾何學習的五個階段。[11]學生幾何思維發(fā)展的五個水平分別是視覺化（visualization）、分析（analysis）、非形式化演繹（inference）、形式化演繹（deduction）、嚴密性（rigor）；與之對應的學生幾何學習的五個階段分別是熟悉（familiarization）、指導定向（guided orientation）、語言表達（verbalization）、自由定向（free orientation）、整合（integration）。五年級學生處在幾何思維的分析期，并由分析期逐漸轉化為非形式化演繹期。所以，在長方體體積的概念學習上，要讓學生經(jīng)歷體積概念的分析和理解過程，并對體積形成過程進行簡單的非形式化演繹，這是教師教學設計的重要依據(jù)。學生對概念的學習不是簡單的“聽懂、記憶、背誦”過程，深入理解、消化概念，明晰概念背后的本質，對學生今后學習幾何知識具有重要意義。在公式的探索方面，讓學生經(jīng)歷非形式化演繹的過程，明確長方體體積公式的產(chǎn)生。在這個環(huán)節(jié)中，活動形式為先小組討論再全班匯報。在匯報的過程中，教師要給學生立規(guī)矩。比如：“匯報的同學要面向大家，說話要保證班里的每一位同學都能聽清楚?！薄爱斈阆胫赋鰟e人不足的時候，請先說出他的一個優(yōu)點?！苯處熞龑W生，先說他人優(yōu)點再指出他人的不足之處。另外，小組匯報是提高學生當眾講話能力的好機會，這種活動方式有助于培養(yǎng)學生的自信心和演講能力。

第四是判斷假設。根據(jù)上一個任務全班同學完成的情況，判斷大家說的長方體體積的對錯，是否同意匯報同學的觀點，是否有其他的異議。

第五是關聯(lián)應用。結合相應的練習題，學生獨立思考并計算長方體體積。

比如：一個汽車上的油箱，長8分米，寬3.5分米，高5分米，這個油箱可以裝多少升汽油？（如圖3）

第六是拓展。任務三是有人說：“周長與面積之間有某種關系，表面積和體積也有某種聯(lián)系，你同意嗎？”“解釋正方體體積的形成過程，寫出正方體體積公式?！边@個任務布置的目的是讓學生試圖探索長方體體積和長方形面積之間的關系。從已有周長和面積入手，周長反映物體外部而面積反映物體內部，而表面積和體積恰巧也有“外”與“里”的關系。這樣就把周長與面積、表面積與體積聯(lián)系在一起了，在英文文獻中也有記載表明，學生在學習的過程中要理解四個概念之間的聯(lián)系。[12]

以上教學活動僅供教師參考，教師可根據(jù)本班學生情況而定。依據(jù)以上分析，本節(jié)課關于學習目標、學習任務、學習方式和學習活動的設計可以用表格（表格略）的形式呈現(xiàn)。

總之，要想在變教為學的課堂中“突出本質、滲透文化、實現(xiàn)關聯(lián)”，就要挖掘知識背后的故事，要想“讓每一個學生受到關注，讓每一個學生都有機會，讓每一個學生都有活動”，就要設計出以“立德樹人”為終極目標，并能突出數(shù)學本質的有效的活動。

參考文獻：

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[11] 鮑建生.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[12]Joan D.Martin. A Study of Fourth Grade Students’ Understanding of Perimeter， Area， Surface Area， and Volume When Taught Concurrently[J].Mathematics Education Tufts University，2009（05）：3354724.

（首都師范大學初等教育學院 100048）